Ilustracja pierwsza. Obliczymy, dla jakich wartości parametru $m$ różne pierwiastki równania $x^2+2mx+4m=0$ są mniejsze od $-1$. {audio}Najpierw obliczymy, kiedy równanie ma dwa różne rozwiązania. Mając równanie postaci $x^2+2mx+4m=0$, obliczymy wyznacznik trójmianu kwadratowego. Mamy: $\Delta ={\left(2m\right)}^2-4·1·4m=4m^2-16m$. Wyróżnik jest większy od zera wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi następująca nierówność: $4m^2-16m>0$. Dzielimy obie strony równania przez $4$ i otrzymujemy: $m^2-4m>0$. Wyciągamy parametr $m$ przed nawias. $m\left(m-4\right)>0$. Otrzymujemy rozwiązanie. Dla $m\in \left(-\infty ,0\right)\cup \left(4,+\infty \right)$ równanie ma dwa różne rozwiązania.

Ilustracja druga. Aby pierwiastki $x_1, x_2$ były mniejsze od $-1$, musi zachodzić warunek: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1<-1\\ x_2<-1\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_1+1<0\\ x_2+1<0\end{array}\right.\right.$. Wyrażenia $x_1+1$ i $x_2+1$ są ujemne, gdy ich iloczyn jest dodatni, a suma ujemna. Zatem można zapisać warunek następująco: $\left(x_1+1\right)\left(x_2+1\right)>0$ i jednocześnie musi zachodzić $x_1+1+x_2+1<0$. Po przekształceniu obu nierówności z warunku, otrzymujemy: $x_1·x_2+x_1+x_2+1>0$ i jednocześnie $x_1+x_2+2<0$.

Ilustracja trzecia. Do rozwiązania nierówności wykorzystamy wzory Viete’a., Zajmijmy się pierwszą częścią warunku, czyli nierównością $x_1·x_2+x_1+x_2+1>0$ Po podstawieniu otrzymujemy: $4m-2m+1>0$. Po uproszczeniu mamy: $2m>-1$. Po podzielniu przez $2$, otrzymujemy rozwiązanie. $m>-\frac{1}{2}$ Zbiór rozwiązań nierówności to $\left(-\frac{1}{2},\infty \right)$., Teraz zajmiemy się drugą częścią warunku, czyli nierównością $x_1+x_2+2<0$. Po podstawieniu mamy: $-2m+2<0$. Po odcięciu dwójki od obu stron mamy: $-2m<-2$. Po podzieleniu obu stron przez $-2$, dochodzimy do rozwiąznia. $m>1$ Zbiór rozwiązań nierówności to $\left(1,\infty \right)$.

Ilustracja czwarta. Otrzymaliśmy następujące warunki. $\left\{\begin{array}{l}m\in \left(-\infty ,0\right)\cup \left(4,\infty \right)\\ m\in \left(-\frac{1}{2},\infty \right)\\ m\in \left(1,\infty \right)\end{array}\right.$ Przedstawimy interpretację graficzną przedziałów i wyznaczymy koniunkcję rozwiązań. Powyższe przedziały zostały przedstawione na poziomej osi $X$. Opis rysunku: Na poziomej osi X zaznaczono następujące liczby od lewej: $-\frac{1}{2},0,1,4$. Punkty oznaczono niezamalowanymi kółkami. Na osi zaznaczono następujące przedziały: $\left(-\infty ,0\right)\cup \left(4,\infty \right), \left(-\frac{1}{2},\infty \right), \left(1,\infty \right)$

Ilustracja piąta. Uwzględniając część wspólną wszystkich warunków zadania, możemy podać odpowiedź. Aby różne pierwiastki równania $x^2+2mx+4m=0$ były mniejsze od $-1$, musi byś spełniony warunek: $m\in \left(4,\infty \right)$.