Ilustracja pierwsza. Treść zadania: Wyznacz obwód prostokąta ABCD, wiedząc, że pole trapezu prostokątnego AEJG wynosi dwanaście początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka oraz suma jego podstaw wynosi początek ułamka, siedemnaście, mianownik, dwa, koniec ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka. Rozwiązanie. Korzystając ze wzoru na pole powierzchni trapezu, wyznaczymy jego wysokość długość odcinka, E I, koniec długości odcinka. Ilustracja do zadania. Rysunek przedstawia prostokąt ABCD. Na górnym boku AB zaznaczono punkt E. Z punktu E poprowadzono odcinek do wierzchołka C. Na prawym pionowym boku BC oznaczono punkt F, z którego poprowadzono odcinek do punktu G leżącego na dolnym boku CD prostokąta. Odcinki EC i FG przecinają się w punkcie J. Z punktu G poprowadzono odcinek do wierzchołka A. Na lewym pionowym boku AD oznaczono punkt H, z którego poprowadzono odcinek do punktu E leżącego na górnym boku AB prostokąta. Odcinki GA i HE przecinają się pod kątem prostym w punkcie I. Wewnątrz prostokąta ABCD powstały dwie figury wyróżnione kolorem. Pierwsza to trójkąt prostokątny równoramienny AIE, gdzie przy wierzchołku I oznaczono kąt prosty, a przy wierzchołku E kąt 45 stopni. Druga figura w prostokącie to ukośnie położony prostokąt EIGJ. Łącznie figury wewnętrzne tworzą trapez prostokątny AGJE. Obliczenia. Pole trapezu AGJE wyraża się wzorem: P, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, razy, początek ułamka, siedemnaście, mianownik, dwa, koniec ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, razy, długość odcinka, E I, koniec długości odcinka. Podstawiamy do lewej strony równania daną z treści zadania, czyli podaną wielkość pola. dwanaście początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, razy, początek ułamka, siedemnaście, mianownik, dwa, koniec ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, razy, długość odcinka, E I, koniec długości odcinka Mnożymy obie strony przez cztery, pozbywając się ułamka. pięćdziesiąt jeden, równa się, siedemnaście pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, razy, długość odcinka, E I, koniec długości odcinka Wyznaczamy długość odcinka EI. długość odcinka, E I, koniec długości odcinka, równa się, początek ułamka, trzy, mianownik, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, trzy pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka

Ilustracja druga. Dalsza część zadania. Trójkąt AEI jest trójkątem prostokątnym równoramiennym. Zatem odcinek AI ma długość długość odcinka, A I, koniec długości odcinka, równa się, długość odcinka, E I, koniec długości odcinka, równa się, początek ułamka, trzy pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka. Czworokąt E J G I jest prostokątem, zatem długość odcinka, I G, koniec długości odcinka, równa się, długość odcinka, E J, koniec długości odcinka. Korzystając z tych faktów oraz znajomości wartości sumy podstaw trapezu A E J G, jesteśmy w stanie wyznaczyć długość odcinka długość odcinka, I G, koniec długości odcinka. Obliczenia. długość odcinka, A I, koniec długości odcinka, plus, długość odcinka, I G, koniec długości odcinka, plus, długość odcinka, E J, koniec długości odcinka, równa się, początek ułamka, siedemnaście pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka Podstawiamy długości poszczególnych odcinków, które znamy. początek ułamka, trzy pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, plus, dwa, razy, długość odcinka, I G, koniec długości odcinka, równa się, początek ułamka, siedemnaście pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka Wyznaczamy stopniowo długość odcinka IG. dwa, razy, długość odcinka, I G, koniec długości odcinka, równa się, początek ułamka, czternaście pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka Dzielimy obie strony przez dwa i otrzymujemy wynik. długość odcinka, I G, koniec długości odcinka, równa się, początek ułamka, siedem pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka

Ilustracja trzecia. Przyjrzyjmy się trójkątowi A D G. Opis ilustracji: Rysunek przedstawia prostokąt A B C D. Na górnym boku A B zaznaczono punkt E. Z punktu E poprowadzono odcinek do wierzchołka C. Na prawym pionowym boku B C oznaczono punkt F, z którego poprowadzono odcinek do punktu G leżącego na dolnym boku C D prostokąta. Odcinki E C i F G przecinają się w punkcie J. Z punktu G poprowadzono odcinek do wierzchołka A. Na lewym pionowym boku AD oznaczono punkt H, z którego poprowadzono odcinek do punktu E leżącego na górnym boku A B prostokąta. Odcinki G A i H E przecinają się pod kątem prostym w punkcie I. Wewnątrz prostokąta A B C D powstały dwie figury wyróżnione kolorem. Pierwsza to trójkąt prostokątny równoramienny A I E, gdzie przy wierzchołku I oznaczono kąt prosty, a przy wierzchołku E kąt 45 stopni. Ramiona A I oraz I E trójkąta mają długość trzy drugie pierwiastków kwadratowych z dwóch każde. Druga figura w prostokącie to ukośnie położony prostokąt E I G J, którego krótszy bok pokrywa się z ramieniem trójkąta. Bok ten to I E o długości trzy drugich pierwiastka z dwóch. Dłuższy bok prostokąta, bok I G ma długość siedem drugich pierwiastków z dwóch. Łącznie figury wewnętrzne tworzą trapez prostokątny A G J E. Koniec opisu. Komentarz: Zauważamy, że jest on prostokątny i równoramienny, ponieważ kąty kąt A D G i  kąt D A G mają miary odpowiednio dziewięćdziesiąt stopni i czterdzieści pięć stopni. Pozwoli nam to wykorzystać funkcje trygonometryczne do znalezienia potrzebnych w zadaniu długości boków A D i D G.

Ilustracja czwarta. Polecenie: Wyznaczymy długość boków trójkąta A D G. Długość boku A G to suma długości odcinków A I oraz I G, które są już nam znane. Zatem długość odcinka, A G, koniec długości odcinka, równa się, długość odcinka, A I, koniec długości odcinka, plus, długość odcinka, I G, koniec długości odcinka, równa się, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, plus, początek ułamka, siedem, mianownik, dwa, koniec ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, równa się, pięć pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka. Opis ilustracji. Rysunek przedstawia prostokąt A B C D. Na górnym boku A B zaznaczono punkt E. Z punktu E poprowadzono odcinek do wierzchołka C. Na prawym pionowym boku B C oznaczono punkt F, z którego poprowadzono odcinek do punktu G leżącego na dolnym boku C D prostokąta. Odcinki E C i F G przecinają się w punkcie J. Z punktu G poprowadzono odcinek do wierzchołka A. Na lewym pionowym boku AD oznaczono punkt H, z którego poprowadzono odcinek do punktu E leżącego na górnym boku A B prostokąta. Odcinki G A i H E przecinają się pod kątem prostym w punkcie I. Wewnątrz prostokąta A B C D powstały dwie figury wyróżnione kolorem. Pierwsza to trójkąt prostokątny równoramienny A I E, gdzie przy wierzchołku I oznaczono kąt prosty, a przy wierzchołku E kąt 45 stopni. Ramiona A I oraz I E trójkąta mają długość trzy drugie pierwiastków kwadratowych z dwóch każde. Przy wierzchołku A zaznaczono kąt H A I o mierze 45 stopni, przy wierzchołku D zaznaczono kąt prosty, czyli kąt A D G. W ten sposób mamy także wewnętrzny trójkąt prostokątny równoramienny A D G o przekątnej pięć pierwiastków z dwóch. Druga figura w prostokącie to ukośnie położony prostokąt E I G J, którego krótszy bok pokrywa się z ramieniem trójkąta. Bok ten to I E o długości trzy drugich pierwiastka z dwóch. Dłuższy bok prostokąta, bok I G ma długość siedem drugich pierwiastków z dwóch. Łącznie figury wewnętrzne tworzą trapez prostokątny A G J E. Koniec opisu. Długość długość odcinka, A D, koniec długości odcinka wyznaczymy korzystając z wartości sinusa czterdzieści pięć stopni. Obliczenia. początek ułamka, długość odcinka, A D, koniec długości odcinka, mianownik, długość odcinka, A G, koniec długości odcinka, koniec ułamka, równa się, sinus czterdzieści pięć stopni Stąd mamy, że długość odcinka, A D, koniec długości odcinka, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, razy, pięć pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, równa się, pięć. Dodatkowy komentarz: Z faktu, że trójkąt A D G jest równoramienny, otrzymujemy długość odcinka, D G, koniec długości odcinka, równa się, długość odcinka, A D, koniec długości odcinka, równa się, pięć.

Ilustracja piąta. Polecenie: Znamy już długość boku A D prostokąta A B C D. Wyznaczymy długość boku D C. Opis ilustracji: Rysunek przedstawia prostokąt A B C D. Na górnym boku A B zaznaczono punkt E. Z punktu E poprowadzono odcinek do wierzchołka C. Na prawym pionowym boku B C oznaczono punkt F, z którego poprowadzono odcinek do punktu G leżącego na dolnym boku C D prostokąta. Odcinki E C i F G przecinają się w punkcie J. Z punktu G poprowadzono odcinek do wierzchołka A. Na lewym pionowym boku AD oznaczono punkt H, z którego poprowadzono odcinek do punktu E leżącego na górnym boku A B prostokąta. Odcinki G A i H E przecinają się pod kątem prostym w punkcie I. Wewnątrz prostokąta A B C D powstały dwie figury wyróżnione kolorem. Pierwsza to trójkąt prostokątny równoramienny A I E, gdzie przy wierzchołku I oznaczono kąt prosty, a przy wierzchołku E kąt 45 stopni. Ramiona A I oraz I E trójkąta mają długość trzy drugie pierwiastków kwadratowych z dwóch każde. Przy wierzchołku A zaznaczono kąt H A I o mierze 45 stopni, przy wierzchołku D zaznaczono kąt prosty, czyli kąt A D G. W ten sposób mamy także wewnętrzny trójkąt prostokątny równoramienny A D G o przekątnej pięć pierwiastków z dwóch. Druga figura w prostokącie to ukośnie położony prostokąt E I G J, którego krótszy bok pokrywa się z ramieniem trójkąta. Bok ten to I E o długości trzy drugich pierwiastka z dwóch. Dłuższy bok prostokąta, bok I G ma długość siedem drugich pierwiastków z dwóch. Łącznie figury wewnętrzne tworzą trapez prostokątny A G J E. Koniec opisu. Bok D C składa się z odcinków długość odcinka, D G, koniec długości odcinka, równa się, pięć i długość odcinka, G C, koniec długości odcinka. Zauważmy, że długość odcinka, G C, koniec długości odcinka, równa się, długość odcinka, A E, koniec długości odcinka, bo trójkąty A E I i G C J są przystające. Zatem znajdziemy długość odcinka długość odcinka, A E, koniec długości odcinka. Obliczenia. długość odcinka, A E, koniec długości odcinka, równa się, początek ułamka, długość odcinka, E I, koniec długości odcinka, mianownik, sinus czterdzieści pięć stopni, koniec ułamka Po podstawieniu danych liczbowych mamy długość odcinka, A E, koniec długości odcinka, równa się, początek ułamka, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec ułamka, równa się, trzy. Komentarz: Stąd mamy długość odcinka, C G, koniec długości odcinka, równa się, długość odcinka, A E, koniec długości odcinka, równa się, trzy. Zatem długość boku D C wynosi długość odcinka, D C, koniec długości odcinka, równa się, długość odcinka, D G, koniec długości odcinka, plus, długość odcinka, G C, koniec długości odcinka, równa się, pięć, plus, trzy, równa się, osiem.

Ilustracja szósta. Dysponując długościami boków A D i D C, jesteśmy w stanie obliczyć obwód całego prostokąta A B C D. Ilustracja do zadania przedstawia opisany wcześniej prostokąt A B C D, na który dodatkowo naniesiono długości boków: A D ma długość 5, a bok D C m a długość osiem. Obliczenia. l, równa się, dwa, razy, nawias, długość odcinka, A C, koniec długości odcinka, plus, długość odcinka, D C, koniec długości odcinka, zamknięcie nawiasu, równa się, dwa, razy, nawias, pięć, plus, osiem, zamknięcie nawiasu, równa się, dwadzieścia sześć Obwód prostokąta wynosi zatem 26