Galeria zdjęć interaktywnych

Polecenie 1

Zapoznaj się uważnie galerię zdjęć interaktywnych. Pokazuje ona krok po kroku graficzny sposób rozwiązania podwójnej nierówności wymiernej. Warto zapamiętać, że niektóre zadania znacznie łatwiej rozwiązać graficznie, niż algebraicznie.

RGXhwNxOseP8x

Ilustracja interaktywna numer jeden. Rozwiąż nierówność

- 4 < \frac{- 4 x + 10}{x - 2} < 3 x - 9

, wykorzystując jej interpretację graficzną. Pokażemy, jak wykorzystując umiejętność sporządzania wykresów funkcji elementarnych, rozwiązać graficznie nierówność:

- 4 < \frac{- 4 x + 10}{x - 2} < 3 x - 9

. Określimy dziedzinę nierówności:

D = R ∖ {2}

. Wykonamy kolejno wykresy trzech funkcji:
• funkcji homograficznej

f (x) = \frac{- 4 x + 10}{x - 2}

• funkcji liniowej

g (x) = 3 x - 9

• oraz funkcji liniowej stałej

h (x) = - 4

RHeI65C62QgMO

Ilustracja interaktywna numer dwa. Aby naszkicować wykres funkcji homograficznej należy przekształcić jej wzór do postaci kanonicznej

f (x) = \frac{a}{x - p} + q

. W pierwszym kroku w liczniku wyłączamy przed nawias liczbę minus cztery, a w nawiasie wpisujemy wyrażenie z mianownika, czyli iks odjąć dwa. Następnie za nawiasem dodajemy dwa, aby licznik był równoważny wyrażeniu pierwotnemu, czyli minus cztery iks dodać dziesięć. drugim kroku rozbijamy otrzymany ułamek na dwa ułamki o mianownikach iks odjąć dwa i zauważamy, że pierwszy z ułamków możemy skrócić przez to właśnie wyrażenie. W trzecim kroku porządkujemy wzór doprowadzając go do postaci kanonicznej.

\frac{2}{x - 2} - 4

R1J2Wf26lhlNv

Ilustracja interaktywna numer trzy. Z otrzymanej postaci kanonicznej

f (x) = \frac{2}{x - 2} - 4

uzyskujemy informacje, że wykres funkcji

f (x)

otrzymamy przez przesunięcie wykresu funkcji

y = \frac{2}{x}

o wektor

\vec{u} = [2, - 4]

. Wyznaczamy równania asymptot wykresu funkcji: asymptota pionowa

x = 2

oraz pozioma

y = - 4

. Sporządzamy tabelę argumentów i wartości dla funkcji

y = \frac{2}{x}

. Tabela składa się z dwóch wierszy i siedmiu kolumn. W pierwszym wierszu pierwsza kolumna znajduje się x, idąc w prawo, kolumna druga, minus cztery, kolumna trzecia, minus dwa, kolumna czwarta, minus jeden, kolumna piąta, jeden, kolumna szósta, dwa, kolumna siódma cztery. W drugim wierszu kolumnie pierwszej znajduje się y. Idąc dalej w prawo, kolumna druga, minus jedna druga, kolumna trzecia, minus jeden, kolumna czwarta, minus dwa, kolumna piąta, dwa, kolumna szósta, jeden, kolumna siódma, jedna druga.

R1BESHUreNWmp

lustracja interaktywna numer cztery. Na podstawie tabeli sporządzamy wykres funkcji

y = \frac{2}{x}

. Zaznaczamy asymptoty wykresu funkcji:

x = 2

oraz

y = - 4

. Przesuwamy wykres funkcji

y = \frac{2}{x}

o wektor

\vec{u} = [2, - 4]

, otrzymując wykres funkcji

f (x) = \frac{2}{x - 2} - 4

. Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus sześciu do ośmiu oraz pionową oś Y od minus dziewięciu do sześciu. Zaznaczono wykres funkcji homograficznej f oraz jej dwie asymptoty. Pierwsza pozioma h o równaniu y równa się minus cztery, druga pionowa o równaniu y równa się dwa. Funkcja f przechodzi przez następujące punkty, nawias zero średnik minus pięć koniec nawiasu, nawias jeden średnik minus sześć koniec nawiasu, nawias trzy średnik minus dwa koniec nawiasu oraz nawias cztery średnik minus trzy koniec nawiasu.

RPzWGgICNhGOK

Ilustracja interaktywna numer pięć. Rysujemy wykresy funkcji liniowych

g (x) = 3 x - 9

oraz

h (x) = - 4

. Przyjrzyjmy się teraz, która część wykresu

f (x)

znajduje się powyżej zielonej linii będącej wykresem funkcji

h (x)

, a jednocześnie poniżej granatowej linii będącej wykresem funkcji

g (x)

. Pozostaje jeszcze obliczyć odciętą punktu P przecięcia wykresów funkcji

f (x)

g (x)

. Ilustracja z poprzedniego slajdu. Poprowadzono prostą g o równaniu y równa się trzy x minus dziewięć i przecina ona funkcje f w dwóch punktach, punkcie nawias jeden średnik minus sześć koniec nawiasu oraz w punkcie P o współrzędnych nawias trzy średnik minus jeden koniec nawiasu.

R1PLZV3su9Y2V

RAcIQuwxOZcWM

Polecenie 2

Rysunek przedstawia wykresy trzech funkcji: $f (x) = \frac{2}{x - 2} - 4$ , $g (x) = 3 x - 9$ oraz $h (x) = - 4$ .

Na jego podstawie zapisz co najmniej dwie (inne niż w Poleceniu $1$ ) nierówności oraz odczytaj ich rozwiązania z załączonego wykresu.

Na jego podstawie zapisz co najmniej dwie (inne niż w Poleceniu $1$ ) nierówności oraz zapoznaj się z opisem poniższego wykresu.

R1AGccTj6tjnr

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus sześciu do sześciu oraz pionową oś Y od minus jedenastu do czterech. Na rysunku zaznaczono także dwie funkcje liniowe, pierwsza funkcja h o równaniu y równa się minus cztery oraz druga funkcja g o równaniu y równa się trzy x odjąć dziewięć. Zaznaczono także funkcję homograficzną f posiadającą dwie asymptoty, pierwsza pionowa o równaniu x równe dwa oraz druga pozioma zawierająca się w funkcji h. Punkt P jest punktem przecięcia się wykresów funkcji f i g, ma on współrzędne nawias osiem trzecich średnik minus jeden koniec nawiasu. Funkcja f przechodzi również przez punkty nawias zero średnik minus pięć koniec nawiasu, nawias jeden średnik minus sześć koniec nawiasu, nawias trzy średnik minus dwa koniec nawiasu oraz nawias cztery średnik minus trzy koniec nawiasu.

R1GmEdWX7asfR

Na przykład:

$3 x - 9 \leq \frac{2}{x - 2} - 4 < - 4 \Leftrightarrow x \in (- \infty, 1⟩$
$\frac{2}{x - 2} - 4 < 3 x - 9 \Leftrightarrow x \in (1, 2) \cup (\frac{8}{3}, \infty)$
$3 x - 9 < \frac{2}{x - 2} - 4 \Leftrightarrow x \in (- \infty, 1) \cup (2, \frac{8}{3})$
$3 x - 9 \leq \frac{2}{x - 2} - 4 \leq 0 \Leftrightarrow x \in (- \infty, 1⟩ \cup ⟨\frac{5}{2}, \frac{8}{3}⟩$
$- 4 < \frac{2}{x - 2} - 4 \leq 0 \Leftrightarrow x \in ⟨2 \frac{1}{2}, \infty)$

Polecenie 3

Rozwiąż graficznie nierówność podwójną $- 2 \leq \frac{2 x - 2}{x + 1} \leq 1$ .

Rozwiąż nierówność podwójną $- 2 \leq \frac{2 x - 2}{x + 1} \leq 1$ . Opisz krótko jak będzie przedstawiał się na płaszczyźnie wykres opisany tą nierównością.

Określamy dziedzinę nierówności: $D = ℝ ∖ \{- 1\}$ .

Przekształcamy wzór funkcji $f (x) = \frac{2 x - 2}{x + 1}$ do postaci kanonicznej:

$f (x) = \frac{2 x - 2}{x + 1} = \frac{2 (x + 1) - 4}{x + 1} = 2 - \frac{4}{x + 1} = - \frac{4}{x + 1} + 2$ .

Sporządzamy tabelę kilku argumentów i wartości dla funkcji $y = - \frac{4}{x}$ .

Argumenty i wartości funkcji
$x$	$- 4$	$- 2$	$- 1$	$1$	$2$	$4$
$y$	$1$	$2$	$4$	$- 4$	$- 2$	$- 1$

Rysujemy wykres funkcji $y = - \frac{4}{x}$ , asymptotę pionową $x = - 1$ oraz poziomą $y = 2$ .

Przesuwamy wykres funkcji $y = - \frac{4}{x}$ o wektor $\vec{u} = [- 1, 2]$ otrzymując wykres funkcji $f (x) = \frac{2 x - 2}{x + 1}$ .

R12iXPMoUjhz0

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus sześciu do sześciu oraz pionową oś Y od minus trzech do siedmiu. Na rysunku zaznaczono także wykres funkcji homograficznej f z dwoma asymptotami, pierwsza pozioma o równaniu y równa się dwa oraz druga pionowa o równaniu x równa się minus jeden. Funkcja f przechodzi przez punkty nawias minus pięć średnik trzy koniec nawiasu, nawias minus trzy średnik cztery koniec nawiasu, nawias minus dwa średnik sześć koniec nawiasu oraz nawias zero średnik minus dwa koniec nawiasu, nawias jeden średnik zero koniec nawiasu, nawias trzy średnik jeden koniec nawiasu.

Powyższy wykres uzupełniamy o wykresy funkcji stałych: $g (x) = - 2$ oraz $h (x) = 1$ .

RtnPMwpGmhjXl

Z wykresu odczytujemy rozwiązanie nierówności $- 2 \leq \frac{2 x - 2}{x + 1} \leq 1$ , wykorzystując fragment wykresu funkcji $f (x)$ położony „pomiędzy” liniami poziomymi $g (x) = - 2$ i $h (x) = 1$ , zaznaczone na rysunku kolorem żółtym: $x \in ⟨0, 3⟩$ .

R1OI7MnoHyIuZ

Polecenie 4

Rozwiąż graficznie nierówność $\frac{2}{x - 1} < |x - 2|$ .

Rozwiąż nierówność podwójną $\frac{2}{x - 1} < |x - 2|$ . Opisz krótko jak będzie przedstawiał się na płaszczyźnie wykres opisany tą nierównością.

W tym przykładzie można pominąć tworzenie nierówności podwójnej. Wystarczy bowiem posłużyć się wykresami dwóch funkcji: $f (x) = \frac{2}{x - 1}$ oraz $g (x) = |x - 2|$ . Dzięki temu znacznie skróci się czas rozwiązania zadania.

Określamy dziedzinę nierówności: $D = ℝ ∖ \{1\}$ .

Ponieważ wzór funkcji $f$ jest w postaci kanonicznej, tworzymy tabelę dla funkcji $y = \frac{2}{x}$

Argumenty i wartości funkcji
$x$	$- 4$	$- 2$	$- 1$	$1$	$2$	$4$
$y$	$- \frac{1}{2}$	$- 1$	$- 2$	$2$	$1$	$\frac{1}{2}$

Rysujemy wykres funkcji $y = \frac{2}{x}$ oraz asymptotę pionową $x = 1$ .

Przesuwamy wykres funkcji $y = \frac{2}{x}$ o wektor $\vec{u} = [1, 0]$ otrzymując wykres funkcji $f (x) = \frac{2}{x - 1}$ .

R5bPE9wNj1zEv

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus sześciu do sześciu oraz pionową oś Y od minus pięciu do pięciu. Na rysunku zaznaczono także wykres funkcji homograficznej f z pionową asymptotą o równaniu x równa się jeden. Funkcja f przechodzi przez punkty, nawias minus jeden średnik minus jeden koniec nawiasu, nawias zero średnik minus dwa koniec nawiasu, nawias dwa średnik dwa koniec nawiasu, oraz nawias trzy średnik jeden koniec nawiasu.

W tym samym układzie współrzędnych rysujemy wykres funkcji $g (x) = |x - 2|$ .

R1F01305Iem3h

Zaznaczamy odpowiednie fragmenty wykresów funkcji, które odpowiadają nierówności $\frac{2}{x - 1} < |x - 2|$ oraz odczytujemy rozwiązanie z rysunku: $x \in (- \infty, 1) \cup (3, \infty)$ .

R1bUOWAKc4IsA

Przeczytaj

Sprawdź się