Wyznacz pierwiastki wielomianupierwiastek wielomianupierwiastki wielomianu $W\left(x\right)=5\sqrt{7}x+3\sqrt{2}$.

Rozwiązanie

Jest to wielomian pierwszego stopnia, więc dla wyznaczenia jego pierwiastka (jako wielomian pierwszego stopnia ma jeden pierwiastek) wystarczy rozwiązać proste równanie liniowe
$5\sqrt{7}x+3\sqrt{2}=0$.

Pierwiastkiem wielomianu jest rozwiązanie tego równania, czyli liczba
$x_1=-\frac{3\sqrt{2}}{5\sqrt{7}}=-\frac{3\sqrt{14}}{35}$.

Wyznacz pierwiastki wielomianu $W\left(x\right)=7x^2-6\sqrt{2}x+2$.

Rozwiązanie

Jest to wielomian drugiego stopnia, czyli dla wyznaczenia jego pierwiastków wystarczy rozwiązać równanie kwadratowe
$7x^2-6\sqrt{2}x+2=0$.

Obliczamy wyróżnik
$\Delta =72-56=16$.

$\Delta >0$, wielomian ma więc dwa różne pierwiastki
$x_1=\frac{3\sqrt{2}-2}{7}$, $x_2=\frac{3\sqrt{2}+2}{7}$.

Wyznacz pierwiastki wielomianu $W\left(x\right)=8x^3-36x^2+54x-27$.

Rozwiązanie

Jest to wielomian trzeciego stopnia. Jako wielomian stopnia nieparzystego musi mieć co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty. Liczba wszystkich pierwiastków rzeczywistychliczba pierwiastków wielomianuLiczba wszystkich pierwiastków rzeczywistych z uwzględnieniem ich krotności nie może przekroczyć $3$.

Analizując kolejne wyrazy wielomianu, można zauważyć wzór skróconego mnożenia na sześcian różnicy
$W\left(x\right)={\left(2x-3\right)}^3$.

Wystarczy zatem rozwiązać równanie
${\left(2x-3\right)}^3=0$.

Wielomian ma pierwiastek potrójny
$x_1=x_2=x_3=\frac{3}{2}$.

Wyznacz pierwiastki wielomianu $W\left(x\right)=x^3+5x^2+\sqrt{2}x+5\sqrt{2}$.

Rozwiązanie

Jest to wielomian trzeciego stopnia. Jako wielomian stopnia nieparzystego musi mieć co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty. Liczba wszystkich pierwiastków rzeczywistych z uwzględnieniem ich krotności nie może przekroczyć $3$.

Szukamy rozwiązań równania
$x^3+5x^2+\sqrt{2}x+5\sqrt{2}=0$.

Zauważmy, że składniki wielomianu można pogrupować
$x^2\left(x+5\right)+\sqrt{2}\left(x+5\right)=0$
$\left(x+5\right)\left(x^2+\sqrt{2}\right)=0$.

Jedynym rozwiązaniem rzeczywistym tego równania jest $\left(-5\right)$. Czynnik $x^2+\sqrt{2}$ jest (w liczbach rzeczywistych) nierozkładalny.

Wielomian ma jeden pierwiastek rzeczywisty $x_1=-5$.

Wyznacz pierwiastki wielomianu $W\left(x\right)=6x^3+11x^2-31x+14$.

Rozwiązanie

Jest to wielomian trzeciego stopnia. Jako wielomian stopnia nieparzystego musi mieć co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty. Liczba wszystkich pierwiastków rzeczywistych z uwzględnieniem ich krotności nie może przekroczyć $3$.

Sprawdźmy, czy wielomian $W\left(x\right)$ ma jakiś pierwiastek całkowity. Zgodnie z twierdzeniem o pierwiastkach całkowitych wystarczy przeanalizować całkowite dzielniki wyrazu wolnego $14$.

Łatwo zauważymy, że
$W\left(1\right)=6+11-31+14=0$.

Zgodnie z twierdzeniem Bézoutatwierdzenie Bézoutatwierdzeniem Bézouta wielomian jest podzielny przez $x-1$. Po wykonaniu dzielenia (np. za pomocą schematu Hornera) możemy zapisać równanie z użyciem postaci iloczynowej
$\left(x-1\right)\left(6x^2+17x-14\right)=0$.

Za pomocą wyróżnika $\Delta$ szukamy miejsc zerowych trójmianu kwadratowego
$6x^2+17x-14$.

Po obliczeniach uzyskujemy liczby $-\frac{7}{2}$ i $\frac{2}{3}$.

Zatem wielomian $W\left(x\right)$ ma trzy pierwiastki rzeczywiste
$x_1=1$, $x_2=-\frac{7}{2}$, $x_3=\frac{2}{3}$.

Wyznacz pierwiastki wielomianu $W\left(x\right)=4x^4-4x^3-7x^2+8x-2$.

Rozwiązanie

Jest to wielomian czwartego stopnia, może mieć więc co najwyżej cztery pierwiastki rzeczywiste, z uwzględnieniem ich krotności.

Analizując dzielniki wyrazu wolnego (czyli liczby $\pm 1$, $\pm 2$) możemy zauważyć, że wielomian nie ma pierwiastków całkowitych.

Korzystając z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych, możemy szukać pierwiastków wielomianu wśród liczb $\pm \frac{1}{2}$, $\pm \frac{1}{4}$.

$W\left(\frac{1}{2}\right)=4·\frac{1}{16}-4·\frac{1}{8}-7·\frac{1}{4}+8·\frac{1}{2}-2=0$, czyli wielomian $W\left(x\right)$ jest podzielny przez $x-\frac{1}{2}$. Możemy to dzielenie wykonać dowolną metodą.

Szukamy więc rozwiązań równania
$\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(4x^3-2x^2-8x+4\right)=0$.

Wielomian w nawiasie możemy sprowadzić do postaci iloczynowej za pomocą grupowania
$\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(2x^2\left(2x-1\right)-4\left(2x-1\right)\right)=0$
$\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(2x-1\right)\left(2x^2-4\right)=0$
$4{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2\left(x^2-2\right)=0$.

Po użyciu wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów mamy zapis
$4{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2\left(x-\sqrt{2}\right)\left(x+\sqrt{2}\right)=0$.

Wielomian ma zatem pierwiastek podwójny $x_1=x_2=\frac{1}{2}$ oraz dwa pierwiastki jednokrotne $x_3=\sqrt{2}$, $x_4=-\sqrt{2}$.

Wyznacz pierwiastki wielomianu $W\left(x\right)=x^4-2x^3+3x^2-2x+2$.

Rozwiązanie

Jest to wielomian czwartego stopnia, może mieć więc co najwyżej cztery pierwiastki rzeczywiste, z uwzględnieniem ich krotności.

Korzystając z twierdzenia o pierwiastkach wymiernychtwierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitychtwierdzenia o pierwiastkach wymiernych, możemy zauważyć, że jeśli wielomian ma pierwiastek wymierny, to musi to być całkowity dzielnik liczby $2$.

Po sprawdzeniu wartości wielomianu dla liczb $\pm 1$, $\pm 2$ wiemy, że wielomian $W\left(x\right)$ nie ma żadnych pierwiastków wymiernych.

Szukamy rozwiązań równania
$x^4-2x^3+3x^2-2x+2=0$.

Wiemy z twierdzenia o postaci iloczynowej wielomianu, że wielomian ten musi się dać zapisać w postaci iloczynu czynników stopnia co najwyżej drugiego.

Spróbujmy pogrupować wyrazy wielomianu
$\left(x^4-2x^3+2x^2\right)+\left(x^2-2x+2\right)=0$
$x^2\left(x^2-2x+2\right)+\left(x^2-2x+2\right)=0$
$\left(x^2-2x+2\right)\left(x^2+1\right)=0$.

Zauważmy, że oba uzyskane wielomiany drugiego stopnia nie mają pierwiastków rzeczywistych, zatem wielomian $W\left(x\right)$ nie ma pierwiastków rzeczywistych.

• wielomian stopnia $n$ ma co najwyżej $n$ pierwiastków rzeczywistych z uwzględnieniem ich krotności (pierwiastki wielokrotne liczymy tyle razy, ile wynosi ich krotność)

• wielomian stopnia nieparzystego ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty

dla wielomianu $W\left(x\right)$ jednej zmiennej $x$ to liczba $x_0$ taka, że $W\left(x_0\right)=0$

liczba $a$ jest pierwiastkiem wielomianu $W\left(x\right)$ wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian $W\left(x\right)$ dzieli się przez dwumian $x-a$ bez reszty.

dany jest wielomian $W\left(x\right)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_0$, w którym wszystkie współczynniki $a_n$, $a_{n-1}$, $\dots$, $a_1$ i $a_0$ są liczbami całkowitymi, przy czym $a_n\ne 0$ i $a_0\ne 0$.
Jeżeli liczba wymierna $\frac{p}{q}$ zapisana w postaci ułamka nieskracalnego, w którym liczby $p$ i $q$ są całkowite jest pierwiastkiem wielomianu $W\left(x\right)$, to $p$ jest dzielnikiem (dodatnim lub ujemnym) wyrazu wolnego $a_0$, zaś $q$ jest dzielnikiem współczynnika $a_n$ przy najwyższej potędze zmiennej