Przeczytaj

Omówimy zależność jaka występuje pomiędzy wzorem funkcji kwadratowej w postaci ogólnejwzorem funkcji kwadratowej w postaci ogólnej, a wzorem funkcji w postaci kanonicznejwzorem funkcji w postaci kanonicznej. Wykorzystamy tę zależność do rozwiązywania problemów matematycznych.

związek pomiędzy wzorem funkcji kwadratowej w postaci ogólnej, a wzorem w postaci kanonicznej

Twierdzenie: związek pomiędzy wzorem funkcji kwadratowej w postaci ogólnej, a wzorem w postaci kanonicznej

Wzór każdej funkcji kwadratowej można zapisać w postaci ogólnej $f (x) = a \cdot x^{2} + b \cdot x + c$ lub w postaci kanonicznej $f (x) = a \cdot {(x - p)}^{2} + q$ ,

gdzie $p = \frac{- b}{2 \cdot a}$ , $q = \frac{- ∆}{4 \cdot a}$ oraz $∆ = b^{2} - 4 \cdot a \cdot c$ .

Dowód

1) Przekształcimy postać ogólną wzoru funkcji kwadratowej na postać kanoniczną.

W tym celu wykorzystamy wzór skróconego mnożenia.

$f (x) = a \cdot x^{2} + b \cdot x + c = a \cdot (x^{2} + \frac{b}{a} x) + c$ .

Zatem:

$f (x) = a \cdot ({(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{b^{2}}{4 a^{2}}) + c = a \cdot {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{b^{2}}{4 a} + c$ .

Po przekształceniu otrzymujemy, że:

$f (x) = a \cdot {(x + \frac{b}{2 \cdot a})}^{2} - \frac{b^{2} - 4 \cdot a \cdot c}{4 \cdot a} = a \cdot {(x + \frac{b}{2 \cdot a})}^{2} + \frac{- ∆}{4 \cdot a}$ .

2) Przekształcimy postać kanoniczną wzoru funkcji kwadratowej na postać ogólną.

Jeżeli wykorzystamy wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy, to:

$f (x) = a \cdot {(x - p)}^{2} + q = a \cdot (x^{2} - 2 \cdot p \cdot x + p^{2}) + q =$

$= a \cdot x^{2} - 2 \cdot a \cdot p \cdot x + a \cdot p^{2} + q$ .

Jeżeli zachodzi równość $a \cdot x^{2} - 2 \cdot a \cdot p \cdot x + a \cdot p^{2} + q = a \cdot x^{2} + b \cdot x + c$ , to:

$b = - 2 \cdot a \cdot p$ oraz $c = a \cdot p^{2} + q$ .

Wobec tego:

$p = \frac{- b}{2 \cdot a}$ , oraz

$c = a \cdot {(\frac{- b}{2 \cdot a})}^{2} + q$ .

Stosując oznaczenie $∆ = b^{2} - 4 \cdot a \cdot c$ otrzymujemy:

$q = \frac{4 a c - b^{2}}{4 a} = \frac{- (b^{2} - 4 a c)}{4 a} = \frac{- ∆}{4 a}$ .

Zauważmy, że wzór funkcji kwadratowej zapisany w postaci kanonicznej możemy zapisać w postaci ogólnej i na odwrót.

Ważne!

Wierzchołek paraboli, będącej wykresem funkcji kwadratowej, mający współrzędne $(p, q)$ należy do wykresu funkcji kwadratowej określonej wzorem $f (x) = a x^{2} + b x + c$ , zatem zachodzi zależność:

$q = f (p)$ .

Przykład 1

Przedstawimy wzory funkcji kwadratowych $f$ w postaci ogólnej:

a) $f (x) = - \frac{1}{3} {(x + 2)}^{2} - 1$

b) $f (x) = 2 {(x + \frac{1}{2})}^{2} - 3$

Rozwiązanie:

Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia, mamy:

a) $f (x) = - \frac{1}{3} {(x + 2)}^{2} - 1 = - \frac{1}{3} (x^{2} + 4 x + 4) - 1 = - \frac{1}{3} x^{2} - \frac{4}{3} x - \frac{7}{3}$

b) $f (x) = 2 {(x + \frac{1}{2})}^{2} - 3 = 2 (x^{2} + x + \frac{1}{4}) - 3 = 2 x^{2} + 2 x - 2 \frac{1}{2}$

Przykład 2

Wiadomo, że wierzchołkiem wykresu funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f (x) = x^{2} + b x + c$ jest punkt o współrzędnych $(- 5, 2)$ . Wyznaczymy wzór tej funkcji w postaci ogólnej.

Rozwiązanie:

Jeżeli punkt o współrzędnych $(- 5, 2)$ jest wierzchołkiem wykresu funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f (x) = x^{2} + b x + c$ , to jej postać kanoniczną możemy zapisać jako $f (x) = {(x + 5)}^{2} + 2$ .

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy otrzymujemy, że:

$f (x) = {(x + 5)}^{2} + 2 = x^{2} + 10 x + 25 + 2 = x^{2} + 10 x + 27$ .

Postać ogólna wyraża się wzorem $f (x) = x^{2} + 10 x + 27$ .

Do wyznaczenia wzoru funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej posłużymy się różnymi jej własnościami, m.in. przedziałami monotoniczności, równaniem osi symetrii jej wykresu, zbiorem wartości.

Przykład 3

Zapiszemy w postaci kanonicznej wzór funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f (x) = a x^{2} + 3 x - 4$ , jeżeli wiadomo, że osią symetrii paraboli, która jest wykresem tej funkcji jest prosta o równaniu $x = - \frac{3}{2}$ .

Rozwiązanie:

Jeżeli prosta o równaniu $x = - \frac{3}{2}$ jest osią symetrii wykresu funkcji $f$ , to $p = - \frac{3}{2}$ .

Korzystając ze wzoru $p = \frac{- b}{2 a}$ , chcąc wyznaczyć wartość $a$ , rozwiązujemy równanie:

$- \frac{3}{2} = \frac{- 3}{2 \cdot a}$ , zatem $a = 1$ .

Zapisujemy wzór funkcji kwadratowej $f$ w postaci ogólnej: $f (x) = x^{2} + 3 x - 4$ .

Zatem:

$q = f (\frac{- 3}{2}) = {(\frac{- 3}{2})}^{2} + 3 \cdot (\frac{- 3}{2}) - 4 = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} - 4 = - \frac{25}{4}$ .

Postacią kanoniczną wzoru tej funkcji jest $f (x) = {(x + \frac{3}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$ .

Przykład 4

Wyznaczymy wzór funkcji kwadratowej $f$ w postaci kanonicznej, jeżeli $f (x) = 4 x^{2} + b x + 1$ oraz maksymalny przedział, w którym funkcja jest malejąca to $(- \infty, 2⟩$ .

Rozwiązanie:

Jeżeli funkcja $f$ jest malejąca w przedziale $(- \infty, 2⟩$ , to $p = 2$ .

Korzystając ze wzoru $p = \frac{- b}{2 a}$ , otrzymujemy równanie:

$2 = \frac{- b}{2 \cdot 4}$ , zatem $b = - 16$ .

Wzór funkcji $f$ zapisujemy w postaci ogólnej:

$f (x) = 4 x^{2} - 16 x + 1$ .

Obliczamy:

$q = f (2) = 4 \cdot 2^{2} - 16 \cdot 2 + 1 = - 15$ .

Zapisujemy postać kanoniczną wzoru funkcji $f$ :

$f (x) = 4 {(x - 2)}^{2} - 15$ .

Przykład 5

Zapiszemy wzór funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f (x) = - 2 x^{2} + b x - 1$ w postaci kanonicznej, jeżeli zbiorem wartości tej funkcji jest przedział $(- \infty, 4⟩$ .

Rozwiązanie:

Jeżeli zbiorem wartości tej funkcji jest przedział $(- \infty, 4⟩$ to $q = 4.$

Zatem korzystając ze wzoru $q = \frac{- ∆}{4 a} = \frac{- (b^{2} - 4 a c)}{4 a}$ otrzymujemy równanie na współczynnik $b$ :

$4 = \frac{- (b^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 1))}{4 \cdot (- 2)}$ .

Zatem $b = 2 \sqrt{10}$ lub $b = - 2 \sqrt{10}$ .

Dla $b = 2 \sqrt{10}$ wartość $p = \frac{- 2 \sqrt{10}}{2 \cdot (- 2)} = \frac{\sqrt{10}}{2}$ oraz $f (x) = - 2 {(x - \frac{\sqrt{10}}{2})}^{2} + 4$ .

Dla $b = - 2 \sqrt{10}$ wartość $p = \frac{2 \sqrt{10}}{2 \cdot (- 2)} = - \frac{\sqrt{10}}{2}$ oraz $f (x) = - 2 {(x + \frac{\sqrt{10}}{2})}^{2} + 4$ .

Przykład 6

Dana jest funkcja kwadratowa $f$ określona wzorem w postaci ogólnej: $f (x) = a x^{2} + b x + c$ oraz wzorem w postaci kanonicznej: $f (x) = a {(x - p)}^{2} + q$ , gdzie $a, b, c \in ℝ$ oraz $a \neq 0$ Wykażemy, że $p^{2} = \frac{c - q}{a}$ .

Rozwiązanie:

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy, przekształcamy wzór funkcji kwadratowej $f$ w postaci kanonicznej:

$f (x) = a \cdot {(x - p)}^{2} + q = a \cdot (x^{2} - 2 p x + p^{2}) + q =$

$= a x^{2} - 2 a p x + a p^{2} + q$

Wobec tego porównujemy wzory funkcji kwadratowej $f$ zapisane w postaci kanonicznej oraz w postaci ogólnej:

$a x^{2} - 2 a p x + a p^{2} + q = a x^{2} + b x + c$

Z powyższej równości wynika, że:

$a p^{2} + q = c$

Zatem

$a p^{2} = c - q$

$p^{2} = \frac{c - q}{a}$

Słownik

wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej

$f (x) = a x^{2} + b x + c$ , gdzie $a, b, c \in ℝ$ , $a \neq 0$ oraz $x \in ℝ$

wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej

$f (x) = a \cdot {(x - p)}^{2} + q$ , gdzie $p = \frac{- b}{2 \cdot a}$ , $q = \frac{- ∆}{4 \cdot a}$ oraz $∆ = b^{2} - 4 \cdot a \cdot c$

Wprowadzenie

Galeria zdjęć interaktywnych

Słownik