Ilustracja pierwsza. Treść zadania: Wyznacz obwód prostokąta ABCD, wiedząc, że pole trapezu prostokątnego AEJG wynosi $12\frac{3}{4}$ oraz suma jego podstaw wynosi $\frac{17}{2}\sqrt{2}$. Rozwiązanie. Korzystając ze wzoru na pole powierzchni trapezu, wyznaczymy jego wysokość $\left|EI\right|$. Ilustracja do zadania. Rysunek przedstawia prostokąt ABCD. Na górnym boku AB zaznaczono punkt E. Z punktu E poprowadzono odcinek do wierzchołka C. Na prawym pionowym boku BC oznaczono punkt F, z którego poprowadzono odcinek do punktu G leżącego na dolnym boku CD prostokąta. Odcinki EC i FG przecinają się w punkcie J. Z punktu G poprowadzono odcinek do wierzchołka A. Na lewym pionowym boku AD oznaczono punkt H, z którego poprowadzono odcinek do punktu E leżącego na górnym boku AB prostokąta. Odcinki GA i HE przecinają się pod kątem prostym w punkcie I. Wewnątrz prostokąta ABCD powstały dwie figury wyróżnione kolorem. Pierwsza to trójkąt prostokątny równoramienny AIE, gdzie przy wierzchołku I oznaczono kąt prosty, a przy wierzchołku E kąt 45 stopni. Druga figura w prostokącie to ukośnie położony prostokąt EIGJ. Łącznie figury wewnętrzne tworzą trapez prostokątny AGJE. Obliczenia. Pole trapezu AGJE wyraża się wzorem: $P=\frac{1}{2}·\frac{17}{2}\sqrt{2}·\left|EI\right|$. Podstawiamy do lewej strony równania daną z treści zadania, czyli podaną wielkość pola. $12\frac{3}{4}=\frac{1}{2}·\frac{17}{2}\sqrt{2}·\left|EI\right|$ Mnożymy obie strony przez cztery, pozbywając się ułamka. $51=17\sqrt{2}·\left|EI\right|$ Wyznaczamy długość odcinka EI. $\left|EI\right|=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$

Ilustracja druga. Dalsza część zadania. Trójkąt AEI jest trójkątem prostokątnym równoramiennym. Zatem odcinek AI ma długość $\left|AI\right|=\left|EI\right|=\frac{3\sqrt{2}}{2}$. Czworokąt $EJGI$ jest prostokątem, zatem $\left|IG\right|=\left|EJ\right|$. Korzystając z tych faktów oraz znajomości wartości sumy podstaw trapezu $AEJG$, jesteśmy w stanie wyznaczyć długość odcinka $\left|IG\right|$. Obliczenia. $\left|AI\right|+\left|IG\right|+\left|EJ\right|=\frac{{\displaystyle 17}\sqrt{2}}{2}$ Podstawiamy długości poszczególnych odcinków, które znamy. $\frac{{\displaystyle 3}\sqrt{2}}{2}+2·\left|IG\right|=\frac{{\displaystyle 17\sqrt{2}}}{2}$ Wyznaczamy stopniowo długość odcinka IG. $2·\left|IG\right|=\frac{{\displaystyle 14\sqrt{2}}}{2}$ Dzielimy obie strony przez dwa i otrzymujemy wynik. $\left|IG\right|=\frac{{\displaystyle 7\sqrt{2}}}{2}$

Ilustracja trzecia. Przyjrzyjmy się trójkątowi $ADG$. Opis ilustracji: Rysunek przedstawia prostokąt A B C D. Na górnym boku A B zaznaczono punkt E. Z punktu E poprowadzono odcinek do wierzchołka C. Na prawym pionowym boku B C oznaczono punkt F, z którego poprowadzono odcinek do punktu G leżącego na dolnym boku C D prostokąta. Odcinki E C i F G przecinają się w punkcie J. Z punktu G poprowadzono odcinek do wierzchołka A. Na lewym pionowym boku AD oznaczono punkt H, z którego poprowadzono odcinek do punktu E leżącego na górnym boku A B prostokąta. Odcinki G A i H E przecinają się pod kątem prostym w punkcie I. Wewnątrz prostokąta A B C D powstały dwie figury wyróżnione kolorem. Pierwsza to trójkąt prostokątny równoramienny A I E, gdzie przy wierzchołku I oznaczono kąt prosty, a przy wierzchołku E kąt 45 stopni. Ramiona A I oraz I E trójkąta mają długość trzy drugie pierwiastków kwadratowych z dwóch każde. Druga figura w prostokącie to ukośnie położony prostokąt E I G J, którego krótszy bok pokrywa się z ramieniem trójkąta. Bok ten to I E o długości trzy drugich pierwiastka z dwóch. Dłuższy bok prostokąta, bok I G ma długość siedem drugich pierwiastków z dwóch. Łącznie figury wewnętrzne tworzą trapez prostokątny A G J E. Koniec opisu. Komentarz: Zauważamy, że jest on prostokątny i równoramienny, ponieważ kąty $\sphericalangle ADG$ i $\sphericalangle DAG$ mają miary odpowiednio $90°$ i $45°$. Pozwoli nam to wykorzystać funkcje trygonometryczne do znalezienia potrzebnych w zadaniu długości boków $AD$ i $DG$.

Ilustracja czwarta. Polecenie: Wyznaczymy długość boków trójkąta A D G. Długość boku A G to suma długości odcinków A I oraz I G, które są już nam znane. Zatem $\left|AG\right|=\left|AI\right|+\left|IG\right|=\frac{3}{2}\sqrt{2}+\frac{7}{2}\sqrt{2}=5\sqrt{2}$. Opis ilustracji. Rysunek przedstawia prostokąt A B C D. Na górnym boku A B zaznaczono punkt E. Z punktu E poprowadzono odcinek do wierzchołka C. Na prawym pionowym boku B C oznaczono punkt F, z którego poprowadzono odcinek do punktu G leżącego na dolnym boku C D prostokąta. Odcinki E C i F G przecinają się w punkcie J. Z punktu G poprowadzono odcinek do wierzchołka A. Na lewym pionowym boku AD oznaczono punkt H, z którego poprowadzono odcinek do punktu E leżącego na górnym boku A B prostokąta. Odcinki G A i H E przecinają się pod kątem prostym w punkcie I. Wewnątrz prostokąta A B C D powstały dwie figury wyróżnione kolorem. Pierwsza to trójkąt prostokątny równoramienny A I E, gdzie przy wierzchołku I oznaczono kąt prosty, a przy wierzchołku E kąt 45 stopni. Ramiona A I oraz I E trójkąta mają długość trzy drugie pierwiastków kwadratowych z dwóch każde. Przy wierzchołku A zaznaczono kąt H A I o mierze 45 stopni, przy wierzchołku D zaznaczono kąt prosty, czyli kąt A D G. W ten sposób mamy także wewnętrzny trójkąt prostokątny równoramienny A D G o przekątnej pięć pierwiastków z dwóch. Druga figura w prostokącie to ukośnie położony prostokąt E I G J, którego krótszy bok pokrywa się z ramieniem trójkąta. Bok ten to I E o długości trzy drugich pierwiastka z dwóch. Dłuższy bok prostokąta, bok I G ma długość siedem drugich pierwiastków z dwóch. Łącznie figury wewnętrzne tworzą trapez prostokątny A G J E. Koniec opisu. Długość $\left|AD\right|$ wyznaczymy korzystając z wartości sinusa $45°$. Obliczenia. $\frac{\left|AD\right|}{\left|AG\right|}=\sin 45°$ Stąd mamy, że $\left|AD\right|=\frac{\sqrt{2}}{2}·5\sqrt{2}=5$. Dodatkowy komentarz: Z faktu, że trójkąt A D G jest równoramienny, otrzymujemy $\left|DG\right|=\left|AD\right|=5$.

Ilustracja piąta. Polecenie: Znamy już długość boku A D prostokąta A B C D. Wyznaczymy długość boku D C. Opis ilustracji: Rysunek przedstawia prostokąt A B C D. Na górnym boku A B zaznaczono punkt E. Z punktu E poprowadzono odcinek do wierzchołka C. Na prawym pionowym boku B C oznaczono punkt F, z którego poprowadzono odcinek do punktu G leżącego na dolnym boku C D prostokąta. Odcinki E C i F G przecinają się w punkcie J. Z punktu G poprowadzono odcinek do wierzchołka A. Na lewym pionowym boku AD oznaczono punkt H, z którego poprowadzono odcinek do punktu E leżącego na górnym boku A B prostokąta. Odcinki G A i H E przecinają się pod kątem prostym w punkcie I. Wewnątrz prostokąta A B C D powstały dwie figury wyróżnione kolorem. Pierwsza to trójkąt prostokątny równoramienny A I E, gdzie przy wierzchołku I oznaczono kąt prosty, a przy wierzchołku E kąt 45 stopni. Ramiona A I oraz I E trójkąta mają długość trzy drugie pierwiastków kwadratowych z dwóch każde. Przy wierzchołku A zaznaczono kąt H A I o mierze 45 stopni, przy wierzchołku D zaznaczono kąt prosty, czyli kąt A D G. W ten sposób mamy także wewnętrzny trójkąt prostokątny równoramienny A D G o przekątnej pięć pierwiastków z dwóch. Druga figura w prostokącie to ukośnie położony prostokąt E I G J, którego krótszy bok pokrywa się z ramieniem trójkąta. Bok ten to I E o długości trzy drugich pierwiastka z dwóch. Dłuższy bok prostokąta, bok I G ma długość siedem drugich pierwiastków z dwóch. Łącznie figury wewnętrzne tworzą trapez prostokątny A G J E. Koniec opisu. Bok $DC$ składa się z odcinków $\left|DG\right|=5$ i $\left|GC\right|$. Zauważmy, że $\left|GC\right|=\left|AE\right|$, bo trójkąty $AEI$ i $GCJ$ są przystające. Zatem znajdziemy długość odcinka $\left|AE\right|$. Obliczenia. $\left|AE\right|=\frac{\left|EI\right|}{\sin 45°}$ Po podstawieniu danych liczbowych mamy $\left|AE\right|=\frac{{\displaystyle \frac{3}{2}}\sqrt{2}}{{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}}=3$. Komentarz: Stąd mamy $\left|CG\right|=\left|AE\right|=3$. Zatem długość boku D C wynosi $\left|DC\right|=\left|DG\right|+\left|GC\right|=5+3=8$.

Ilustracja szósta. Dysponując długościami boków $AD$ i $DC$, jesteśmy w stanie obliczyć obwód całego prostokąta $ABCD$. Ilustracja do zadania przedstawia opisany wcześniej prostokąt A B C D, na który dodatkowo naniesiono długości boków: A D ma długość 5, a bok D C m a długość osiem. Obliczenia. $l=2·\left(\left|AC\right|+\left|DC\right|\right)=2·\left(5+8\right)=26$ Obwód prostokąta wynosi zatem 26