1
Pokaż ćwiczenia:
RV4i81PyU77vd1
Ćwiczenie 1
Zaznacz poprawną odpowiedź. Można wykazać, że jeżeli ciąg an jest ciągiem geometrycznym o wyrazach różnych, dodatnich i ilorazie q, to ciąg o wyrazie ogólnym bn=logcan, gdzie c>0, c1 jest ciągiem arytmetycznym.
Wtedy różnica tego ciągu arytmetycznego jest równa: Możliwe odpowiedzi: 1. logcq, 2. logqc, 3. logcq+1, 4. logqc-1
R1S1S4OkqiBzj1
Ćwiczenie 2
Zaznacz poprawną odpowiedź.
Twierdzenie:
Jeżeli dodatnie liczby a, b, c (w tej kolejności) są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, to a2+b2+c2=a-b+ca+b+c.
W dowodzie tego twierdzenia, korzystamy z tego, że: Możliwe odpowiedzi: 1. a2=bc, 2. b2=ac, 3. c2=ab
R1NaHtfs7rZ0S2
Ćwiczenie 3
Twierdzenie:
Jeżeli ciąg an, gdzie n1n o wyrazach dodatnich jest ciągiem geometrycznym, to ciąg bn określony wzorem bn=2·an2 jest też ciągiem geometrycznym.
Zaznacz wszystkie zdania prawdziwe. Możliwe odpowiedzi: 1. W powyższym twierdzeniu stwierdzenie:
Jeżeli ciąg an, gdzie n1n o wyrazach dodatnich jest ciągiem geometrycznym to teza., 2. W powyższym twierdzeniu stwierdzenie:
Jeżeli ciąg an, gdzie n1n o wyrazach dodatnich jest ciągiem geometrycznym to założenie., 3. W powyższym twierdzeniu stwierdzenie:
Ciąg bn określony wzorem bn=2·an2 jest ciągiem geometrycznym to teza., 4. W powyższym twierdzeniu stwierdzenie:
Ciąg bn określony wzorem bn=2·an2 jest ciągiem geometrycznym to założenie.
RHjV3rtXqQ5V92
Ćwiczenie 4
Dostępne opcje do wyboru: 1+52, aq2, >, aq2, <, >, aq, q, q2, q, 5, a. Polecenie: Twierdzenie: Jeżeli długości boków trójkąta tworzą ciąg geometryczny o ilorazie q>1, to q<1+52.
Uzupełnij dowód powyższego twierdzenia, przeciągając odpowiednie znaki lub liczby. Dowód:
Niech a, aq, aq2, gdzie a luka do uzupełnienia 0, będą długościami boków trójkąta.
Ponieważ q>1, więc najdłuższy bok trójkąta ma długość luka do uzupełnienia .
W trójkącie suma dwóch boków musi być większa od długości trzeciego boku. Aby ten warunek był spełniony, wystarczy sprawdzić, czy suma długości krótszych boków jest większa od długości boku najdłuższego.
a+ luka do uzupełnienia > luka do uzupełnienia
Obie strony nierówności możemy podzielić przez luka do uzupełnienia i znak nierówności nie zmieni się, bo a luka do uzupełnienia 0.
1+q> luka do uzupełnienia
Rozwiązujemy otrzymaną nierówność kwadratową.
q2-q-1 luka do uzupełnienia 0
= luka do uzupełnienia
q1=1-52
q2= luka do uzupełnienia
Zatem
1-52< luka do uzupełnienia <1+52
Ponieważ q>1, stąd
1< luka do uzupełnienia <1+52
Co należało wykazać.
R1Ax5cBQO0yHA2
Ćwiczenie 5
Dostępne opcje do wyboru: =, >, >, =, <, >, =, <, <. Polecenie: Dokończ twierdzenie, przeciągając między podane sumy odpowiedni znak: <, > lub =. Twierdzenie:
Jeżeli a, a-12, a+12 w tej kolejności są trzema początkowymi wyrazami nieskończonego ciągu geometrycznego, o wyrazach różnych od zera, Sn oznacza sumę n kolejnych początkowych wyrazów tego ciągu, to:
- S2022-S2021 luka do uzupełnienia 0
- S100-S99 luka do uzupełnienia 0
- S201-S200 luka do uzupełnienia 0
- S1003-S1002 luka do uzupełnienia 0
R1DSprIQ51WwL2
Ćwiczenie 6
Poukładaj wyrażenia tak, aby otrzymać twierdzenie prawdziwe. Elementy do uszeregowania: 1. długościom wysokości trójkąta ABC,, 2. Jeżeli długości, 3. boków trójkąta ABC są, 4. kolejnymi wyrazami ciągu, 5. trójkąta DEF są równe, 6. geometrycznego, długości boków, 7. to miary kątów, 8. trójkąta ABC są, 9. równe miarom kątów trójkąta DEF.
3
Ćwiczenie 7

Ciąg sinα, 23, cosα, gdzie α jest kątem ostrym, tworzą ciąg geometryczny. Wykaż, że sinα+cosα=173.

3
Ćwiczenie 8

Udowodnij, że jeśli ciąg a, b, c, d jest geometryczny i a, b, c, d są liczbami dodatnimi, to a+db+c.