Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Zapisz jako PDF Udostępnij materiał

Zacznijmy od przeanalizowania poniższego rysunku.

R1Ph6YHlWE7Dx

Przedstawiony został równoramienny i prostokątny trójkąt ABC. Ramiona w takim trójkącie stanowią jednocześnie jego przyprostokątne i są równej długości. Ponadto, kąty ABCBCA są sobie równe i wynoszą 45°. Obliczymy wartości wszystkich funkcji trygonometrycznych dla kąta ABC.

Aby policzyć sinus kąta ABC, dzielimy długość przyprostokątnej leżącej naprzeciw badanego kąta przez długość przeciwprostokątnej:

sin45°=ACBC=12=12·22=22

Aby obliczyć cosinus kąta ABC, obliczamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy badanym kącie i przeciwprostokątnej:

cos45°=ABBC=12=12·22=22

W celu znalezienia wartości tangensa kąta ABC, dzielimy długość przyprostokątnej leżącej naprzeciwko badanego kąta przez długość odcinka stanowiącego przyprostokątną leżącą przy badanym kącie:

tg45°=ACAB=11=1
O wartościach funkcji trygonometrycznych dla kąta 45°
Twierdzenie: O wartościach funkcji trygonometrycznych dla kąta 45°

Funkcje trygonometrycznefunkcje trygonometryczneFunkcje trygonometryczne dla kąta 45° przyjmują następujące wartości:

  • sin45°=22;

  • cos45°=22;

  • tg45°=1.

Umiemy już obliczać wartości funkcji trygonometrycznych kąta 45°.

Nasuwającym się teraz pytaniem jest: Jak możemy tę wiedzę wykorzystać?

Znajomość powyższych wartości znajduje swoje zastosowania w sytuacjach, które wymagają wyznaczenia długości boków trójkąta równoramiennego prostokątnego, a dysponujemy długością tylko jednego boku. Możemy wykorzystać tę wiedzę także w innych figurach niż trójkąty. W niektórych sytuacjach jesteśmy w stanie wyodrębnić trójkąt równoramienny prostokątny, dzieląc bardziej złożoną figurę na prostsze składowe.

Prostym przykładem takiej figury może być trapez o pewnych szczególnych własnościach. Gdy ramię trapezu tworzy z podstawą kąt ostry 45°, owo ramię, wysokość trapezu i fragment podstawy tworzą pożądany przez nas trójkąt. Rozważymy teraz sytuację, gdy możemy policzyć pole trapezu mając dane zaledwie dwa boki.

Przykład 1

Obliczymy pole trapezu równoramiennego ABCD przedstawionego na poniższym rysunku.

R1GLmFaJYjQX1

Zauważmy, że punkty FBC tworzą trójkąt równoramienny prostokątny, gdzie odcinek CF jest wysokością trapezu.

Znamy długość przeciwprostokątnej, zatem korzystając z wartości sinusa 45° możemy znaleźć wysokość.

Oznaczając długość odcinka CF przez h mamy:

sin45°=h8

22=h22

Mnożąc stronami równość przez 22 otrzymujemy wartość h:

h=2·2·22=42=2

Zatem wysokość trapezu ABCD wynosi h=2.

Aby obliczyć żądane pole powierzchni, brakuje nam jeszcze informacji o długości dolnej podstawy.

Możemy zauważyć, że odcinek FB=CF=2.

Ponadto odcinek AD=8, gdyż trapez ABCD jest równoramienny.

W identyczny sposób jak dla trójkąta FBC, możemy policzyć długości boków trójkąta AED.

Stąd otrzymamy, że odcinek AE ma również długość AE=2.

Długość odcinka EF też jest nam znana, albowiem EF=CD=3.

Wynika to z faktu, że EFCD jest prostokątem.

Zatem długość dolnej podstawy wynosi AB=2+3+2=7.

Korzystając ze wzoru na pole trapezu uzyskujemy końcowy wynik

P=3+7·22=10.

W bardziej złożonych zadaniach pojawia się konieczność rozbicia trójkąta na mniejsze trójkąty prostokątne, w których znajomość funkcji trygonometrycznych pozwoli nam wyznaczyć niezbędne długości odcinków.

Przykład 2

W trójkącie prostokątnym równoramiennym ABC długość przeciwprostokątnej wynosi c=96. Środkowe tego trójkątaśrodkowa trójkątaŚrodkowe tego trójkąta przecinają się w punkcie D, z którego poprowadzono odcinki padające pod kątem prostym na przyprostokątne. Oblicz pole utworzonego w ten sposób kwadratu (na rysunku jest to kwadrat BEDF).

RRgKyRVJZ7Xjj

Zauważmy, że w przypadku trójkąta prostokątnego równoramiennego wysokość poprowadzona z kąta prostego pokrywa się ze środkową trójkąta.

W związku z tym wysokość h poprowadzona z wierzchołka kąta prostego dzieli ten trójkąt na dwa trójkąty o kątach 45°, 45°, 90°.

Otrzymane w ten sposób trójkąty ABGBCG są przystające, zaś krótszy bok każdego z nich ma długość równą połowie długości przeciwprostokątnej trójkąta ABC, tj.

h=962.

Następnie przypomnijmy, że punkt przecięcia środkowych w każdym trójkącie dzieli te środkowe w stosunku 2:1, gdzie krótszy odcinek łączy środek ciężkości ze środkiem boku.

Punkt przecięcia środkowych w trójkącie nazywany jest zwykle środkiem ciężkości trójkątaśrodek ciężkości trójkątaśrodkiem ciężkości trójkąta.

Zatem punkt D dzieli wysokość BG na dwa odcinki o długościach:

DG=326BD=626=36

Sytuację tę obrazuje poniższy rysunek (dla czytelności nie zaznaczono na nim środkowych wychodzących z wierzchołków AC).

RZoncZpwLwMs6

Znamy więc długość odcinka BD, wiemy też, że kąty BEDBFD są proste (wynika to z treści zadania).

Ponadto, kąty GBCABG mają po 45°.

Wykorzystamy funkcję sinus.

sin45°=DEBD

22=DE36

2·362=DE

DE=3122=632=33

Znamy więc długość boku kwadratu BEDF. Jego pole wynosi zatem

P=332=9·3=27.

Czasami w zadaniu musimy skorzystać z funkcji trygonometrycznych kąta 45° wielokrotnie by osiągnąć zamierzony cel. Dobrze ilustruje to następujący przykład.

Przykład 3

Bardzo prosty szkic muszli amonitu uzyskano poprzez narysowanie trójkąta prostokątnego równoramiennego ABC, a następnie narysowaniu czterech trójkątów do niego podobnych. Każdy kolejny trójkąt dorysowywano w taki sposób, że przeciwprostokątna poprzedniego trójkąta stawała się przyprostokątną dla kolejnego z nich. Otrzymany rysunek widoczny jest poniżej.

RfPlqDwD4rbqz

Pole tego szkicu wynosi P=217 cm2. Jaką długość ma odcinek AB? Oblicz obwód tego wielokąta.

Dla ułatwienia oznaczmy długość odcinka AB przez a.

Wówczas pole powierzchni trójkąta ABC wynosi PABC=a22, zaś

CD=AC=asin45°=a22=a2.

Zauważmy, że korzystając z tej samej wartości funkcji sinus jesteśmy w stanie wyznaczyć długości wszystkich pozostałych odcinków na tym rysunku:

  • DE=AD=AC·2=2a;

  • EF=AE=AD·2=22a;

  • AF=FG=AE·2=4a;

  • AG=AF·2=42a.

Rozważany przez nas wielokąt jest podzielony na trójkąty, których pola w łatwy sposób jesteśmy w stanie obliczyć.

Mamy bowiem:

  • PACD=CD·AC2=2a22=a2;

  • PADE=DE·AD2=2·2a22=2a2;

  • PAEF=EF·AE2=4a2;

  • PAFG=FG·AF2=8a2.

Łączne pole powierzchni całego rozważanego wielokąta wynosi zatem:

P=PABC+PACD+PADE+PAEF+PAFG=1512a2.

Podstawiając znaną nam wartość P otrzymujemy proste równanie kwadratowe, z którego jesteśmy w stanie wyliczyć długość boku AB.

217 cm2=31a22,

43431 cm2=a2,

a2=14 cm2,

a=14 cm  a=-14 cm.

Oczywiście długość boku trójkąta nie może być liczbą ujemną, więc

AB=14 cm.

Obwód rozważanego wielokąta otrzymamy sumując odpowiednie długości boków rozpatrywanych w zadaniu trójkątów.

Mamy zatem

l=AB+BC+CD+DE+EF+FG+AG=

=a+a+a2+2a+22a+4a+42a=

=8a+72a=814+728 cm.

Ostatecznie obwód tego wielokąta wynosi 814+147 cm, zaś długość boku AB to 14 cm.

Słownik

funkcje trygonometryczne
funkcje trygonometryczne

funkcje wyrażające między innymi stosunki między długościami boków trójkąta prostokątnego względem miar jego kątów wewnętrznych; podstawowymi funkcjami trygonometrycznymi są sinus, cosinus, tangens i cotangens

środkowa trójkąta
środkowa trójkąta

odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku; każdy trójkąt ma trzy środkowe, odpowiadające poszczególnym jego wierzchołkom

środek ciężkości trójkąta
środek ciężkości trójkąta

punkt, w którym przecinają się wszystkie trzy środkowe trójkąta (inną jego nazwą jest barycentrum); punkt ten dzieli każdą ze środkowych na dwie części, przy czym odcinek łączący barycentrum z wierzchołkiem jest dwukrotnie dłuższy od odcinka łączącego środek ciężkości trójkąta ze środkiem boku