Galeria zdjęć interaktywnych

Polecenie 1

Zapoznaj się z galerią zdjęć interaktywnych. Znajdziesz w niej przykład dowodu jednej z własności ciągu geometrycznego. Spróbuj najpierw samodzielnie udowodnić tę własność i porównaj z rozwiązaniem.

R1I03vLVhFzLz
Ilustracja pierwsza Udowodnimy twierdzenie. Treść twierdzenia. Jeżeli ciąg an jest ciągiem geometrycznym n≥1, n∈ℕ o wyrazach różnych od zera i nie jest ciągiem stałym, to ciąg bn określony wyrazem ogólnym bn=an+1-an jest ciągiem geometrycznym.
RefAvIt8YnzXn
Ilustracja druga. Założenie. Ciąg geometryczny oznaczymy jako an, dalej zakładamy, że n≥1, n∈ℕ oraz ai≠0 dla i∈1, 2, ..., n, Iloraz ciągu jest różny od jeden, czyli q≠1, a także bn=an+1-an, Teza: bn to ciąg geometryczny
R1EF0OZzioU6I
Ilustracja trzecia. Dowód. Z własności ciągu geometrycznego wynika, że an+1=a1·qn oraz an=a1·qn-1. Odejmujemy stronami zapisane równości. an+1-an=a1·qn-a1·qn-1, Wyłączamy przed nawias wspólny czynnik. an+1-an=a1·qn-1·q-1.
RQ44Sow5UxAE7
Ilustracja czwarta. Z własności ciągu geometrycznego wynika, że an+2=a1·qn+1 oraz an+1=a1·qn. Odejmujemy stronami zapisane równości. an+2-an+1=a1·qn+1-a1·qn, Wyłączamy przed nawias wspólny czynnik. an+2-an+1=a1·qn-1·q2-q
R15I2Dkrjabdt
Ilustracja piąta. Aby wykazać, że ciąg bn jest geometryczny, znajdziemy iloraz dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu. bn+1bn=an+2-an+1an+1-an, Do licznika i mianownika ułamka stojącego po prawej stronie znaku równości podstawiamy wyznaczone wyrażenia (z założenia a1≠0 i q≠1). bn+1bn=a1·qn-1·q2-qa1·qn-1·q-1, Skracamy i w liczniku wyłączamy q przed nawias. bn+1bn=q·q-1q-1, Ponownie skracamy ułamek stojący po prawej stronie znaku równości. bn+1bn=q
Polecenie 2

Wykaż, że jeżeli ciąg an jest ciągiem geometrycznym (n≥1, n∈ℕ) o wyrazach różnych od zera i nie jest ciągiem stałym oraz iloraz tego ciągu jest różny od -1, to ciąg bn określony wyrazem ogólnym bn=an+1+an jest ciągiem geometrycznym.

Przeczytaj
Sprawdź się