Dowód, to ścisłe uzasadnienie danego stwierdzenia, przebiegające zgodnie z ustalonymi regułami. Zdanie opisujące własności danych obiektów matematycznych może zostać uznane za twierdzenie, dopiero po przedstawieniu poprawnego dowodu.

W matematyce istnieje wiele rodzajów dowodów. My będziemy posługiwali się dowodem wprost. Prawdziwość tezy będziemy dowodzić bezpośrednio przez dedukcję, korzystając z przyjętych założeń. Kolejne formuły w dowodzie będą wynikały logicznie z poprzednich, albo będą zdaniami, które przyjmuje się za oczywiste (wynikające z przyjętych aksjomatów).

Na początek przypomnienie najważniejszych wzorów dotyczących ciągu geometrycznego, z których będziemy korzystać.

Będziemy przy tym zakładać, że dany ciąg, np. ciąg an, jest określony dla n1n.

Ciąg geometryczny
Definicja: Ciąg geometryczny

Ciągiem geometrycznym nazywamy ciąg liczbowy co najmniej trzywyrazowy, w którym każdy wyraz, począwszy od drugiego, powstaje przez pomnożenie wyrazu poprzedniego przez liczbę q, zwaną ilorazem ciągu.

Ciąg geometryczny an

Wyraz ogólny ciągu

Zależność między trzema kolejnymi wyrazami ciągu

Suma n początkowych wyrazów ciągu

an=a1·qn-1

an2=an-1·an+1

Sn=a1·1-qn1-q

W pierwszym z dowodów wykorzystamy wzór na wyraz ogólny ciągu geometrycznego, ale również odwołamy się do własności działań na potęgach.

Przykład 1

Iloraz ciągu geometrycznego an jest równy 1+52. Pierwszy wyraz ciągu jest różny od 0. Wykażemy, że każdy wyraz tego ciągu, począwszy od drugiego wyrazu, jest równy różnicy dwóch sąsiadujących z nim wyrazów.

Założenie:

an – ciąg geometryczny

a10, q=1+52

Teza:

an=an+1-an-1

Dowód:

Korzystamy ze wzoru ogólnego ciągu geometrycznego.

an+1=a1·qn=a1·1+52n

an-1=a1·qn-2=a1·1+52n-2

Zapisujemy różnicę an+1-an-1 za pomocą uzyskanych wyrażeń.

an+1-an-1=a1·1+52n-a1·1+52n-2

Z prawej strony zapisanej równości wyłączamy wspólne czynniki przed nawias.

an+1-an-1=a1·1+52n-2·1+522-1

Wykonujemy potęgowanie w drugim nawiasie i zapisujemy uzyskane wyrażenie w najprostszej postaci.

an+1-an-1=a1·1+52n-2·1+52

Mnożymy potęgi o tych samych podstawach – dodajemy wykładniki.

an+1-an-1=a1·1+52n-1

Ponieważ a1·1+52n-1=an, zatem:

an+1-an-1=an

c.n.d

Problemy, w których występują parametry, często są przedstawiane jako zadania „na dowodzenie”. Do ich rozwiązania potrzebne są z reguły wiadomości z różnych działów matematyki. W poniższym przykładzie wykorzystamy znajomość sposobów rozwiązywania układów równań.

Przykład 2

Dany jest układ równań z niewiadomymi x, y, z.

x+5y-z=5-2x+y+z=6mx-y+z=4m+1

Wykażemy, że istnieją dwie wartości parametru m, dla których rozwiązania x, y, z (w tej kolejności) tego układu równań tworzą ciąg geometrycznyciąg geometrycznyciąg geometryczny.

Sformułowanie założenia i tezy pozostawiamy Ci do samodzielnej pracy, my zaczniemy od dowodu.

Chcemy najpierw znaleźć rozwiązania danego układu równań, nawet gdy rozwiązania będą opisane za pomocą wyrażeń zawierających parametr m.

W tym celu dodajemy stronami pierwsze i drugie równanie układu równań oraz pierwsze i trzecie, aby „wyeliminować” zmienną z.

x+5y-z=5-2x+y+z=6mx-y+z=4m+1

-x+6y=5+6m2x+4y=4m+6

Mnożymy pierwsze równanie otrzymanego układu przez dwa i dodajemy stronami równania ukladu.

+-2x+12y=10+12m2x+4y=4m+6

Uzyskaliśmy równanie z jedną niewiadomą – wyznaczamy y.

16y=16m+16 |:16

y=m+1

Wyznaczone wyrażenie podstawiamy w miejsce y do równania -x+6y=5+6m.

y=m+1-x+6y=5+6m

y=m+1-x+6m+6=5+6m

y=m+1x=1

Powracamy do układu równań z trzema niewiadomymi – dołączając trzecie równie początkowego układu.

y=m+1x=1x-y+z=4m+1

Obliczamy z.

y=m+1x=11-m-1+z=4m+1

y=m+1x=1z=5m+1

Rozwiązaniem początkowego układu równań są liczby:

x=1, y=m+1, z=5m+1.

O liczbach tych wiemy, że tworzą ciąg geometryczny. Na podstawie zależności między trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, zapisujemy:

m+12=1·5m+1

Mamy teraz do rozwiązania równanie kwadratowe z niewiadomą m.

m2+2m+1=5m+1

m2-3m=0

mm-3=0

m=0 lub m=3

Dla m=0 otrzymujemy: x=1, y=1, z=1. Liczby te są kolejnymi wyrazami ciągu stałego, a taki ciąg jest ciągiem geometrycznym o ilorazie 1.

Dla m=3 otrzymujemy x=1, y=4, z=16. Liczby te są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, w którym pierwszy wyraz jest równy 1, a iloraz jest równy 4.

Zatem istnieją dwie wartości liczby m (03), spełniające warunki zadania, co należało udowodnić.

Trzeci typ zadań „na dowodzenie” związany z ciągiem geometrycznym, to zadania polegające na udowodnieniu własności sumy kolejnych n początkowych wyrazów ciągu.

Przykład 3

Dany jest skończony ciąg geometryczny a1, a2, ..., an taki, że q0ai0 dla i1, 2, ..., n.

Udowodnimy, że suma odwrotności wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa sumie jego wszystkich wyrazów podzielonej przez iloczyn pierwszego i ostatniego wyrazu.

Założenie:

a1, a2, ..., an – ciąg geometryczny

q0ai0 dla i1, 2, ..., n

Teza:

1a1+1a2+...+1an=Sna1·an

Dowód:

Przekształcamy lewą stronę dowodzonej równości, zapisując każdy wyraz ciągu za pomocą pierwszego wyrazu i ilorazu ciągu.

L=1a1+1a2+...+1an=1a1+1a1·q+...+1a1·qn-1

Wyłączamy wspólny czynnik, czyli 1a1 przed nawias.

L=1a1·1+1q+1q2+...+1qn-1

Sprowadzamy ułamki w nawiasie do wspólnego mianownika.

L=1a1·qn-1+qn-2+...+q+1qn-1

Rozszerzamy ułamek zapisany w nawiasie przez a1 – możemy tak postąpić, bo z założenia wynika, że a10.

L=1a1·a1·qn-1+a1·qn-2++a1·q+a1a1·qn-1

W liczniku ułamka znajduje się suma kolejnych n wyrazów ciągu geometrycznego, a w mianowniku wyraz an.

L=1a1·Snan

L=Sna1·an

Ostatnia równość dowodzi, że L=P, co należało wykazać.

Teraz odwołamy się do wiadomości dotyczących nie tylko ciągu geometrycznego, ale też arytmetycznego.

Przykład 4

Liczby b, c, 2b-a są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Udowodnimy, że liczby ab, b2, c2 są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego.

Założenie:

b, c, 2b-aciąg geometrycznyciąg geometrycznyciąg geometryczny

Teza:

ab, b2, c2 – ciąg arytmetyczny

Dowód:

Z własności ciągu geometrycznego wynika, że

c2=b2b-a

Przekształcamy otrzymane wyrażenie.

c2=2b2-ab

Wyznaczamy b2.

2b2=c2+ab |:2

b2=c2+ab2

Otrzymana równość oznacza, że liczba b2 jest średnią arytmetyczną liczb abc2.

Dowodzi to, że ciąg ab, b2, c2 jest arytmetyczny.

Ostatni przykład pokazuje związek ciągu geometrycznego z geometrią.

Przykład 5

Boki a, b, c trójkąta ABC i wysokość h opuszczona na bok a, tak jak na rysunku, tworzą ciąg geometryczny. Udowodnimy, że trójkąt ABC jest prostokątny.

R4p2PhjhUOEAC

Założenie:

a, b, c, h – ciąg geometryczny

a>0, b>0, c>0, h>0

Teza:

Trójkąt ABC jest prostokątny.

Dowód:

Z zależności między wyrazami ciągu geometrycznego wynika równość:

ba=hc

Czyli:

ah=bc

Mnożymy obie strony równości przez 12.

12ah=12bc

Lewa strona zapisanej równości opisuje pole trójkąta ABC.

P=12ah

Pole tego trójkąta można też obliczyć w nieco inny sposób – znając długości jego dwóch boków i miarę kata między tymi bokami.

Oznaczmy przez α miarę kąta ABC. Wtedy

P=12bcsinα

Porównujemy otrzymane wyrażenia.

12ah=12bcsinα

Ponieważ

12ah=12bc

zatem 12bcsinα=12bc.

Stąd wynika, że sinα=1, czyli α=90°.

Trójkąt ABC jest więc trójkątem prostokątnym, co należało wykazać.

Słownik

ciąg geometryczny
ciąg geometryczny

ciągiem geometrycznym nazywamy ciąg liczbowy co najmniej trzywyrazowy, w którym każdy wyraz, począwszy od drugiego, powstaje przez pomnożenie wyrazu poprzedniego przez liczbę q, zwaną ilorazem ciągu