Ilustracja pierwsza. Napis, twierdzenie Stolza. Jeżeli dane są dwa ciągi $\left\{x_n\right\}$, $\left\{y_n\right\}$ przy czym. Punkt pierwszy $\left\{y_n\right\}$ jest ściśle rosnącym. Punkt drugi, $\underset{n\to \infty }{\lim }y=+\infty$. Punkt trzeci, istnieje $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}=g$. To $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{x_n}{y_n}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{{\displaystyle x_n-x_{n-1}}}{{\displaystyle y_n-y_{n-1}}}=g$. Lektor czyta, twierdzenie Stolza

Ilustracja druga. Napis, obliczamy granicę ciągu, $a_n=\frac{2+7+\dots +\left(5·n-3\right)}{3+10+\dots +\left(7·n-4\right)}$. Punkt pierwszy, Niech $x_n=2+7+\dots \left(5·n-3\right)$ i $y_n=3+10+\dots \left(7·n-4\right)$. Ciąg $\left(y_n\right)$ jest rosnący i rozbieżny do $+\infty$, Punkt drugi, $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{5·n-3}{7·n-4}=\frac{5}{7}$. 2. Obliczamy granicę ciągu $\frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}$ podanego w założeniach twierdzenia Stolza,$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{2+7+\dots +\left(5·n-3\right)}{3+10+\dots +\left(7·n-4\right)}=\frac{5}{7}$. 3. Korzystamy z twierdzenia Stolza.

Ilustracja trzecia, napis. Obliczamy granicę ciągu, $b_n=\frac{1^2+2^2+\dots +n^2}{n^3}$. >. Punkt pierwszy, niech $x_n=1^2+2^2+\dots +n^2$ i $y_n=n^3$. 1. Ciąg $\left(y_n\right)$ jest rosnący i rozbieżny do $+\infty$., Punkt drugi, $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n^2}{n^3-{\left(n-1\right)}^3}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n^2}{3·n^2-3·n+1}=\frac{1}{3}$. 2. Obliczamy granicę ciągu $\frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}$ podanego w założeniach twierdzenia Stolza., Punkt trzeci, $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1^2+2^2+\dots +n^2}{n^3}=\frac{1}{3}$. 3. Korzystamy z twierdzenia Stolza.

Ilustracja czwarta. Napis, obliczamy granicę ciągu, $c_n=\frac{1}{\sqrt{n}}\left(1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\dots +\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$. Punkt pierwszy, niech $x_n=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\dots +\frac{1}{\sqrt{n}}$ oraz $y_n=\sqrt{n}$. 1. Ciąg $\left(y_n\right)$ jest rosnący i rozbieżny do $+\infty$., $\underset{n\to \infty }{\lim }=\frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}}}}{\sqrt{n}-\sqrt{n-1}}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{\sqrt{n}\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\left(\sqrt{n}+\sqrt{n-1}\right)}{\sqrt{n}}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\sqrt{1}+\sqrt{1-{\displaystyle \frac{1}{n}}}}{\sqrt{1}}=2$ 2. Obliczamy granicę ciągu $\frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}$ podanego w założeniach twierdzenia Stolza., $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{\sqrt{n}}\left(1+\frac{1}{\sqrt{n}}+\dots +\frac{1}{\sqrt{n}}\right)=2$ 3. Korzystamy z twierdzenia Stolza.

Ilustracja piąta. Napis, Udowodnimy, że jeżeli $\underset{n\to \infty }{\lim }{d}_n=4$, to $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{d_1+d_2+\dots +d_n}{n}=4$. Napis Dowód. Punkt pierwszy, niech $x_n=d_1+d_2+\dots +d_n$ oraz $y_n=n$. 1. Ciąg $\left(y_n\right)$ jest rosnący i rozbieżny do $+\infty$., Punkt drugi. $\underset{n\to \infty }{\lim }=\frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{d_n}{n-\left(n-1\right)}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{d_n}{1}$. Wtedy $\underset{n\to \infty }{\lim }=\frac{x_n}{y_n}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{d_1+d_2+\dots +d_n}{n}=4$ 2. Korzystamy z twierdzenia Stolza.