Równaniem wielomianowym stopnia $n$, $n\in \mathrm{\mathbb{N}}$ nazywamy równanie, które można zapisać w postaci

gdzie:
$W\left(x\right)$ – jest wielomianem stopnia $n$.

Pierwiastkiem wielomianu $W\left(x\right)$ nazywamy taką liczbę rzeczywistą $a$, dla której zachodzi warunek

Sumą zbiorów $A$ i $B$ nazywamy zbiór tych wszystkich elementów, które należą do zbioru $A$ lub należą do zbioru $B$.

Iloczynem zbiorów $A$ i $B$ nazywamy zbiór tych wszystkich elementów, które należą do zbioru $A$ i należą do zbioru $B$.

Różnicą zbiorów $A$ i $B$ nazywamy zbiór tych wszystkich elementów, które należą do zbioru $A$ i nie należą do zbioru $B$.

Obliczymy sumę kwadratów wszystkich pierwiastków równania $x^4-4x^2+2=0$.

$x^4-4x^2+2=0$

Niech $x^2=t$, $t\ge 0$.

$t^2-4t+2=0$

$∆=16-4·2=8>0$, zatem równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania $t_1$, $t_2$.

Ze wzorów Viete’a wiemy, że $t_1+t_2=4>0$ oraz $t_1·t_2=2>0$, czyli oba rozwiązania równania są dodatnie.

Zatem równanie $x^4-4x^2+2=0$ ma cztery rozwiązania $-\sqrt{t_1}$, $-\sqrt{t_2}$, $\sqrt{t_1}$, $\sqrt{t_2}$.

Suma kwadratów pierwistków równania jest równa:

${\left(-\sqrt{t_1}\right)}^2+{\left(-\sqrt{t_2}\right)}^2+{\left(\sqrt{t_1}\right)}^2+{\left(\sqrt{t_2}\right)}^2=t_1+t_2+t_1+t_2=2t_1+2t_2=$

$=2·\left(t_1+t_2\right)=2·4=8$

Suma kwadratów wszystkich pierwiastków równania jest równa $8$.

Dla jakich wartości parametru $p$ równanie $x^3+\left(p-1\right)x^2+2px=0$ ma dokładnie jeden pierwiastek rzeczywisty?

$x^3+\left(p-1\right)x^2+2px=0$

$x\left(x^2+\left(p-1\right)x+2p\right)=0$

$x=0$ lub $x^2+\left(p-1\right)x+2p=0$ $∆={\left(p-1\right)}^2-4·2p=p^2-2p+1-8p=p^2-10p+1$

$p^2-10p+1<0$

$∆p=100-4=96\Rightarrow \sqrt{96}=4\sqrt{6 }$

$p_1=\frac{10-4\sqrt{6}}{2}=5-2\sqrt{6}$

$p_2=\frac{10+4\sqrt{6}}{2}=5+2\sqrt{6}$

$p\in \left(5-2\sqrt{6}, 5+2\sqrt{6}\right)$

Równanie ma dokładnie jeden pierwiastek rzeczywisty dla $p\in \left(5-2\sqrt{6}, 5+2\sqrt{6}\right)$.

Dla jakich wartości parametru $m$ rozwiązaniem równania $m{x}^2-7x+6=0$ jest liczba $m$?

Aby liczba $m$ była rozwiązaniem równania musi zachodzić warunek:

$m·m^2-7m+6=0$

$m^3-7m+6=0$

$m^3-m-6m+6=0$

$m\left(m^2-1\right)-6·\left(m-1\right)=0$

$m\left(m-1\right)\left(m+1\right)-6·\left(m-1\right)=0$

$\left(m-1\right)\left[m\left(m+1\right)-6\right]=0$

$\left(m-1\right)\left(m^2+m-6\right)=0$

$\left(m-1\right)\left(m+3\right)\left(m-2\right)=0$

$m=1$ lub $m=-3$ lub $m=2$

Aby rozwiązaniem równania była liczba $m$: $m=-3$, $m=1$, $m=2$.

Wyznacz sumęsuma zbiorów A i Bsumę, iloczyniloczyn zbiorów A i Biloczyn i różnice zbiorówróżnica zbiorów A i Bróżnice zbiorów $A$ i $B$ ($A\cap B$, $A\cup B$ oraz $A\setminus B$, $B\setminus A$) jeżeli:

$A=\left\{x\in \mathrm{ℝ}: x^3+2x^2-5x-6=0\right\}$

$B=\left\{x\in \mathrm{ℝ}: x^3-4x=0\right\}$

Rozwiążemy najpierw równanie $x^3+2x^2-5x-6=0$.

$x^3+3x^2-x^2-3x-2x-6=0$

$x^2\left(x+3\right)-x\left(x+3\right)-2·\left(x+3\right)=0$

$\left(x+3\right)\left(x^2-x-2\right)=0$

$\left(x+3\right)\left(x+1\right)\left(x-2\right)=0$

$x=-3$ lub $x=-1$ lub $x=2$.

Zajmiemy się teraz rozwiązaniem równania

$x^3-4x=0$

$x\left(x^2-4\right)=0$

$x\left(x-2\right)\left(x+2\right)=0$

$x=0$ lub $x=2$ lub $x=-2$

czyli $A=\left\{-3, -1, 2\right\}$

$B=\left\{-2, 0, 2\right\}$

Zatem $A\cap B=\left\{2\right\}$, $A\cup B=\left\{-3, -2, -1, 0, 2\right\}$, $A\setminus B=\left\{-3, -1\right\}$, $B\setminus A=\left\{-2, 0\right\}$.

Dla jakich wartości parametru $p$ część wspólna zbiorów $A=\left(-\infty , p^3-4\right.⟩$ i $B=\left.⟨-3p^2, \infty \right)$ jest zbiorem jednoelementowym?

Aby iloczyn $A\cap B$ był zbiorem jednoelementowym lewy kraniec przedziału $A$ musi przyjmować taką samą wartość, jak prawy kraniec przedziału $B$.

Czyli $p^3-4=-3p^2$

$p^3+3p^2-4=0$

$p^3-p^2+4p^2-4=0$

$p^2\left(p-1\right)+4·\left(p^2-1\right)=0$

$p^2\left(p-1\right)+4·\left(p-1\right)\left(p+1\right)=0$

$\left(p-1\right)\left[p^2+4·\left(p+1\right)\right]=0$

$\left(p-1\right)\left(p^2+4p+4\right)=0$

$\left(p-1\right){\left(p+2\right)}^2=0$

$p=1$ lub $p=-2$

Dla $p=1$, $p=-2$ iloczyn zbiorów $A$ i $B$ jest zbiorem jednoelementowym.

sumą zbiorów $A$ i $B$ nazywamy zbiór tych wszystkich elementów, które należą do zbioru $A$ lub należą do zbioru $B$

iloczynem zbiorów $A$ i $B$ nazywamy zbiór tych wszystkich elementów, które należą do zbioru $A$ i należą do zbioru $B$

różnicą zbiorów $A$ i $B$ nazywamy zbiór tych wszystkich elementów, które należą do zbioru $A$ i nie należą do zbioru $B$