Dostępne opcje do wyboru: $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$, $a{q}^2$, $>$, $a{q}^2$, $<$, $>$, $aq$, $q$, $q^2$, $q$, $5$, $a$. Polecenie: Twierdzenie: Jeżeli długości boków trójkąta tworzą ciąg geometryczny o ilorazie $q>1$, to $q<\frac{1+\sqrt{5}}{2}$.
Uzupełnij dowód powyższego twierdzenia, przeciągając odpowiednie znaki lub liczby. Dowód:
Niech $a$, $aq$, $a{q}^2$, gdzie $a$ luka do uzupełnienia $0$, będą długościami boków trójkąta.
Ponieważ $q>1$, więc najdłuższy bok trójkąta ma długość luka do uzupełnienia .
W trójkącie suma dwóch boków musi być większa od długości trzeciego boku. Aby ten warunek był spełniony, wystarczy sprawdzić, czy suma długości krótszych boków jest większa od długości boku najdłuższego.
$a+$ luka do uzupełnienia $>$ luka do uzupełnienia
Obie strony nierówności możemy podzielić przez luka do uzupełnienia i znak nierówności nie zmieni się, bo $a$ luka do uzupełnienia $0$.
$1+q>$ luka do uzupełnienia
Rozwiązujemy otrzymaną nierówność kwadratową.
$q^2-q-1$ luka do uzupełnienia $0$
$∆=$ luka do uzupełnienia
$q_1=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$
$q_2=$ luka do uzupełnienia
Zatem
$\frac{1-\sqrt{5}}{2}<$ luka do uzupełnienia $<\frac{1+\sqrt{5}}{2}$
Ponieważ $q>1$, stąd
$1<$ luka do uzupełnienia $<\frac{1+\sqrt{5}}{2}$
Co należało wykazać.

Dostępne opcje do wyboru: $=$, $>$, $>$, $=$, $<$, $>$, $=$, $<$, $<$. Polecenie: Dokończ twierdzenie, przeciągając między podane sumy odpowiedni znak: $<$, $>$ lub $=$. Twierdzenie:
Jeżeli $a$, $a-12$, $a+12$ w tej kolejności są trzema początkowymi wyrazami nieskończonego ciągu geometrycznego, o wyrazach różnych od zera, $S_n$ oznacza sumę $n$ kolejnych początkowych wyrazów tego ciągu, to:
- $S_{2022}-S_{2021}$ luka do uzupełnienia $0$
- $S_{100}-S_{99}$ luka do uzupełnienia $0$
- $S_{201}-S_{200}$ luka do uzupełnienia $0$
- $S_{1003}-S_{1002}$ luka do uzupełnienia $0$

Poukładaj wyrażenia tak, aby otrzymać twierdzenie prawdziwe. Elementy do uszeregowania: 1. długościom wysokości trójkąta $ABC$,, 2. Jeżeli długości, 3. boków trójkąta $ABC$ są, 4. kolejnymi wyrazami ciągu, 5. trójkąta $DEF$ są równe, 6. geometrycznego, długości boków, 7. to miary kątów, 8. trójkąta $ABC$ są, 9. równe miarom kątów trójkąta $DEF$.