Galeria zdjęć interaktywnych

Polecenie 1

Zapoznaj się uważnie z galerią zdjęć interaktywnych. Zostało tam przedstawione twierdzenia Stolza, które ma zastosowanie w przypadku pewnych ciągów o wzorze zawierających sumy elementów.

R1Vj2atXtbXaU

RekYgdeEyg9r4

Ilustracja druga. Napis, obliczamy granicę ciągu,

a_{n} = \frac{2 + 7 + \dots + (5 \cdot n - 3)}{3 + 10 + \dots + (7 \cdot n - 4)}

. Punkt pierwszy, Niech

x_{n} = 2 + 7 + \dots (5 \cdot n - 3)

y_{n} = 3 + 10 + \dots (7 \cdot n - 4)

. Ciąg

(y_{n})

jest rosnący i rozbieżny do

+ \infty

, Punkt drugi,

\lim_{n \to \infty} \frac{x_{n} - x_{n - 1}}{y_{n} - y_{n - 1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{5 \cdot n - 3}{7 \cdot n - 4} = \frac{5}{7}

. 2. Obliczamy granicę ciągu

\frac{x_{n} - x_{n - 1}}{y_{n} - y_{n - 1}}

podanego w założeniach twierdzenia Stolza,

\lim_{n \to \infty} \frac{2 + 7 + \dots + (5 \cdot n - 3)}{3 + 10 + \dots + (7 \cdot n - 4)} = \frac{5}{7}

. 3. Korzystamy z twierdzenia Stolza.

R1DYxPWNKy3NG

Ilustracja trzecia, napis. Obliczamy granicę ciągu,

b_{n} = \frac{1^{2} + 2^{2} + \dots + n^{2}}{n^{3}}

. >. Punkt pierwszy, niech

x_{n} = 1^{2} + 2^{2} + \dots + n^{2}

y_{n} = n^{3}

. 1. Ciąg

(y_{n})

jest rosnący i rozbieżny do

+ \infty

., Punkt drugi,

\lim_{n \to \infty} \frac{x_{n} - x_{n - 1}}{y_{n} - y_{n - 1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^{2}}{n^{3} - {(n - 1)}^{3}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^{2}}{3 \cdot n^{2} - 3 \cdot n + 1} = \frac{1}{3}

. 2. Obliczamy granicę ciągu

\frac{x_{n} - x_{n - 1}}{y_{n} - y_{n - 1}}

podanego w założeniach twierdzenia Stolza., Punkt trzeci,

\lim_{n \to \infty} \frac{1^{2} + 2^{2} + \dots + n^{2}}{n^{3}} = \frac{1}{3}

. 3. Korzystamy z twierdzenia Stolza.

R1LjpHzXpopkN

Ilustracja czwarta. Napis, obliczamy granicę ciągu,

c_{n} = \frac{1}{\sqrt{n}} (1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n}})

. Punkt pierwszy, niech

x_{n} = 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n}}

oraz

y_{n} = \sqrt{n}

. 1. Ciąg

(y_{n})

jest rosnący i rozbieżny do

+ \infty

\lim_{n \to \infty} = \frac{x_{n} - x_{n - 1}}{y_{n} - y_{n - 1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{\sqrt{n}}}{\sqrt{n} - \sqrt{n - 1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n} (\sqrt{n} - \sqrt{n - 1})} = \lim_{n \to \infty} \frac{(\sqrt{n} + \sqrt{n - 1})}{\sqrt{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{1} + \sqrt{1 - \frac{1}{n}}}{\sqrt{1}} = 2

2. Obliczamy granicę ciągu

\frac{x_{n} - x_{n - 1}}{y_{n} - y_{n - 1}}

podanego w założeniach twierdzenia Stolza.,

\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} (1 + \frac{1}{\sqrt{n}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n}}) = 2

3. Korzystamy z twierdzenia Stolza.

RWYCGxdoEVerc

Polecenie 2

Udowodnij, że $\lim_{n \to \infty} \frac{1^{3} + 2^{3} + \dots + n^{3}}{n^{4}} = \frac{1}{4}$ .

Niech $x_{n} = 1^{3} + 2^{3} + \dots + n^{3}$ i $y_{n} = n^{4}$ . Ciąg $(y_{n})$ jest rosnący i rozbieżny do $+ \infty$ .

$\lim_{n \to \infty} \frac{x_{n} - x_{n - 1}}{y_{n} - y_{n - 1}} =$

$= \lim_{n \to \infty} \frac{n^{3}}{n^{4} - {(n - 1)}^{4}} =$

$= \lim_{n \to \infty} \frac{n^{3}}{n^{4} - (n^{4} - 4 n^{3} + 6 n^{2} - 4 n + 1)} =$

$= \lim_{n \to \infty} \frac{n^{3}}{4 n^{3} - 6 n^{2} + 4 n - 1} = \frac{1}{4}$

Na podstawie twierdzenia Stolza otrzymujemy

$\lim_{n \to \infty} \frac{1^{3} + 2^{3} + \dots + n^{3}}{n^{4}} = \frac{1}{4}$ ,

co kończy dowód.

Przeczytaj

Sprawdź się