Rozłożymy na czynniki nierozkładalne wielomian
$W\left(x\right)={\left(x+1\right)}^4-\left(x^4+1\right)$.

Rozwiązanie

• Skorzystajmy ze wzoru skróconego mnożenia
  $W\left(x\right)=x^4+4x^3+6x^2+4x+1-x^4-1$
  $W\left(x\right)=4x^3+6x^2+4x$

• Po wyłączeniu przed nawias uzyskujemy postać iloczynową
  $W\left(x\right)=2x\left(2x^2+3x+2\right)$
  (występujący w rozkładzie wielomian drugiego stopnia jest nierozkładalnyzasadnicze twierdzenie teorii wielomianównierozkładalny).

Rozłożymy na czynniki nierozkładalne wielomian
$W\left(x\right)={\left(x+1\right)}^4-2\left(x^4+1\right)$.

Rozwiązanie

• Skorzystajmy ze wzorów skróconego mnożenia
  $W\left(x\right)=x^4+4x^3+6x^2+4x+1-2x^4-2$
  $W\left(x\right)=-x^4+4x^3+6x^2+4x-1$
  $W\left(x\right)=12x^2-\left(x^4-4x^3+6x^2-4x+1\right)$

• Możemy teraz wykorzystać wzór na różnicę kwadratów
  $W\left(x\right)=12x^2-{\left(x-1\right)}^4$
  $W\left(x\right)={\left(2\sqrt{3}x\right)}^2-{\left(x^2-2x+1\right)}^2$
  $W\left(x\right)=\left(2\sqrt{3}x-x^2+2x-1\right)\left(2\sqrt{3}x+x^2-2x+1\right)$

• Po uporządkowaniu
  $W\left(x\right)=-\left(x^2-\left(2\sqrt{3}+2\right)x+1\right)\left(x^2+\left(2\sqrt{3}-2\right)x+1\right)$

• Uzyskaliśmy iloczyn dwóch wielomianów drugiego stopnia. Drugi z nich jest nierozkładalnywielomian nierozkładalnynierozkładalny ($\Delta <0$), natomiast pierwszy można sprowadzić do postaci iloczynowej tak, jak to robimy dla funkcji kwadratowej.
  Po wykonaniu dość żmudnych obliczeń uzyskamy zapis $W\left(x\right)$ w postaci iloczynu wielomianów nierozkładalnychwielomian nierozkładalnywielomianów nierozkładalnych
  $W\left(x\right)=-\left(x^2+\left(2\sqrt{3}-2\right)x+1\right)\left(x+\sqrt{3+2\sqrt{3}}-\sqrt{3}-1\right)·$
  $·\left(x-\sqrt{3+2\sqrt{3}}-\sqrt{3}-1\right)$.

Sprowadzimy do postaci iloczynu czynników nierozkładalnych wielomian
$W\left(x\right)=\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)\left(x+4\right)-15$.

Rozwiązanie

• Na początek wymnóżmy parami nawiasy - pierwszy z ostatnim oraz dwa środkowe:
  $W\left(x\right)=\left(x^2+5x+4\right)\left(x^2+5x+6\right)-15$.

• Zauważmy, że uzyskane dwa nawiasy można wymnożyć używając wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów:
  $W\left(x\right)=\left(\left(x^2+5x+5\right)-1\right)\left(\left(x^2+5x+5\right)+1\right)-15$
  $W\left(x\right)={\left(x^2+5x+5\right)}^2-1-15$
  $W\left(x\right)={\left(x^2+5x+5\right)}^2-4^2$
  $W\left(x\right)=\left(x^2+5x+5-4\right)\left(x^2+5x+5+4\right)$
  $W\left(x\right)=\left(x^2+5x+1\right)\left(x^2+5x+9\right)$

• Pierwszy z uzyskanych wielomianów drugiego stopnia można rozłożyć za pomocą wyróżnika $\Delta$, drugi jest nierozkładalny:
  $W\left(x\right)=\left(x+\frac{5+\sqrt{21}}{2}\right)\left(x+\frac{5-\sqrt{21}}{2}\right)\left(x^2+5x+9\right)$.

Rozłożymy na czynniki nierozkładalne wielomian
$W\left(x\right)=\left(x^2+2x+2\right)\left(x^2+2x+5\right)-\left(x^2+2x+1\right)$.

Rozwiązanie

• Dla ułatwienia obliczeń podstawmy zmienną pomocniczą $p=x^2+2x$
  $W\left(x\right)=\left(p+2\right)\left(p+5\right)-\left(p+1\right)$
  $W\left(x\right)=p^2+7p+10-p-1=p^2+6p+9$

• Możemy teraz zauważyć wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy i powrócić do zmiennej $x$
  $W\left(x\right)={\left(p+3\right)}^2$
  $W\left(x\right)={\left(x^2+2x+3\right)}^2$
  przy czym uzyskany wielomian drugiego stopnia jest nierozkładalnyzasadnicze twierdzenie teorii wielomianównierozkładalny.

Rozłożymy na czynniki nierozkładalne wielomian
$W\left(x\right)=x^3+7x^2+16x+12$.

Rozwiązanie

• Pogrupujmy wyrazy wielomianu dążąc do użycia wzorów skróconego mnożenia i wyłączenia wspólnego czynnika przed nawias:
  $W\left(x\right)=\left(x^3+6x^2+12x+8\right)+\left(x^2+4x+4\right)$
  $W\left(x\right)={\left(x+2\right)}^3+{\left(x+2\right)}^2$
  $W\left(x\right)={\left(x+2\right)}^2\left(x+2+1\right)$
  $W\left(x\right)={\left(x+2\right)}^2\left(x+3\right)$.

Rozłożymy na czynniki nierozkładalne wielomian
$W\left(x\right)=x^4-2x^3+x-20$.

Rozwiązanie

• Pogrupujmy wyrazy wielomianu
  $W\left(x\right)=\left(x^4-2x^3+x^2\right)-\left(x^2-x\right)-20$
  $W\left(x\right)={\left(x^2-x\right)}^2-\left(x^2-x\right)-20$

• Podstawmy dla ułatwienia pomocniczą zmienną $t=x^2-x$:
  $W\left(x\right)=t^2-t-20$

• Korzystając z rozkładu funkcji kwadratowej na czynniki możemy zapisać
  $W\left(x\right)=\left(t-5\right)\left(t+4\right)$
  czyli wracając do niewiadomej $x$
  $W\left(x\right)=\left(x^2-x-5\right)\left(x^2-x+4\right)$

• Drugi wielomian jest nierozkładalny, po rozłożeniu pierwszego na czynniki uzyskamy rozkład wielomianu $W\left(x\right)$:
  $W\left(x\right)=\left(x-\frac{1-\sqrt{21}}{2}\right)\left(x-\frac{1+\sqrt{21}}{2}\right)\left(x^2-x+4\right)$.

Rozłożymy na czynniki nierozkładalne wielomian
$W\left(x\right)={\left(x-4\right)}^4+{\left(x+1\right)}^4-{\left(2x-3\right)}^4$.

Rozwiązanie

• Zauważmy, że wyrażenie w trzecim nawiasie jest sumą wyrażeń w dwóch poprzednich nawiasach.

• Podstawmy pomocniczo $a=x-4$, $b=x+1$.

• $W\left(x\right)=a^4+b^4-{\left(a+b\right)}^4$
  $W\left(x\right)=a^4+b^4-a^4-4a^{3}b-6a^2{b}^2-4a{b}^3-b^4$
  $W\left(x\right)=-4a^{3}b-6a^2{b}^2-4a{b}^3$
  $W\left(x\right)=-2ab\left(2a^2+3ab+2b^2\right)$

• Zatem po wykorzystaniu wcześniejszego podstawienia i wykonaniu obliczeń
  $W\left(x\right)=-2\left(x-4\right)\left(x+1\right)\left(7x^2-21x+22\right)$,
  przy czym uzyskany wielomian drugiego stopnia jest nierozkładalny.

wielomian stopnia dodatniego, którego nie można przedstawić w postaci iloczynu co najmniej dwóch wielomianów stopnia dodatniego

• jedyne wielomiany nierozkładalne stopnia dodatniego o współczynnikach rzeczywistych to wszystkie wielomiany pierwszego stopnia oraz wielomiany drugiego stopnia z ujemnym wyróżnikiem $\Delta$;

• każdy wielomian stopnia większego od $2$ można zapisać w postaci iloczynu wielomianów nierozkładalnych i niezerowej stałej;

• zapis w postaci iloczynu jest jednoznaczny z dokładnością do przemnożenia czynników przez stałą niezerową