Przeczytaj

nierówność wymierna podwójna

Definicja: nierówność wymierna podwójna

Nierównością wymierną podwójną nazywamy taką nierówność, w zapisie której występują dwa symbole mniejszości/większości, jak w przykładzie:

$W_{1} (x) < W (x) < W_{2} (x)$ , gdzie wyrażenie środkowe $W (x)$ lub wyrażenia skrajne $W_{1} (x)$ oraz $W_{2} (x)$ są wyrażeniami wymiernymi. W szczególności wszystkie występujące w tym zapisie wyrażenia mogą być wyrażeniami wymiernymi. Oczywiście nierówność taka może zawierać jeden lub oba „nieostre” symbole nierówności, tzn. $\leq$ .

Własności wartości bezwzględnej

Dla każdej liczby rzeczywistej $a > 0$ prawdziwe są nierówności:

$|x| < a \Leftrightarrow - a < x < a$
$|x| > a \Leftrightarrow [(x < - a) \lor (x > a)]$

Powyższe nierówności można zapisać za pomocą przedziałów liczbowych:

$|x| < a \Leftrightarrow x \in (- a; a)$
$|x| > a \Leftrightarrow x \in (- \infty, - a) \cup (a; \infty)$

Nierówności te można także przedstawić graficznie.

R15ijZ4gkZz1U

Ilustracja przedstawia poziomą oś X oraz pionową oś Y. Na układzie współrzędnych zaznaczono także wykres funkcji y=x oraz wykres funkcji y równa się a. Obie wykresu funkcji przecinają się w dwóch punktach. Punkty te zostały zrzutowane na oś X. Pierwszy punkt ma wartość minus a, drugi natomiast ma wartość a. Na osi X zaznaczono również przedziały. Przedział pierwszy po lewej od punktu minus a, x<-a. Przedział drugi pomiędzy minus a i a, -a<x<a. Trzeci ostatni przedział po prawej stronie punktu a, x>a.

Przykład 1

Rozwiążemy nierówność podwójną: $- 2 \leq \frac{2 x - 2}{x + 1} \leq 1$ .

Rozwiązanie

Kolejne kroki rozwiązania
Określamy dziedzinę nierówności: $D = ℝ ∖ \{- 1\}$ .
Nierówność podwójną zapisujemy w postaci koniunkcji dwóch nierówności:
$- 2 \leq \frac{2 x - 2}{x + 1}$	$⋀$	$\frac{2 x - 2}{x + 1} \leq 1$
Rozwiązujemy każdą z nierówności niezależnie. Mówimy, że rozwiązujemy układ nierówności.
$- 2 \leq \frac{2 x - 2}{x + 1}$	$⋀$	$\frac{2 x - 2}{x + 1} \leq 1$
$0 \leq \frac{2 x - 2}{x + 1} + 2$	$⋀$	$\frac{2 x - 2}{x + 1} - 1 \leq 0$
$\frac{2 x - 2}{x + 1} + \frac{2 (x + 1)}{x + 1} \geq 0$	$⋀$	$\frac{2 x - 2}{x + 1} - \frac{x + 1}{x + 1} \leq 0$
$\frac{2 x - 2 + 2 x + 2}{x + 1} \geq 0$	$⋀$	$\frac{2 x - 2 - x - 1}{x + 1} \leq 0$
$\frac{4 x}{x + 1} \geq 0$	$⋀$	$\frac{x - 3}{x + 1} \leq 0$
$4 x (x + 1) \geq 0$	$⋀$	$(x - 3) (x + 1) \leq 0$
$x_{1} = 0$ , $x_{2} = - 1$	$⋀$	$x_{1} = 3$ , $x_{2} = - 1$
R1UlbTcZ7c3AC	$⋀$	RODrbFhcnRp7u
$x \in (- \infty, - 1) \cup ⟨0, \infty)$	$⋀$	$x \in (- 1, 3⟩$
KoniunkcjakoniunkcjaKoniunkcja dwóch zdań jest zdaniem prawdziwym wtedy i tylko wtedy, gdy oba zdania są zdaniami prawdziwymi. Użycie spójnika logicznego i $(\land)$ między dwiema nierównościami oznacza więc konieczność spełnienia obydwu nierówności jednocześnie. Zatem nierówność podwójna ma rozwiązanie będące iloczynem (częścią wspólną) rozwiązań nierówności składowych, tzn.
R16y4wfQyySNh
Odpowiedź: $x \in ⟨0, 3⟩$ .

Przykład 2

Rozwiążemy nierówność podwójną: $\frac{x}{x - 1} < x < \frac{x}{x + 1}$ .

Rozwiązanie

Kolejne kroki rozwiązania
Określamy dziedzinę nierówności: $D = ℝ ∖ \{- 1, 1\}$ .
Nierówność podwójną zapisujemy w postaci koniunkcji dwóch nierówności i rozwiązujemy układ nierówności:
$\frac{x}{x - 1} < x / \cdot {(x - 1)}^{2}$	$⋀$	$x < \frac{x}{x + 1} / \cdot {(x + 1)}^{2}$
Rozwiązujemy układ nierówności:
$x (x - 1) < x {(x - 1)}^{2}$	$⋀$	$x {(x + 1)}^{2} < x (x + 1)$
$x (x - 1) - x {(x - 1)}^{2} < 0$	$⋀$	$x {(x + 1)}^{2} - x (x + 1) < 0$
$x (x - 1) (1 - x + 1) < 0$	$⋀$	$x (x + 1) (x + 1 - 1) < 0$
$x (x - 1) (2 - x) < 0$	$⋀$	$x^{2} (x + 1) < 0$
$x_{1} = 0$ , $x_{2} = 1$ , $x_{3} = 2$	$⋀$	$x_{1} = 0$ , $x_{2} = - 1$
RU1P8lkB0zimp	$⋀$	R1AE1ksO1yEns
$x \in (0, 1) \cup (2, \infty)$	$⋀$	$x \in (- \infty, - 1)$
Wskazujemy iloczyn rozwiązań dwóch nierównościiloczyn dwóch zbiorówiloczyn rozwiązań dwóch nierówności:
RxRaMZ6dBV25r
Odpowiedź: $x \in \{\emptyset\}$ – nierówność jest sprzeczna.

Przykład 3

Rozwiążemy nierówność: $|\frac{x}{x^{2} - 1}| \leq 2$ .

Rozwiązanie

Z własności wartości bezwzględnej wiemy, że wyjściowa nierówność jest równoważna nierówności podwójnej: $- 2 \leq \frac{x}{x^{2} - 1} \leq 2$ .

Kolejne kroki rozwiązania
Określamy dziedzinę nierówności: $D = ℝ ∖ \{- 1, 1\}$ .
Nierówność podwójną zapisujemy w postaci koniunkcji dwóch nierówności i rozwiązujemy układ nierówności:
$- 2 \leq \frac{x}{x^{2} - 1}$	$⋀$	$\frac{x}{x^{2} - 1} \leq 2$
$\frac{x}{x^{2} - 1} + 2 \geq 0$	$⋀$	$\frac{x}{x^{2} - 1} - 2 \leq 0$
$\frac{x}{x^{2} - 1} + \frac{2 (x^{2} - 1)}{x^{2} - 1} \geq 0$	$⋀$	$\frac{x}{x^{2} - 1} - \frac{2 (x^{2} - 1)}{x^{2} - 1} \leq 0$
$\frac{x + 2 x^{2} - 2}{x^{2} - 1} \geq 0$	$⋀$	$\frac{x - 2 x^{2} + 2}{x^{2} - 1} \leq 0$
$\frac{2 x^{2} + x - 2}{x^{2} - 1} \geq 0$	$⋀$	$\frac{- 2 x^{2} + x + 2}{x^{2} - 1} \leq 0$
$(2 x^{2} + x - 2) (x^{2} - 1) \geq 0$	$⋀$	$(- 2 x^{2} + x + 2) (x^{2} - 1) \leq 0$
$Δ = 1 + 16 = 17$ $x_{1} = \frac{- 1 - \sqrt{17}}{4}$ , $x_{2} = \frac{- 1 + \sqrt{17}}{4}$ $x_{3} = - 1$ , $x_{4} = 1$	$⋀$	$Δ = 1 + 16 = 17$ $x_{1} = \frac{1 + \sqrt{17}}{4}$ , $x_{2} = \frac{1 - \sqrt{17}}{4}$ $x_{3} = - 1$ , $x_{4} = 1$
RnADkoWrEzO4r	$⋀$	R1V12PnMtJ4Gp
$x \in (- \infty, \frac{- 1 - \sqrt{17}}{4}⟩$ $\cup (- 1, \frac{- 1 + \sqrt{17}}{4}⟩$ $\cup (1, \infty)$	$⋀$	$x \in (- \infty, - 1)$ $\cup ⟨\frac{1 - \sqrt{17}}{4}, 1)$ $\cup ⟨\frac{1 + \sqrt{17}}{4}, \infty)$
R2rwYh35rQex7 Uwaga: To zadanie wymaga szczególnej uwagi w zakresie szacowania miejsc zerowych będących liczbami niewymiernymi.
Odpowiedź: $x \in (- \infty, \frac{- 1 - \sqrt{17}}{4}⟩ \cup ⟨\frac{1 - \sqrt{17}}{4}, \frac{- 1 + \sqrt{17}}{4}⟩ \cup ⟨\frac{1 + \sqrt{17}}{4}, \infty)$ .

Słownik

koniunkcja

to zdanie złożone z dwóch zdań połączonych spójnikiem logicznym $i$ . Spójnik logiczny $i$ w matematyce oznacza się symbolem $\land$ . Koniunkcję zdań $p$ i $q$ zapisujemy tak: $p \land q$

iloczyn dwóch zbiorów

to zbiór elementów należących jednocześnie do obu zbiorów

Wprowadzenie

Galeria zdjęć interaktywnych

Własności wartości bezwzględnej

Słownik