Ilustracja pierwsza. Znajdziemy wszystkie liczby rzeczywiste m takie, dla których zbiór rozwiązań równania $\left(x^3+4x^2+5x+2\right)\left(x^2-mx+1\right)=0$ był zbiorem dwuelementowym. Ponieważ równanie zapisane jest w postaci iloczynowej, oddzielnie rozważymy więc równoważną alternatywę równań.

Ilustracja druga. Najpierw znajdziemy liczbę rozwiązań równania $x^3+4x^2+5x+2=0$. Zapiszemy równanie stopnia trzeciego w postaci równoważnej, aby można było zastosować metodę grupowania wyrazów. $x^3+2x^2+2x^2+4x+x+2=0$ Następie grupujemy wyrazy. $x^2\left(x+2\right)+2x\left(x+2\right)+\left(x+2\right)=0$ Następnie zapisujemy równanie w postaci iloczynowej. $\left(x+2\right)\left(x^2+2x+1\right)=0$ Drugi czynnik zapisujemy w postaci kwadratu sumy. $\left(x+2\right){\left(x+1\right)}^2=0$ Zatem jeśli iloczyn dwóch wyrażeń równy jest zero, to przynajmniej jeden ze składników jest równy zero, czyli $x+2=0$ lub $x+1=0$. Czyli równanie ma dwa rozwiązania: $x=-2$ lub $x=-1$.

Ilustracja trzecia. $x^2-mx+1=0$ Teraz zajmiemy się analizą liczby rozwiązań równania z parametrem. Równanie kwadratowe z parametrem musi spełniać określone warunki. Ponieważ poprzednie równanie ma dwa rozwiązania, wynika z tego, że równanie $x^2-mx+1=0$ nie może poiadać rozwiązań lub jego rozwiązaniami mogą tylko liczby $x=-2$ lub $x=-1$. Aby równanie $x^2-mx+1=0$ było sprzeczne, musi zachodzić warunek $\Delta <0$. Wyróżnik trójmianu równy jest $\Delta =m^2-4$. Czyli po podstawieniu mamy $m^2-4<0$. Zatem zbiór rozwiązań dla m to $m\in \left(-2;2\right)$. Zatem, aby równanie było sprzeczne $m\in \left(-\mathrm{2,2}\right)$.

Ilustracja czwarta. Jeżeli rozwiązaniem równania jest liczba minus 1, wtedy równanie przyjmuje postać: ${\left(-1\right)}^2-m\left(-1\right)+1=0$. Po uproszczeniu równanie jest postaci $1+m+1=0$. Zatem $m=-2$. Wtedy $x^2+2x+1=0$. Po przekształceniu lewej strony równania do postaci kwadratu, otrzymujemy postać ${\left(x+1\right)}^2=0$. Stąd mamy rozwiązanie: $x=-1$. Jeżeli rozwiązaniem równania jest liczba $(-1)$, wtedy $m=-2$ i równanie nie posiada innych rozwiązań.

Ilustracja piąta. Jeżeli rozwiązaniem równania jest liczba minus dwa, wtedy mamy następującą postać równania: ${\left(-2\right)}^2-m\left(-2\right)+1=0$. Po uproszczeniu otrzymujemy: $4+2m+1=0$, a zatem $2m=-5$, a stąd mamy, że $m=-2\frac{1}{2}$. Wtedy mamy równanie postaci $x^2+2\frac{1}{2}x+1=0$. Równanie to w postaci iloczynowej jest następujące: $\left(x+2\right)\left(x+\frac{1}{2}\right)=0$. Stąd mamy, że $x=-2$ lub $x=-\frac{1}{2}$. Jeżeli rozwiązaniem równania jest liczba $(-2)$, wtedy $m=-2\frac{1}{2}$, ale równanie posiada jeszcze inne rozwiązania.
Liczba $\left(-\frac{1}{2}\right)$ nie spełnia warunków zadania, ponieważ wtedy zbiór rozwiązań będzie składał się z trzech elementów. Zatem $m\ne -2\frac{1}{2}$. Aby zbiór rozwiązań równania był zbiorem dwuelementowym, m musi należeć do następującego przedziału: $m\in ⟨-2;2)$.