Galeria zdjęć interaktywnych

Jeżeli wielomian stopnia $n$ ma $n$ pierwiastków (z uwzględnieniem ich krotności), to związek między pierwiastkami wielomianu a jego współczynnikami opisują znane nam już z funkcji kwadratowej wzory Viète’a.

Polecenie 1

Zapoznaj się z galerią zdjęć interaktywnych, wprowadzającą zależności analogiczne do znanych ci z funkcji kwadratowej wzorów Viète’a dla wielomianów trzeciego i czwartego stopnia.

RNM7dHmaWGbk9

Ilustracja pierwsza ma tytuł: wzory Viete'a dla wielomianów trzeciego i czwartego stopnia. Przypomnijmy wzory Viete'a dla wielomianów drugiego stopnia, czyli dla funkcji kwadratowej i spróbujmy uogólnić je dla wielomianów wyższych stopni. Pamiętamy, żefunkcja kwadratowa jest funkcją wielomianową drugiego stopnia. Dany jest wielomian drugiego stopnia:

W (x) = a x^{2} + b x + c, a \neq 0

, który ma dwa pierwiastki:

x_{1}

oraz

x_{2}

. Wzory Viete'a wyrażają sumę i iloczyn pierwiastków za pomocą współczynników przy wyrazach wielomianu. Z lekcji o funkcji kwadratowej wiemy, że zachodzą wtedy zależności między pierwiastkami i współczynnikami wielomianu, zwane wzorami Viete'a:

\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} \\ x_{1} x_{2} = \frac{c}{a} \end{cases}

RIQerv9TMTjeP

Ilustracja druga. Przejdźmy do wielomianów wyższego stopnia. Spróbujmy wyznaczyć podobne zależności dla wielomianów stopnia trzeciego i czwartego. Dany jest wielomian trzeciego stopnia:

W (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d, a \neq 0

, który ma pierwiastki:

x_{1}

x_{2}

oraz

x_{3}

. Mamy wielomian trzeciego stopnia, który ma trzy pierwiastki. Możemy go zapisać w postaci iloczynowej.

W (x)

ma trzy pierwiastki, więc możemy zapisać:

W (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2}) (x - x_{3})

. Po przemnożeniu i pogrupowaniu mamy sumę jednomianów. >. Po przemnożeniu i pogrupowaniu wielomianów uzyskamy:

W (x) = a x^{3} - a (x_{1} + x_{2} + x_{3}) x^{2} + a (x_{1} x_{2} + x_{2} x_{3} + x_{3} x_{1}) x - a x_{1} x_{2} x_{3}

. Mamy więc zapis wielomianu

W (x)

dwoma sposobami.
Skorzystajmy z własności wielomianów równych porównując współczynniki przy kolejnych wyrazach wielomianu.

Rv2uh79qwgfk2

Ilustracja trzecia: Porównajmy współczynniki przy

x^{2}

. Uzyskaliśmy zależność między sumą pierwiastków wielomianu i jego współczynnikami – to pierwszy wzór. Zatem porównując współczynniki

x^{2}

otrzymujemy równość:

b = - a (x_{1} + x_{2} + x_{3})

, czyli:

x_{1} + x_{2} + x_{3} = - \frac{b}{a}

. Porównajmy współczynniki przy

x

. Uzyskaliśmy zależność między sumą iloczynów wszystkich par pierwiastków wielomianu i jego współczynnikami – mamy drugi wzór. Porównując współczynniki przy x otrzymujemy równość:

c = a (x_{1} x_{2} + x_{2} x_{3} + x_{3} x_{1})

, czyli:

x_{1} x_{2} + x_{2} x_{3} + x_{3} x_{1} = \frac{c}{a}

. Porównajmy wyrazy wolne. Tu mamy zależność między iloczynem pierwiastków wielomianu i jego współczynnikami, która jest trzecim wzorem Viete'a dla wielomianu trzeciego stopnia. Porównując wyrazy wolne mamy równość:

d = - a x_{1} x_{2} x_{3}

, więc

x_{1} x_{2} x_{3} = - \frac{d}{a}

RjGS36Xn7F8W2

Na ilustracji czwartej rozważmy wielomian czwartego stopnia, który ma cztery pierwiastki. Będziemy postępować analogiczne, jak przy wielomianie trzeciego stopnia. Zatem dany jest wielomian czwartego stopnia:

W (x) = a x^{4} + b x^{3} + c x^{2} + d x + e, a \neq 0

, który ma cztery pierwiastki:

x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}

. Możemy go zapisać w postaci iloczynowej.

W (x)

ma cztery pierwiastki, więc możemy zapisać:

W (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2}) (x - x_{3}) (x - x_{4})

. Po przemnożeniu i pogrupowaniu mamy sumę jednomianów. Czynników było więcej, więc uporządkowanie tego wyrażenia zajmuje trochę więcej czasu. Nasze wyrażenie wygląda następująco:

W (x) = a x^{4} - a x_{1} + (x_{2} + x_{3} + x_{4}) x {(x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{1} x_{4} + x_{2} x_{3} + x_{2} x_{4} + x_{3} x_{4})}^{3} + a x^{2} - a (x_{1} x_{2} x_{3} + x_{1} x_{3} x_{4} + x_{1} x_{2} x_{4} + x_{2} x_{3} x_{4}) x + a x_{1} x_{2} x_{3} x_{4}

. Mamy więc zapis wielomianu

W (x)

dwoma sposobami.
Skorzystajmy z własności wielomianów równych porównując współczynniki przy kolejnych wyrazach wielomianu.

R1LgKCmPQFlLg

Ilustracja piąta: Porównajmy współczynniki przy

x^{3}

. Uzyskaliśmy zależność między sumą pierwiastków wielomianu i jego współczynnikami. Porównując współczynniki przy

x^{3}

otrzymujemy równość:

b = - a (x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4})

, czyli:

x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = - \frac{b}{a}

. Porównajmy współczynniki przy

x^{2}

. Uzyskaliśmy zależność między sumą iloczynów wszystkich par pierwiastków wielomianu i jego współczynnikami. Porównując współczynniki przy

x^{2}

otrzymujemy równość:

c = a (x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{1} x_{4} + x_{2} x_{3} + x_{2} x_{4} + x_{3} x_{4})

, czyli:

x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{1} x_{4} + x_{2} x_{3} + x_{2} x_{4} + x_{3} x_{4} = \frac{c}{a}

. Porównajmy współczynniki przy

x

. Uzyskaliśmy zależność między sumą iloczynów wszystkich trzyelementowych grup pierwiastków wielomianu i jego współczynnikami. Porównując współczynniki przy x otrzymujemy równość:

d = - a (x_{1} x_{2} x_{3} + x_{1} x_{3} x_{4} + x_{1} x_{2} x_{4} + x_{2} x_{3} x_{4})

, więc:

\frac{v}{p} - = \forall x ε x^{z} x + \forall x^{z} x I x + \forall x ε x^{1} x + ε x^{z} x^{I} x

. Porównajmy wyrazy wolne. Tu podobnie jak dla wielomianów niższych stopni mamy zależność między iloczynem pierwiastków wielomianu i jego współczynnikami. Porównując wyrazy wolne mamy równość:

e = a x_{1} x_{2} x_{3} x_{4}

, więc:

x_{1} x_{2} x_{3} x_{4} = \frac{e}{a}

RipsfLUXYWXdy

RlB3mN4rjox5J

R3aSmSohnZSI1

Ilustracja ósma zawiera podsumowanie wzorów Viete’a dla wielomianu czwartego stopnia. Jeżeli wielomian:

W (x) = a x^{4} + b x^{3} + c x^{2} + d x + e, a \neq 0

ma cztery pierwiastki

x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}

,to:

\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = - \frac{b}{a} \\ x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{1} x_{4} + x_{2} x_{3} + x_{2} x_{4} + x_{3} x_{4} = \frac{c}{a} \\ x_{1} x_{2} x_{3} + x_{1} x_{3} x_{4} + x_{1} x_{2} x_{4} + x_{2} x_{3} x_{4} = - \frac{d}{a} \\ x_{1} x_{2} x_{3} x_{4} = \frac{e}{a} \end{cases}

. Przeprowadzając analogiczne obliczenia można wyprowadzić podobne wzory dla wielomianów stopnia piątego, szóstego i dalszych. Można oczywiście wyprowadzić analogiczne wzory dla wielomianów dowolnego stopnia.

Polecenie 2

Wykorzystując twierdzenie Bézouta i wzory Viète’a, zapisz podane wielomiany w postaci iloczynowej.

$F (x) = x^{2} + 4 x - 21$
$G (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 6 x + 8$
$H (x) = x^{4} + 4 x^{3} - 7 x^{2} - 22 x + 24$

Pierwiastkami tego wielumianu są liczby $x_{1}$ , $x_{2}$ , których suma wynosi $\frac{4}{1}$ a iloczyn $- \frac{21}{1}$ . Oczywiście możemy rozwiązać układ dwóch równań z dwoma niewadomymi, ale nie trudno jest po prostu zauważyć, że $x_{1} = 3$ i $x_{2} = - 7$ .
Zauważmy, że $G (1) = 0$ , więc na mocy twierdzenia Bézouta $x = 1$ jest pierwiastkiem tego wielomianu. Po wykonaniu dzielenia otrzymujemy, że $G (x) = (x - 1) (x^{2} - 2 x - 8)$ . Aby rozłożyć na czynniki drugi z czynników skorzystamy ze wzorów Viete'a i „odgadnemy” liczby, których suma to $- 2$ a iloczyn $- 8$ . Są to liczby $x_{1} = 3$ i $x_{2} = - 4$ .
Zauważmy, że $H (1) = 0$ , więc na mocy twierdzenia Bézouta $x = 1$ jest pierwiastkiem tego wielomianu. Po wykonaniu dzielenia otrzymujemy, że $H (x) = (x - 1) (x^{3} + 5 x^{2} - 2 x - 24)$ . Aby rozłożyć na czynniki drugi z czynników, ponownie skorzystamy z twierdzenia Bézouta i zauważymy, że $H (2) = 0$ , więc na mocy twierdzenia Bézouta $x = 2$ jest pierwiastkiem rozważanego wielomianu. Wykonując ponownie dzielenie otrzymujemy równość $H (x) = (x - 1) (x - 2) (x^{2} + 7 x + 12)$ . Rozkładając trzeci czynnik na czynnki skorzystamy ze wzorów Viete'a i „odgadnemy” liczby, których suma to $7$ a iloczyn $12$ . Są to liczby $x_{1} = 3$ i $x_{2} = 4$ .

$F (x) = (x - 3) (x + 7)$
$G (x) = (x - 1) (x + 2) (x - 4)$
$H (x) = (x - 2) (x + 3) (x - 1) (x + 4)$

Przeczytaj

Sprawdź się