Równanie linii prostej, która jest wykresem funkcji liniowej, zapisywaliśmy dotąd w postaci:

Postać taką nazywamy postacią kierunkową, bowiem od razu widzimy, jaki jest współczynnik kierunkowy rozważanej prostejprostaprostej.

W postaci kierunkowej nie można jednak zapisać równań prostych równoległych do osi $Y$, gdyż ich współczynnik kierunkowy nie jest określony. Dlatego, aby móc rozważać jednocześnie wszystkie rodzaje prostych na płaszczyźnie, używamy często zapisu równania prostej w postaci ogólnej:

gdzie $A$, $B$ oraz $C$ są ustalonymi liczbami rzeczywistymi.

Oczywiście, jeśli dana prostaprostaprosta jest wykresem funkcji liniowej, to jej równanie zawsze można zapisać w obu postaciach.

Zapis równania prostej w postaci ogólnej lub kierunkowej często pojawia się w układach równań liniowych. Sposoby rozwiązywania takich układów to np. metoda podstawiania lub przeciwnych współczynników. Pokażemy, że rozwiązywanie układu równań liniowych można zinterpretować jako poszukiwanie punktu przecięcia pewnych prostych w układzie współrzędnych.

Zobaczymy teraz, że ten sam wynik możemy uzyskać, rysując pewne proste w układzie współrzędnych.

Przykład 4

Rozwiążemy ten sam układ równań metodą graficzną. W tym celu przekształcamy oba równania do postaci kierunkowej:

$\left\{\begin{array}{l}y=-\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}\\ y=4x+5\end{array}\right.$.

Aby odczytać rozwiązanie powyższego układu, poszukujemy punktu, który należy jednocześnie do prostej $y=-\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}$ oraz do prostej $y=4x+5$. Z rysunku odczytujemy, że obie proste przecinają się w punkcie $\left(-1,1\right)$. Zatem metodą graficzną otrzymujemy to samo, co metodą algebraiczną, rozwiązanie układu równań : $x=-1$ oraz $y=1$.

RZy3mi6DBqSNv

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z pionową osią od minus 2 do pięciu oraz poziomą osią od minus 3 do czterech. Zaznaczono dwie proste przecinające się w punkcie $\left(-1;1\right)$.

Interpretacja geometryczna układu równań liniowych pozwala lepiej zrozumieć, dlaczego układ taki może mieć albo dokładnie jedno rozwiązanie, albo nieskończenie wiele, albo zero rozwiązań. Rozpatrzmy układ równań postaci:

Para liczb $x$ oraz $y$ jest rozwiązaniem tego układu wtedy i tylko wtedy, gdy punkt $A$ o współrzędnych $\left(x,y\right)$ należy jednocześnie do prostej $y=a_{1}x+b_1$ i do prostej $y=a_{2}x+b_2$.

Rozwiązanie układu równań polega na znalezieniu punktów wspólnych dwóch prostych na płaszczyźnie, zatem układ dwóch równań liniowych:

• nie ma rozwiązań, gdy proste są równoległe i się nie pokrywają,

• ma nieskończenie wiele rozwiązań, gdy proste się pokrywają,

• ma dokładnie jedno rozwiązanie, gdy proste się przecinają.

Przykład 5

Układ równań: $\left\{\begin{array}{l}y=x-2\\ y=x+1\end{array}\right.$
nie ma rozwiązań, ponieważ proste o równaniach $y=x-2$ oraz $y=x+1$ są równoległe i nie mają punktów wspólnych.

R710Zf3UI791A

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z pionową osią od minus 2 do trzech oraz poziomą osią od minus 3 do czterech. Zaznaczono dwie równoległe rosnące proste o miejscach zerowych minus jeden oraz dwa.

Przykład 6

Układ równań: $\left\{\begin{array}{l}x-y=0\\ 2x-2y=0\end{array}\right.$
 ma nieskończenie wiele rozwiązań, gdyż wyznaczając z obu równań $y$, uzyskamy równanie tej samej prostej: $y=x$.

R190CjqdOstIB

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z pionową osią od minus 3 do trzech oraz poziomą osią od minus 3 do czterech. Zaznaczono prostą rosnącą przechodzącą przez środek układu współrzędnych

Przykład 7

Układ równań: $\left\{\begin{array}{l}y=-x+2\\ y=x\end{array}\right.$
ma dokładnie jedno rozwiązanie, ponieważ proste $y=-x+2$ oraz $y=x$ przecinają się w punkcie $\left(1,1\right)$. A zatem jedynym rozwiązaniem układu jest para liczb $x=1$, $y=1$.

R14LTXjIgEnk1

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z pionową osią od minus 2 do trzech oraz poziomą osią od minus 3 do czterech. Zaznaczono prostą rosnącą przechodzącą przez środek układu współrzędnych oraz prostą malejącą przecinającą się z tamtą prostą w punkcie $\left(1;1\right)$.

Słownik