Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

R1Xl1CI72U3JE1

Ćwiczenie 1

Dziedziną podwójnej nierówności wymiernej $\frac{x - 2}{x + 4} \leq 0 \leq \frac{x - 3}{x^{2} - 4}$ jest zbiór:

$ℝ ∖ "{"- 4, - 2, 2"}"$
$ℝ ∖ "{"2, 3"}"$
$ℝ ∖ "{"- 4, 4, 2, 3"}"$
$ℝ ∖ "{"- 4, - 2, 2, 3"}"$

Ćwiczenie 2

Rysunek przedstawia graficzną ilustrację nierówności.

RqpxvZI9Dmrj3

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus trzech od dziewięciu oraz pionową oś Y od minus dwóch do sześciu. Na układzie współrzędnych zaznaczono wykresy dwóch prostych o równaniu g równa się cztery oraz h równa się jeden, a także wykres funkcji homograficznej f z asymptotami o równaniach y równa się dwa, x równa się pięć. Funkcja homograficzna przecina funkcję h w punkcie nawias jeden średnik jeden koniec nawiasu oraz z funkcją g w punkcie nawias siedem średnik cztery koniec nawiasu. Funkcja f przechodzi również przez punkty nawias trzy średnik zero koniec nawiasu oraz nawias dziewięć średnik trzy koniec nawiasu.

RJauJVSi56ik1

RRBB6A8AcqWnn2

Ćwiczenie 3

Rozwiązaniem nierówności $"|"\frac{2 x - 5}{x + 1}"|" \leq 2$ jest zbiór:

$"⟨"\frac{3}{4}, \infty)$
$(- \infty, - 1) \cup "⟨"\frac{3}{4}, \infty)$
$(- \infty, - 1)$
$(- 1, \infty)$

Ćwiczenie 4

RFD3WmlThFFrm2

Ile liczb naturalnych spełnia nierówność $0 < \frac{3}{8 - x} \leq \frac{1}{x}$ ? Uzupełnij odpowiedź przeciągając odpowiednią liczbę.

$1$ , $5$ , $0$ , $4$ , $3$ , $2$

Odpowiedź: ............

Kolejne kroki rozwiązania
Określamy dziedzinę nierówności: $D = ℝ ∖ \{0, 8\}$ .
Nierówność podwójną zapisujemy w postaci koniunkcji dwóch nierówności i rozwiązujemy układ nierówności:
$\frac{3}{8 - x} > 0$	$\land$	$\frac{3}{8 - x} \leq \frac{1}{x}$
$8 - x > 0$	$\land$	$\frac{3}{8 - x} - \frac{1}{x} \leq 0$
$x < 8$	$\land$	$\frac{3 x}{x (8 - x)} - \frac{8 - x}{x (8 - x)} \leq 0$
$x \in (- \infty, 8)$	$\land$	$\frac{3 x - 8 + x}{x (8 - x)} \leq 0$
$x \in (- \infty, 8)$	$\land$	$\frac{4 x - 8}{x (8 - x)} \leq 0$
$x \in (- \infty, 8)$	$\land$	$(4 x - 8) x (8 - x) \leq 0$ $x (8 - x) (4 x - 8) \leq 0$
$x \in (- \infty, 8)$	$\land$	$x_{1} = 0$ , $x_{2} = 8$ , $x_{3} = 2$
$x \in (- \infty, 8)$	$\land$	R1I2LtvB5ho9O
$x \in (- \infty, 8)$	$\land$	$x \in (0, 2⟩ \cup (8, \infty)$
Wskazujemy iloczyn rozwiązań dwóch nierówności:
R3EkUzrA51u1m
Formułujemy odpowiedź: $x \in (0, 2 ⟩$ , zatem są dwie liczby naturalne spełniające nierówność.

RfsevkQXg3Bke2

Ćwiczenie 5

Połącz nierówność z jej zbiorem rozwiązań.

0 \leq \frac{2 x - 1}{2 x + 1} \leq 1

Możliwe odpowiedzi: 1.

x \in \{1\} \cup ⟨2, \infty)

, 2.

x \in (- \infty, 1)

, 3.

x \in (- 2, - 1)

, 4.

x \in ⟨\frac{1}{2}, \infty)

|\frac{x}{x - 2}| < 1

Możliwe odpowiedzi: 1.

x \in \{1\} \cup ⟨2, \infty)

, 2.

x \in (- \infty, 1)

, 3.

x \in (- 2, - 1)

, 4.

x \in ⟨\frac{1}{2}, \infty)

4 x < \frac{4}{x} < x

Możliwe odpowiedzi: 1.

x \in \{1\} \cup ⟨2, \infty)

, 2.

x \in (- \infty, 1)

, 3.

x \in (- 2, - 1)

, 4.

x \in ⟨\frac{1}{2}, \infty)

1 \leq \frac{x^{2} + 2}{3 x} \leq x

Możliwe odpowiedzi: 1.

x \in \{1\} \cup ⟨2, \infty)

, 2.

x \in (- \infty, 1)

, 3.

x \in (- 2, - 1)

, 4.

x \in ⟨\frac{1}{2}, \infty)

Połącz nierówność z jej zbiorem rozwiązań:

$0 \leq \frac{2 x - 1}{2 x + 1} \leq 1$
$"\|"\frac{x}{x - 2}"\|" < 1$
$4 x < \frac{4}{x} < x$
$1 \leq \frac{x^{2} + 2}{3 x} \leq x$

Ćwiczenie 6

Rysunek przedstawia wykresy dwóch funkcji: $f (x) = \frac{2}{|x| - 2}$ oraz $g (x) = 2 |x| - 4$ .

RGQsJk7NWfR0X

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus sześciu do sześciu oraz pionową oś Y od pięciu do czterech. Na układzie współrzędnych zaznaczono także wykresy dwóch funkcji, funkcji g oraz funkcji f. Obie funkcje przecinają się w punktach nawias minus trzy średnik dwa koniec nawiasu, nawias minus jeden średnik minus dwa koniec nawiasu, nawias jeden średnik minus dwa koniec nawiasu oraz nawias trzy średnik dwa koniec nawiasu. Funkcja g przechodzi również przez punkt nawias zero średnik minus cztery koniec nawiasu i ma dwa miejsca zerowe. Pierwsze w punkcie nawias minus dwa średnik zero koniec nawiasu i drugie w punkcie nawias dwa średnik zero koniec nawiasu. Funkcja f nie ma miejsc zerowych lecz ma dwie asymptoty o równaniach x równa się minus dwa i x równa się dwa. Funkcja ta przechodzi przez punkty nawias minus cztery średnik jeden koniec nawiasu, nawias zero średnik minus jeden koniec nawiasu oraz nawias cztery średnik jeden koniec nawiasu.

RWJ4LbKl1NeN2

Zaznacz wszystkie poprawne stwierdzenia:

$"|"f (x)"|" \leq 0,5$ dla $x \in (- \infty, - 4 ⟩ \cup ⟨ 4, \infty)$
$- 1 < f (x) < 0$ dla $x \in "{"\emptyset"}"$
$0 < f (x) \leq 2$ dla $x \in (- \infty, - 3 ⟩ \cup ⟨ 3, \infty)$
$- 2 < f (x) < - 1$ dla $x \in ⟨ - 1, 1 ⟩$
$0 < f (x) < g (x)$ dla $x \in (- \infty, - 3) \cup (3, \infty)$
$g (x) < f (x) < - 1$ dla $x \in (- 1, 0) \cup (0, 1)$
$g (x) < f (x) < 4$ dla $x \in (- 3, - 2) \cup (2, 3)$
$- 4 \leq g (x) \leq f (x)$ dla $x \in ⟨ - 1, 1 ⟩ \cup ⟨ - 3, - 2 ⟩ \cup ⟨ 2, 3 ⟩$

Ćwiczenie 7

Dana jest funkcja $f (x) = \frac{2 x + 2}{x - 1}$ . Rozwiąż algebraicznie i graficznie nierówność: $- 2 \leq f (x - 1) \leq x$ .

Rozwiązanie algebraiczne
Budujemy wzór funkcji $f (x - 1) = \frac{2 (x - 1) + 2}{x - 1 - 1} = \frac{2 x - 2 + 2}{x - 2} = \frac{2 x}{x - 2}$ .
$- 2 \leq \frac{2 x}{x - 2} \leq x$
Określamy dziedzinę nierówności: $D = ℝ ∖ \{2\}$ .
Nierówność podwójną zapisujemy w postaci koniunkcji dwóch nierówności i rozwiązujemy układ nierówności:
$- 2 \leq \frac{2 x}{x - 2}$	$\land$	$\frac{2 x}{x - 2} \leq x$
$\frac{2 x}{x - 2} + 2 \geq 0$	$\land$	$\frac{2 x}{x - 2} - x \leq 0$
$\frac{2 x}{x - 2} + \frac{2 (x - 2)}{x - 2} \geq 0$	$\land$	$\frac{2 x}{x - 2} - \frac{x (x - 2)}{x - 2} \leq 0$
$\frac{2 x + 2 x - 4}{x - 2} \geq 0$	$\land$	$\frac{2 x - x^{2} + 2 x}{x - 2} \leq 0$
$\frac{4 x - 4}{x - 2} \geq 0$	$\land$	$\frac{4 x - x^{2}}{x - 2} \leq 0$
$4 (x - 1) (x - 2) \geq 0$	$\land$	$x (4 - x) (x - 2) \leq 0$
$x_{1} = 1$ , $x_{2} = 2$	$\land$	$x_{1} = 0$ , $x_{2} = 4$ , $x_{3} = 2$
R19dzLn2wPl7W	$\land$	Rri1MCd5KySMN
$x \in (- \infty, 1⟩ \cup (2, \infty)$	$\land$	$x \in ⟨0, 2) \cup ⟨4, \infty)$
Wskazujemy iloczyn rozwiązań dwóch nierówności:
RpHW1G7SEmyMT
Formułujemy odpowiedź: $x \in ⟨0, 1⟩ \cup ⟨4, \infty)$ .

Rozwiązanie graficzne:

$- 2 \leq \frac{2 x}{x - 2} \leq x$

Przekształcamy wzór funkcji $f (x) = \frac{2 x}{x - 2}$ do postaci kanonicznej:

$f (x) = \frac{2 x}{x - 2} = \frac{2 (x - 2) + 4}{x - 2} = \frac{4}{x - 2} + 2$ .

Sporządzamy tabelę argumentów i wartości dla funkcji $y = \frac{4}{x}$ .

Argumenty i wartości funkcji
$x$	$- 4$	$- 2$	$- 1$	$1$	$2$	$4$
$y$	$- 1$	$- 2$	$- 4$	$4$	$2$	$1$

W układzie współrzędnych rysujemy wykres funkcji $y = \frac{4}{x}$ , asymptotę pionową $x = 2$ oraz poziomą $y = 2$ . Przesuwamy wykres funkcji $y = \frac{4}{x}$ o wektor $\vec{u} = [2, 2]$ otrzymując wykres funkcji $f (x) = \frac{2 x}{x - 2}$ .

Następnie w tym samym układzie współrzędnych rysujemy proste o równaniach: $g (x) = - 2$ oraz $h (x) = x$ .

R14NZTwhVDOBg

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus sześciu do sześciu oraz pionową oś Y od minus pięciu do czterech. Na układzie współrzędnych zaznaczono także wykresy dwóch funkcji liniowych, pierwsza h o równaniu y równa się x oraz druga g o równaniu y równa się minus dwa. Na rysunku zaznaczono również funkcję homograficzną f posiadającą dwie asymptoty o równaniu, pierwsza y równa się dwa oraz druga x równa się dwa. Funkcja f przecina funkcję h w punktach nawias minus dwa średnik minus dwa koniec nawiasu, nawias cztery średnik cztery koniec nawiasu oraz funkcję g w punkcie nawias jeden średnik minus dwa koniec nawiasu. Funkcja f przechodzi również przez punkty nawias minus dwa średnik jeden koniec nawiasu, nawias zero średnik zero koniec nawiasu, nawias sześć średnik trzy koniec nawiasu.

Zaznaczamy te części wykresu funkcji $f (x)$ , które znajdują się „pomiędzy” wykresami dwóch pozostałych funkcji (kolor żółty), a następnie odczytujemy zbiory argumentów spełniających badaną nierówność:

$x \in ⟨0, 1⟩ \cup ⟨4, \infty)$ .

R1bVkNnf2nEjP

Ćwiczenie 8

Uzasadnij, że żadna liczba ujemna nie spełnia nierówności: $|\frac{x^{2} - 5 x + 4}{x^{2} - 4}| \leq 1$ .

Kolejne kroki rozwiązania
Określamy dziedzinę nierówności: $D = ℝ ∖ \{- 2, 2\}$
Zapisujemy nierówność podwójną: $- 1 \leq \frac{x^{2} - 5 x + 4}{x^{2} - 4} \leq 1$
Nierówność podwójną zapisujemy w postaci koniunkcji dwóch nierówności i rozwiązujemy układ nierówności:
$- 1 \leq \frac{x^{2} - 5 x + 4}{x^{2} - 4}$	$\land$	$\frac{x^{2} - 5 x + 4}{x^{2} - 4} \leq 1$
$\frac{x^{2} - 5 x + 4}{x^{2} - 4} + 1 \geq 0$	$\land$	$\frac{x^{2} - 5 x + 4}{x^{2} - 4} - 1 \leq 0$
$\frac{x^{2} - 5 x + 4}{x^{2} - 4} + \frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 4} \geq 0$	$\land$	$\frac{x^{2} - 5 x + 4}{x^{2} - 4} - \frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 4} \leq 0$
$\frac{x^{2} - 5 x + 4 + x^{2} - 4}{x^{2} - 4} \geq 0$	$\land$	$\frac{x^{2} - 5 x + 4 - x^{2} + 4}{x^{2} - 4} \leq 0$
$\frac{2 x^{2} - 5 x}{x^{2} - 4} \geq 0$	$\land$	$\frac{- 5 x + 8}{x^{2} - 4} \leq 0$
$(2 x^{2} - 5 x) (x^{2} - 4) \geq 0$	$\land$	$(- 5 x + 8) (x^{2} - 4) \leq 0$
$x (2 x - 5) (x - 2) (x + 2) \geq 0$	$\land$	$(- 5 x + 8) (x - 2) (x + 2) \leq 0$
$x_{1} = 0$ , $x_{2} = \frac{5}{2}$ , $x_{3} = 2$ , $x_{4} = - 2$	$\land$	$x_{1} = \frac{8}{5}$ , $x_{2} = 2$ , $x_{3} = - 2$
RBxdjtQIVcAPA	$\land$	RNW78FdmXDgBG
$x \in (- \infty, - 2) \cup ⟨0, 2) \cup ⟨\frac{5}{2}, \infty)$	$\land$	$x \in (- 2, \frac{8}{5}⟩ \cup (2, \infty)$
Wyznaczamy iloczyn rozwiązań dwóch nierówności:
R1cMIj1ozJ2UE
Formułujemy rozwiązanie nierówności: $x \in ⟨0, \frac{8}{5}⟩ \cup ⟨\frac{5}{2}, \infty)$ .
Uzasadniliśmy tym samym, że żadna liczba ujemna nie spełnia danej nierówności.

Galeria zdjęć interaktywnych

Dla nauczyciela