Galeria zdjęć interaktywnych

Polecenie 1

Przeanalizuj trzy metody rozkładu tego samego wielomianu na czynniki nierozkładalne.

RfcRX0yjqMKl6

Grafika pierwsza przedstawia rozłożenie wielomianu na czynniki nierozkładalne za pomocą metody grupowania wyrazów. Zatem rozłóżmy wielomian

W (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 2

na czynniki nierozkładalne. Metoda grupowania wyrazów wygląda w taki sposób, że czynnik

- 3 x^{2}

rozkładamy na dwa czynniki:

- 2 x^{2}

oraz

- x^{2}

, natomiast czynnik

+ 3 x

rozkładamy na:

+ x

oraz

+ 2 x

. Tym sposobem powstaje nam równanie:

W (x) = 2 x^{3} - 2 x^{2} - x^{2} + x + 2 x - 2

. Kolejno grupujemy wyrażenia i uzyskujemy:

W (x) = (2 x^{3} - 2 x^{2}) - (x^{2} - x) + (2 x - 2)

. Następnie wyciągamy czynniki przed nawias i nasz wielomian uzyskuje postać:

W (x) = 2 x^{2} (x - 1) - x (x - 1) + 2 (x - 1)

. Ostatecznie otrzymujemy:

W (x) = (x - 1) (2 x^{2} - x + 2)

R14WwOVaPXKLi

Grafika druga przedstawia rozłożenie wielomianu na czynniki nierozkładalne za pomocą metody dzielenia. Zatem rozłóżmy wielomian

W (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 2

. Sprawdźmy, czy wielomian ma jakieś pierwiastek całkowity. Jeśli istnieje będzie to dzielnik liczby minus dwa. Na początku sprawdź jeden, okazuje się, że 1 jest pierwiastkiem. Następnie sprawdź minus jeden, minus 1 nie jest pierwiastkiem tego wielomianu. Kolejno sprawdź dwa, 2 również nie jest pierwiastkiem. Jako ostatnie sprawdzamy minus dwa, ono również nie jest pierwiastkiem tego wyrażenia.

R1UwkwD4XVSzH

RDHAi3OwVjQgp

RVr0MY3DLJk6u

Polecenie 2

Rozłóż na czynniki nierozkładalne wielomian
$W (x) = x^{3} - 4 x^{2} - 4 x + 1$ .
Rozwiąż zadanie dwoma różnymi sposobami.

Można zacząć od pogrupowania
$W (x) = (x^{3} + 1) - 4 x (x + 1)$ .

Można zauważyć, że wielomian ma pierwiastek całkowity i skorzystać z twierdzenia Bézouta.

$W (x) = (x + 1) (x^{2} - 5 x + 1)$

Po wyznaczeniu postaci iloczynowej funkcji kwadratowej uzyskujemy ostateczny wynik:
$W (x) = (x + 1) (x - \frac{5 - \sqrt{21}}{2}) (x - \frac{5 + \sqrt{21}}{2})$ .

Polecenie 3

Rozłóż na czynniki nierozkładalne wielomian
$W (x) = x^{3} + x^{2} - 4 x - 4$ . Rozwiąż zadanie dwoma różnymi sposobami.

Sposób I:

Pogrupujmy wyrazy: $W (x) = (x^{3} + x^{2}) - (4 x + 4)$

Wyłączmy przed nawias odpowiednie współczynniki a następnie wyłączmy nawias przed nawias

$W (x) = x^{2} (x + 1) - 4 (x + 1) = (x + 1) (x^{2} - 4)$

Na koniec skorzystajmy ze wzoru skróconego mnożenia:

$W (x) = (x + 1) (x - 2) (x + 2)$

Sposób II:

Zauważmy, że liczba $2$ jest pierwiastkiem tego wielomianu. Zatem możemy wykonać dzielenie:

$(x^{3} + x^{2} - 4 x - 4) : (x - 2)$

Dostajemy:

$W (x) = (x - 2) (x^{2} + 3 x + 2)$

Po rozkładzie czynnika stopnia drugiego otrzymujemy ostatecznie:

$W (x) = (x + 1) (x - 2) (x + 2)$

Przeczytaj

Sprawdź się