Galeria zdjęć interaktywnych

Polecenie 1

Obejrzyj galerię zdjęć interaktywnych, a następnie wykonaj poniższe polecenie.

RfemMyIpneaRw

Ilustracja interaktywna numer jeden. Przypomnijmy zależność pomiędzy wzorem funkcji kwadratowej w postaci ogólnej a wzorem funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej. Postać ogólna wzoru funkcji kwadratowej.

f (x) = a x^{2} + b x + c

, Postać kanoniczna wzoru funkcji kwadratowej

f (x) = a (x + \frac{b}{2 a}) + \frac{- (b^{2} - 4 a c)}{4 a}

. Współrzędne wierzchołka paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej wynoszą odpowiednio

p = \frac{- b}{2 a}

q = \frac{- ∆}{4 a}

lub

q = f (p)

∆ = b^{2} - 4 a c

R16cpcbOF495g

Ilustracja interaktywna numer dwa. Wyznaczymy wartość parametru

a

we wzorze funkcji kwadratowej, zapisanym w postaci ogólnej i zapiszemy wzór tej funkcji w postaci kanonicznej. Dane,

f (x) = a x^{2} + 4 x + 2

oraz x równa się minus dwa, oś symetrii paraboli. Rozwiązanie, x równa się p równa się minus dwa zatem

2 = \frac{- 4}{2 \cdot a}

czyli a równa się jeden. Wzór funkcji ogólnej

f (x) = x^{2} + 4 x + 2

q = f (- 2) = {(- 2)}^{2} + 4 \cdot (- 2) + 2

. Wzór funkcji w postaci kanonicznej,

f (x) = {(x + 2)}^{2} - 2

R1NVKJDZdA0Yz

R1SxdFKE3s6si

Ilustracja interaktywna numer cztery. Danie,

f (x) = - x^{2} - 4 x - 7

. Zapiszemy wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej, a następnie podamy zbiór wartości tej funkcji i oś symetrii jej wykresu. Rozwiązanie, a równa się minus jeden,

p = \frac{- 4}{2 \cdot (- 1)} = - 2

∆ = {(- 4)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 7) = 16 - 28 = - 12

q = \frac{12}{4 \cdot (- 1)} = - 3

, zatem

f (x) = - {(x + 2)}^{2} - 3

. Zbiór wartości to zbiór prawostronnie otwarty i lewostronnie zamknięty od minus nieskończoności od minus trzech. Oś symetrii, x równa się minus dwa.

RonE7HOA8aPFm

Polecenie 2

a) Zapisz wzór funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f (x) = - 3 {(x - 2)}^{2} + 4$ w postaci ogólnej.

b) Funkcja kwadratowa $f$ dla $x = 2$ przyjmuje wartość największą równą $(- 3)$ . Wyznacz wzór tej funkcji, jeżeli do jej wykresu należy punkt o współrzędnych $(1, - 5)$ .

a) $f (x) = - 3 {(x - 2)}^{2} + 4 = - 3 (x^{2} - 4 x + 4) + 4 = - 3 x^{2} + 12 x - 12 + 4$ .

Zatem $f (x) = - 3 x^{2} + 12 x - 8$ .

b) Wykorzystamy wzór funkcji kwadratowej $f$ w postaci kanonicznej $f (x) = a {(x - p)}^{2} + q$ .

Z zadania wynika, że $p = 2$ oraz $q = - 3$ , zatem po podstawieniu do wzoru w postaci kanonicznej mamy: $f (x) = a {(x - 2)}^{2} - 3$ .

Jeżeli punkt o współrzędnych $(1, - 5)$ należy do wykresu tej funkcji, to do wyznaczenia wartości $a$ rozwiązujemy równanie:

$- 5 = a \cdot {(1 - 2)}^{2} - 3$ .

Zatem $a = - 2$ .

Wzór funkcji $f$ zapisujemy w postaci $f (x) = - 2 {(x - 2)}^{2} - 3$ .

Przeczytaj

Sprawdź się