Ilustracja pierwsza. Ustal współrzędne punktu, w którym przecinają się wykresy funkcji $f\left(x\right)=3x-1$ i $g\left(x\right)=x+1$.

rozwiązanie. Rysujemy wykresy funkcji f oraz g w jednym układzie współrzędnych i odczytujemy, że przecinają się one w punkcie P o współrzędnych $\left(1;2\right)$. Aby upewnić się, że tak jest obliczamy. $f\left(1\right)=2$ i $g\left(1\right)=2$. Odpowiedź. Wykresy funkcji $f$ i $g$ przecinają się w punkcie $P=\left(1,2\right)$.

Ilustracja druga. Wykaż, że układ równań $\left\{\begin{array}{l}x-y=1\\ 3x-3y=2\end{array}\right.$ nie ma rozwiązań. Rozwiązanie. Jeśli pomnożymy stronami pierwsze równanie przez 3 to otrzymamy układ $\left\{\begin{array}{l}3x-3y=3\\ 3x-3y=2\end{array}\right.$. Odpowiedź. Lewe strony równań są sobie równe, a prawe - różne. Jest zatem układ sprzeczny.

Ilustracja trzecia. Prosta k przechodzi przez punkty A o współrzędnych $\left(2;1\right)$ oraz B o współrzędnych $\left(5;10\right)$. Jakie jest jej równanie.

a kierunkowe

b ogólne.

rozwiązanie.

a równanie kierunkowe prostej jest postaci $y=ax+b$, musimy znaleźć liczby a oraz b $A$ należy do prostej $k$, zatem zachodzi równość:, $1=a·2+b$ $B$ należy do prostej $k$, zatem zachodzi równość: $10=a·5+b$

Ilustracja piąta. Rozwiązanie. A. rozwiązanie kierunkowe prostej jest postaci $y=ax+b$, musimy znaleźć liczby a oraz b . Punkt A należy do prostej k zatem zachodzi równość $1=a·2+b$ punkt b również należy do prostej k więc $10=a·5+b$. Rozwiązując układ równań $\left\{\begin{array}{l}2a+b=1\\ 5a+b=10\end{array}\right.$. Uzyskujemy a równe trzy oraz b równe minus pięć. $y=3x-5$ Równanie kierunkowe prostej.

Ilustracja szósta. B. zamienimy równanie kierunkowe na ogólne. $y=3x-5$ ,$-3x+y+5=0$. $3x-y-5=0$ Równanie kierunkowe prostej.

Ilustracja siódma. Ania mówi do kasi. Gdy będziesz w moim wieku to ja będę miała 24 lata. Gdy ja byłam w twoim wieku to ty byłaś ode mnie dwa razy młodsza. Ile lat ma obecnie kasia, a ile ania? Rozwiązanie. Wprowadźmy oznaczenia. X to obecny wiek ani. Y to obecny wiek kasi. Różnica wieku będzie równa x minus y więc kasia będzie w wieku ani za x minus y lat. Wtedy ania będzie mieć $x+(x-y)=24$. Ania miała y lat x minus y lat temu. Wtedy kasia miała $y-(x-y)$ lat i była dwa razy młodsza od ani więc. $y=2\left[y-(x-y)\right]$. Uzyskamy układ równań. $\left\{\begin{array}{l}2x-y=24\\ -2x+3y=0\end{array}\right.$. Korzystamy z metody przeciwnych współczynników. Dodając oba równania stronami otrzymujemy. 2y równe 24 i y równe dwanaście. Podstawiając te wartość do pierwszego równania mamy $2x-12=24$ czyli x równe osiemnaście. Odpowiedź. Ania ma teraz $18$ lat, a Kasia $12$.