Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

RDAE2kuKqXmEg1

Ćwiczenie 1

R8Y0SEHuP5izp1

Ćwiczenie 2

R8yh2cXnaAxsP1

Ćwiczenie 3

R14HUMxbSOuEt1

Ćwiczenie 4

R1czzurudsqLE1

Ćwiczenie 5

RRJsd1U2RdiHv1

Ćwiczenie 6

RGDDcEfp1rSCX2

Ćwiczenie 7

Ćwiczenie 8

Na rysunku znajduje się interpretacja geometryczna układu równań:

R1PuHz1FQC48L

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z osią pionową Y od minus 2 do czterech oraz osią poziomą X od minus 3 do czterech Zaznaczono dwie proste przecinające się w punkcie P w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych o współrzędnych 1,2. Prosta rosnąca ma miejsce zerowe równe minus jeden oraz wyraz wolny równy jeden. Prosta malejąca ma miejsce zerowe równe dwa oraz wyraz wolny równy cztery.

R1Ad7xJbBCBvr

RWGlqp8CfS20B2

Ćwiczenie 9

RLWMHuX5NAwci2

Ćwiczenie 10

Ćwiczenie 11

Rozwiąż układy równań:
a) $\{\begin{cases} x + y = 5 \\ 3 x + 2 y = 12 \end{cases}$
b) $\{\begin{cases} x - y = - 3 \\ 5 x + 2 y = 20 \end{cases}$
c) $\{\begin{cases} x + y = - 1 \\ 3 x + 3 y = 9 \end{cases}$
d) $\{\begin{cases} 4 x + y = - 9 \\ 7 x - 3 y = 8 \end{cases}$

a) $x = 2$ , $y = 3$
b) $x = 2$ , $y = 5$
c) układ sprzeczny
d) $x = - 1$ , $y = - 5$

Ćwiczenie 12

Rozwiąż graficznie układy równań:
a) $\{\begin{cases} 3 x + y = 8 \\ x - y = 0 \end{cases}$
b) $\{\begin{cases} 2 x + y = 3 \\ 3 x - y = 2 \end{cases}$
c) $\{\begin{cases} 5 x - y = - 2 \\ 5 x + y = 2 \end{cases}$
d) $\{\begin{cases} x + 2 y = 8 \\ - x - 2 y = - 8 \end{cases}$

a) $x = 2$ , $y = 2$
b) $x = 1$ , $y = 1$
c) $x = 0$ , $y = 2$
d) nieskończenie wiele rozwiązań: rozwiązaniem jest każdy punkt na prostej $y = - \frac{1}{2} x + 4$

Ćwiczenie 13

Rozwiąż układy równań :
a) $\{\begin{cases} \frac{x}{3} + \frac{y}{4} = 1 \\ x + 2 y = - 2 \end{cases}$
b) $\{\begin{cases} \frac{x - y}{4} + \frac{x + y}{6} = 2 \\ \frac{x + 4 y}{3} - \frac{x - 5 y}{4} = 3 \end{cases}$
c) $\{\begin{cases} 4 (x - 3) + 3 (y + 1) = - 7 \\ 5 (x + 2) - 2 (y - 7) = 38 \end{cases}$

a) $x = 6$ , $y = - 4$
b) $x = 5$ , $y = 1$
c) $x = 2$ , $y = - 2$

Ćwiczenie 14

Oblicz $a$ i $b$ , wiedząc, że wykres funkcji $f (x) = \frac{a x + b}{8}$ ma nieskończenie wiele punktów wspólnych z prostą o równaniu $f (x) = 0, 5 x - 3$ .

$a = 4$ ; $b = - 24$ .

Ćwiczenie 15

Zapisz układy równań, których rozwiązania graficzne są przedstawione na rysunkach:

RSgbRy0r7dD76

Ilustracja przedstawia trzy układy współrzędnych z pionową osią od minus 2 do czterech oraz poziomą osią od minus 3 do trzech. Układ a. zaznaczono dwie proste przecinające się w drugiej ćwiartce układu współrzędnych. Układ b. zaznaczono dwie proste. Jedna z nich jest stała. Przecinające się w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych. Układ c. zaznaczono dwie proste przecinające się na osi Y w punkcie jeden.

a) $\{\begin{cases} y = \frac{1}{2} x + \frac{3}{2} \\ y = - x \end{cases}$
b) $\{\begin{cases} y = 3 x - 7 \\ y = 2 \end{cases}$
c) $\{\begin{cases} y = 3 x + 1 \\ y = - 2 x + 1 \end{cases}$

Ćwiczenie 16

Za $43 zł$ kupiono $20 kg$ jabłek dwóch gatunków: po $2 zł$ i po $2, 50 zł$ za kilogram. Ile kilogramów jabłek każdego gatunku zakupiono?

Układ równań jest postaci: $\{\begin{cases} 2 x + 2, 5 y = 43 \\ x + y = 20 \end{cases}$ ,

gdzie $x$ oznacza ilość kilogramów pierwszego gatunku, a $y$ ilość kilogramów drugiego gatunku.

Kupiono $14 kg$ jabłek po $2 zł$ i $6 kg$ jabłek po $2, 50 zł$ .

Ćwiczenie 17

Wykresy funkcji $f (x) = a x + 8$ i $g (x) = x + b$ przecinają się w punkcie $P = (2, 2)$ . Oblicz $a$ i $b$ .

$a = - 3$ , $b = 0$ .

Ćwiczenie 18

Znajdź równanie ogólne prostej przechodzącej przez punkty $A$ i $B$ , wiedząc, że:
a) $A = (1, 2)$ i $B = (6, 3)$ ,
b) $A = (- 7, 1)$ i $B = (0, - 1)$ .

a) $x - 5 y + 9 = 0$ ;
b) $2 x + 7 y + 7 = 0$ .

Ćwiczenie 19

Wykresy funkcji $f_{1} (x) = - 2 x + 3$ , $f_{2} (x) = 3 x - 2$ i $f_{3} (x) = 5 x + b$ przecinają się w jednym punkcie. Oblicz $b$ .

$b = - 4$

Ćwiczenie 20

Na koncert filharmonii przyszło do szkolnej auli $220$ uczniów. Wiadomo, że uczniów, którzy zajęli miejsca siedzące, było $10$ razy więcej niż pozostałych. Można było usiąść na krześle lub na czteroosobowej ławce. Zajęto w sumie $65$ krzeseł i ławek. Ile krzeseł zajęli uczniowie podczas koncertu?

Po rozwiązaniu równania $x + 10 x = 220$ dostajemy, że uczniowie zajęli $200$ miejsc siedzących. Zatem układ równań jest postaci:

$\{\begin{cases} x + y = 65 \\ x + 4 y = 200 \end{cases}$ ,

gdzie $x$ oznacza liczbę krzeseł, a $y$ liczbę ławek.

$20$

Ćwiczenie 21

Po zmieszaniu $3 kg$ cukierków czekoladowych i $3 kg$ cukierków owocowych powstała mieszanka, za kilogram której trzeba zapłacić $10 zł$ . Gdyby zmieszać $5 kg$ cukierków czekoladowych i $3 kg$ cukierków owocowych, to jeden kilogram takiej mieszanki kosztowałby $10, 50 zł$ . Ile kosztuje $1 kg$ cukierków czekoladowych, a ile owocowych?

Układ równań jest postaci:

$\{\begin{cases} \frac{3 x + 3 y}{6} = 10 \\ \frac{5 x + 3 y}{8} = 10, 5 \end{cases}$ ,

gdzie $x$ oznacza cenę cukierków czekoladowych, a $y$ cenę cukierków owocowych.

$1 kg$ cukierków czekoladowych kosztuje $12 zł$ , a $1 kg$ cukierków owocowych kosztuje $8 zł$ .

Ćwiczenie 22

Dwaj sąsiedzi, Marek i Andrzej, poświęcają wolny czas na zajęcia organizowane przez Osiedlowy Ośrodek Sportu. Marek w tym tygodniu był tam m.in. dwie godziny na basenie i trzy godziny na siłowni, za co zapłacił $23 zł$ . Andrzej za pięć godzin spędzonych na basenie i jedną - na siłowni zapłacił o $2 zł$ więcej niż Marek. Ile trzeba zapłacić za godzinę pobytu na basenie, a ile za godzinę ćwiczeń na siłowni?

Układ równań jest postaci:

$\{\begin{cases} 2 x + 3 y = 23 \\ 5 x + y = 25 \end{cases}$ ,

,gdzie $x$ oznacza cenę za jedną godzinę pobytu na basenie, a $y$ cenę jednej godziny spędzonej na siłowni.

Za godzinę spędzoną na basenie trzeba zapłacić $4 zł$ , zaś godzina spędzona na siłowni kosztuje $5 zł$ .

Ćwiczenie 23

Przed rokiem Ania była trzy razy starsza od Oli. Za trzy lata Ola będzie dwa razy młodsza od Ani. Ile lat będzie miała Ania, gdy Ola skończy $18$ lat?

Układ równań jest postaci:

${\begin{cases} y = 3 x \\ 2 (x + 4) = y + 4, \end{cases}$

gdzie $x$ oznacza wiek Oli, a $y$ wiek Ani przed rokiem.

$26$ lat.

Ćwiczenie 24

Ojciec i jego trzy córki mają w sumie $94$ lata. Cztery lata temu najstarsza córka była dwa razy młodsza od ojca, a dwie młodsze dziewczynki miały razem $21$ lat. Ile lat temu najstarsza córka uzyskała pełnoletniość?

Układ równań potrzebny do wyznaczeniu wieku taty i najstarszej córki jest postaci:

${\begin{cases} y = \frac{1}{2} x \\ x + 4 + y + 4 + 29 = 94, \end{cases}$

gdzie $x$ oznacza wiek taty, a $y$ wiek najstarszej córki cztery lata temu.

$5$ lat temu.

Ćwiczenie 25

Marysia zapytała Zosię: ,,Ile masz lat?”. Wtedy Zosia odpowiedziała: ,,Gdy ty będziesz w moim wieku, ja będę miała $28$ lat. Gdy ja byłam w twoim wieku, byłaś ode mnie $3$ razy młodsza”. Ile lat ma obecnie każda z nich?

Układ równań jest postaci: ${\begin{cases} x - y = 28 - x \\ x - y = y - \frac{1}{3} y, \end{cases}$

gdzie $x$ oznacza obecny wiek Zosi, a $y$ obecny wiek Marysi.

Zosia $20$ lat, Marysia $12$ lat.

Ćwiczenie 26

Liczba dwucyfrowa jest o $27$ większa od liczby, która powstała z zamiany cyfr w danej liczbie. Wiadomo też, że suma cyfr danej liczby jest liczbą złożoną. Wypisz wszystkie liczby dwucyfrowe spełniające podane warunki.

Na podstawie treści zadania możemy ułożyć równanie z dwiema niewiadomymi:

$10 a + b = 10 b + a + 27$ ,

$a - b = 3$ ,

gdzie $a$ oznacza cyfrę dziesiątek, a $b$ cyfrę jedności.

Wypisz wszystkie pary liczb różniące się o $3$ i sprawdź, których z nich suma jest liczbą złożoną.

$63$ i $96$ .

Ćwiczenie 27

Dany jest układ równań:
$\{\begin{cases} 2 x - 7 y = - 3 \\ a x + b y = 9 \end{cases}$
z niewiadomymi $x$ i $y$ . Oblicz wartość wyrażenia $2 a + b$ , wiedząc, że układ ma jedno rozwiązanie $(x, y)$ takie, że $x - y = 1$ .

Parą spełniającą podany układ równań jest $(2, 1)$ . Podstaw podane wartości do układu równań i wyznacz wartość wyrażenia $2 a + b$ .

$2 a + b = 9$

Galeria zdjęć interaktywnych

Dla nauczyciela