Przeczytaj
Równaniem wielomianowym stopnia , nazywamy równanie, które można zapisać w postaci
gdzie:
– jest wielomianem stopnia .
Pierwiastkiem wielomianu nazywamy taką liczbę rzeczywistą , dla której zachodzi warunek
Rozwiązaniem równania są wszystkie pierwiastki wielomianu .
W rozwiązywaniu zadań wykorzystamy definicje dotyczące działań na zbiorach.
Sumą zbiorów i nazywamy zbiór tych wszystkich elementów, które należą do zbioru lub należą do zbioru .
Iloczynem zbiorów i nazywamy zbiór tych wszystkich elementów, które należą do zbioru i należą do zbioru .
Różnicą zbiorów i nazywamy zbiór tych wszystkich elementów, które należą do zbioru i nie należą do zbioru .
Obliczymy sumę kwadratów wszystkich pierwiastków równania .
Niech , .
, zatem równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania , .
Ze wzorów Viete’a wiemy, że oraz , czyli oba rozwiązania równania są dodatnie.
Zatem równanie ma cztery rozwiązania , , , .
Suma kwadratów pierwistków równania jest równa:
Suma kwadratów wszystkich pierwiastków równania jest równa .
Dla jakich wartości parametru równanie ma dokładnie jeden pierwiastek rzeczywisty?
lub
Równanie ma dokładnie jeden pierwiastek rzeczywisty dla .
Dla jakich wartości parametru rozwiązaniem równania jest liczba ?
Aby liczba była rozwiązaniem równania musi zachodzić warunek:
lub lub
Aby rozwiązaniem równania była liczba : , , .
Wyznacz sumęsumę, iloczyniloczyn i różnice zbiorówróżnice zbiorów i (, oraz , ) jeżeli:
Rozwiążemy najpierw równanie .
lub lub .
Zajmiemy się teraz rozwiązaniem równania
lub lub
czyli
Zatem , , , .
Dla jakich wartości parametru część wspólna zbiorów i jest zbiorem jednoelementowym?
Aby iloczyn był zbiorem jednoelementowym lewy kraniec przedziału musi przyjmować taką samą wartość, jak prawy kraniec przedziału .
Czyli
lub
Dla , iloczyn zbiorów i jest zbiorem jednoelementowym.
Słownik
sumą zbiorów i nazywamy zbiór tych wszystkich elementów, które należą do zbioru lub należą do zbioru
iloczynem zbiorów i nazywamy zbiór tych wszystkich elementów, które należą do zbioru i należą do zbioru
różnicą zbiorów i nazywamy zbiór tych wszystkich elementów, które należą do zbioru i nie należą do zbioru