Obliczymy, dla jakich wartości parametru $m$ równanie $x^2+\left(2m-1\right)x+2-m=0$ ma dwa różne rozwiązania $x_1$, $x_2$, dla których spełniony jest warunek $|x_1-x_2|=3.$

Rozpatrzymy następujące warunki:

$\left\{\begin{array}{l}1. a\ne 0\\ 2. \Delta >0\\ 3. \left|x_1-x_2\right|=3\end{array}\right.$

1. $a=1\ne 0$

2. $\Delta ={\left(2m-1\right)}^2-4·1·\left(2-m\right)=4m^2-4m+1-8+4m=4m^2-7$
$\Delta >0\iff 4m^2-7>0$
$\left(2m-\sqrt{7}\right)\left(2m+\sqrt{7}\right)=0$
$m=\frac{\sqrt{7}}{2}$ lub $m=-\frac{\sqrt{7}}{2}$
$m\in \left(-\infty , -\frac{\sqrt{7}}{2}\right)\cup \left(\frac{\sqrt{7}}{2}, \infty \right)$

3. $\left|x_1-x_2\right|=\sqrt{{\left(x_1+x_2\right)}^2-4x_1·x_2}$
$\sqrt{{\left(x_1+x_2\right)}^2-4x_1·x_2}=\sqrt{{\left(2m-1\right)}^2-4·\left(2-m\right)}=\sqrt{4m^2-7}$
$\sqrt{4m^2-7}=3 |{\left(\right)}^2$
$4m^2-7=9$
$4m^2-16=0 |:4$
$m^2-4=0$
$m=2$ lub $m=-2$
$-2\in \left(-\infty , -\frac{\sqrt{7}}{2}\right)\cup \left(\frac{\sqrt{7}}{2}, \infty \right)$
$2\in \left(-\infty , -\frac{\sqrt{7}}{2}\right)\cup \left(\frac{\sqrt{7}}{2}, +\infty \right)$

Zatem równanie ma dwa różne rozwiązania spełniające warunek $\left|x_1-x_2\right|=3$ dla $m\in \{-2,2\}$.

Wyznaczymy takie wartości parametru $p$, dla których równanie $x^2-\left(p-1\right)x+2=0$ ma dwa różne rozwiązania $x_1$, $x_2$ spełniające warunek $x_1^2·x_2+x_1·x_2^2+2x_1·x_2=10$.

Aby były spełnione warunki zadania musimy uwzględnić następujące założenia:

$\left\{\begin{array}{l}1. a\ne 0\\ 2. ∆>0\\ {3. x}_1^2·x_2+x_1·x_2^2-2x_1·x_2=10\end{array}\right.$

1. $a=1\ne 0$

2. $\Delta ={\left[-\left(p-1\right)\right]}^2-4·2=p^2-2p+1-8=p^2-2p-7$
${\Delta }_p={\left(-2\right)}^2-4·\left(-7\right)=4+28=32$
$\sqrt{{\Delta }_p}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$
$p_1=\frac{2-4\sqrt{2}}{2}=1-2\sqrt{2}$
$p_2=\frac{2+4\sqrt{2}}{2}=1+2\sqrt{2}$

RQJSXgQtNNuIz

Ilustracja przedstawia poziomą oś $p$ bez podziałki, na której zaznaczone są dwie wartości: mniejsza po lewej stronie wynosi $1-2\sqrt{2}$ oraz większa, po prawo, wynosi $1+2\sqrt{2}$. Oś przecina w dwóch miejscach paraboliczna krzywa z ramionami skierowanymi ku górze i z wierzchołkiem pod osią. Punkty przecięcia oznaczono niezamalowanymi kółkami. Krzywa podzieliła oś na trzy części. Pierwsza część jest po lewej stronie osi i leży na zewnątrz ramion krzywej. Tuż nad osią zaznaczono tę część plusami. Druga część osi to część znajdująca się pomiędzy ramionami krzywej. Ta część nie jest oznaczona. Trzecia część osi to prawa jej część leżąca poza ramionami krzywej, która jest zaznaczona plusami tuż nad osią $p$.

$p\in \left(-\infty , 1-2\sqrt{2}\right)\cup \left(1+2\sqrt{2}, \infty \right)$

3. $x_1^2·x_2+x_1·x_2^2+2x_1·x_2=10$
$x_1·x_2\left(x_1+x_2+2\right)=10$
Z wzorów Viete’a otrzymujemy:
$2\left(p-1+2\right)=10$
$2\left(p+1\right)=10$
$p+1=5$
$p=4\in \left(-\infty , 1-2\sqrt{2}\right)\cup \left(1+2\sqrt{2}, \infty \right)$

Aby różne rozwiązania równania spełniały warunek $x_1^2·x_2+x_1·x_2^2+2x_1·x_2=10$ parametr $p=4$.

Zbadamy, dla jakich wartości parametru $z$ wykresy funkcji $y=x^2+(z+1)x$oraz $y=z{x}^2+z+5$ przecinają się w jednym punkcie.

Aby obliczyć, dla jakiego $z$ wykresy funkcji przecinają się w jednym punkcie,  musimy rozwiązać równanie.

$x^2+(z+1)x=z{x}^2+z+5$

$(z-1)x^2-(z+1)x+z+5=0$

Równanie ma posiadać jedno rozwiązanie, więc wyróżnik trójmianu kwadratowego musi być równy zero.

$\Delta ={(z+1)}^2-4(z-1)(z+5)=z^2+2z+1-4(z^2+4z-5)=$

$=-3z^2-14z+21$

${\Delta }_z=196+252=448$

$\sqrt{{\Delta }_z}=8\sqrt{7}$

$z_1=\frac{14-8\sqrt{7}}{-6}=\frac{-7+4\sqrt{7}}{3}$

$z=\frac{14+8\sqrt{7}}{-6}=\frac{-7-4\sqrt{7}}{3}$

Aby wykresy funkcji przecinały się w jednym punkcie $z=\frac{-7-4\sqrt{7}}{3}$ lub $z=\frac{-7+4\sqrt{7}}{3}$.

Obliczymy, dla jakich wartości parametru z różne rozwiązania $x_1$, $x_2$ równania $x^2-\left(2z+1\right)x+z^2=0$ spełniają warunek $x_1=2x_2$

Rozpatrzymy warunki:

$\left\{\begin{array}{l}1. \Delta >0\\ 2. x_1=2x_2\end{array}\right.$

$\Delta =4z^2+4z+1-4z^2=4z+1$ $\Delta >0\iff 4z+1>0\iff z>-\frac{1}{4}$

2. $x_1=2x_2\Rightarrow x_2=\frac{1}{2}{x}_1$
Czyli $x_1+x_2=x_1+\frac{1}{2}{x}_1=\frac{3}{2}{x}_1$
Korzystając z Wzorów Viète’a, otrzymujemy:
$x_1+x_2=2z+1$
$\frac{3}{2}{x}_1=2z+1$
$x_1=\frac{2}{3}·\left(2z+1\right)$
$2x_2=\frac{2}{3}·\left(2z+1\right)$
$x_2=\frac{1}{3}·\left(2z+1\right)$
$x_1·x_2=z^2$
$x_1·x_2=\frac{2}{3}·\left(2z+1\right)·\frac{1}{3}·\left(2z+1\right)$
Czyli otrzymujemy równanie:
$\frac{2}{9}·{\left(2z+1\right)}^2=z^2$
$2·\left(4z^2+4z+1\right)=9z^2$
$8z^2+8z+2-9z^2=0$
$-z^2+8z+2=0$
$\Delta =64+8=72$
$\sqrt{\Delta }=6\sqrt{2}$
$z_1=\frac{-8-6\sqrt{2}}{-2}=4+3\sqrt{2}$
$z_2=\frac{-8+6\sqrt{2}}{-2}=4-3\sqrt{2}$

Aby rozwiązania równania spełniały warunek $z=4-3\sqrt{2}$ $z=4+3\sqrt{2}$.

jeżeli równanie kwadratowe $a{x}^2+bx+c=0$, gdzie $a\ne 0$, ma pierwiastki $x_1$, $x_2$, to:

oraz