Jeżeli $\underset{n\to +\infty }{\lim }{x}_n=+\infty$ lub $\underset{n\to +\infty }{\lim }{x}_n=-\infty$, to $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1}{x_n}=0$.

Obliczymy granicę ciągu $x_n=\sqrt{n+3}-\sqrt{n}$.

Rozwiązanie

Ciągi $a_n=\sqrt{n+3}$ i $b_n=\sqrt{n}$ są ciągami rozbieżnymi do $+\infty$. Zatem przy obliczaniu granicy mamy do czynienia z symbolem nieoznaczonym $\infty -\infty$.

Przekształcimy wzór ciągu $\left(x_n\right)$ rozszerzając ułamek $\frac{\sqrt{n+3}-\sqrt{n}}{1}$ przez wyrażenie $\sqrt{n+3}+\sqrt{n}$. Dlaczego w ten sposób rozszerzamy?

Oczywiście wartość ułamka się nie zmieni, lecz w liczniku wykorzystamy wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów do zapisania wyrażenia już bez pierwiastków.

$\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{n+3}-\sqrt{n}\right)=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{\left(\sqrt{n+3}-\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n+3}+\sqrt{n}\right)}{\left(\sqrt{n+3}+\sqrt{n}\right)}=$

$=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n+3-n}{\left(\sqrt{n+3}+\sqrt{n}\right)}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{3}{\left(\sqrt{n+3}+\sqrt{n}\right)}$.

Ponieważ ciągi $a_n=\sqrt{n+3}$ i $b_n=\sqrt{n}$ są ciągami rozbieżnymi do $+\infty$, zatem ciąg $a_n+b_n=\sqrt{n+3}+\sqrt{n}$ jest rozbieżny do $+\infty$.

Na podstawie twierdzenia ciąg $c_n=\frac{3}{\left(\sqrt{n+3}+\sqrt{n}\right)}$ jest zbieżny do $0$, a zatem

$\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{n+3}-\sqrt{n}\right)=0$.

Obliczymy granicę ciągu $\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\sqrt{n^2+3n}-n\right)$.

Rozwiązanie

Ciągi $a_n=\sqrt{n^2+3n}$ i $b_n=n$ są ciągami rozbieżnymi do $+\infty$. Zatem przy obliczaniu granicy mamy do czynienia z symbolem nieoznaczonym $\infty -\infty$.

Przekształcimy wzór ciągu rozszerzając ułamek $\frac{\sqrt{n^2+3n}-n}{1}$ przez $\frac{\sqrt{n^2+3n}+n}{\sqrt{n^2+3n}+n}$

i wykorzystując wzór skróconego mnożenie na różnicę kwadratów:

$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\left(\sqrt{n^2+3n}-n\right)\left(\sqrt{n^2+3n}+n\right)}{\sqrt{n^2+3n}+n}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{{\left(\sqrt{n^2+3n}\right)}^2-n^2}{\sqrt{n^2+3n}+n}=$

$=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n^2+3n-n^2}{\sqrt{n^2+3n}+n}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{3n}{\sqrt{n^2+3n}+n}$.

Zauważmy, że zarówno licznik jak i mianownik zmierza do $+\infty$, czyli pojawia się symbol nieoznaczony $\frac{\infty }{\infty }$.

Wobec tego rozszerzymy ułamek przez wyrażenie $\frac{1}{n}$:

$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{3n}{n\left(\sqrt{1+\frac{3}{n}}+1\right)}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{3}{\sqrt{1+\frac{3}{n}}+1}=\frac{3}{\sqrt{1}+1}=\frac{3}{2}$.

Obliczymy granicę: $\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\sqrt[3]{n^3+4n^2}-n\right)$.

Rozwiązanie

Podobnie jak w poprzednich przykładach, przy obliczaniu granicy mamy do czynienia z symbolem nieoznaczonym $\infty -\infty$. Zatem będziemy przekształcać wzór ciągu do innej postaci.

Wykorzystamy wzór skróconego mnożenia na różnicę sześcianów: $\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)=a^3-b^3$. Otrzymujemy wówczas:

$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[3]{n^3+4n^2}-n=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\left(\sqrt[3]{n^3+4n^2}-n\right)\left({\left(\sqrt[3]{n^3+4n^2}\right)}^2+\sqrt[3]{n^3+4n^2}·n+n^2\right)}{{\left(\sqrt[3]{n^3+4n^2}\right)}^2+\sqrt[3]{n^3+4n^2}·n+n^2}=$

$=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{{\left(\sqrt[3]{n^3+4n^2}\right)}^3-n^3}{{\left(\sqrt[3]{n^3+4n^2}\right)}^2+\sqrt[3]{n^3+4n^2}·n+n^2}=$

$=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n^3+4n^2-n^3}{{\left(\sqrt[3]{n^3+4n^2}\right)}^2+\sqrt[3]{n^3+4n^2}·n+n^2}=$

$=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{4n^2}{n^2\left({\left(\sqrt[3]{1+\frac{4}{n}}\right)}^2+\sqrt[3]{1+\frac{4}{n}}+1\right)}$.

Ponieważ otrzymaliśmy symbol nieoznaczony $\frac{\infty }{\infty }$, zatem wyłączamy przed nawias wyrażenie $n^2$ i je skracamy:

$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{4}{{\left(\sqrt[3]{1+\frac{4}{n}}\right)}^2+\sqrt[3]{1+\frac{4}{n}}+1}=\frac{4}{3}$.

Stąd otrzymujemy odpowiedź:

$\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\sqrt[3]{n^3+4n^2}-n\right)=\frac{4}{3}$.

Obliczymy granicę: $a_n=\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\dots +\frac{1}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}}$.

Rozwiązanie

Składniki sumy zmierzają do $0$, ale liczba składników rośnie. W istocie mamy do czynienia z symbolem nieoznaczonym $0·\infty$. Konieczne będzie przekształcenie wzoru ciągu.

Podobnie jak w poprzednich przykładach rozszerzymy ułamki i skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia:

$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\dots +\frac{1}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}}=$

$=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\left(\sqrt{1}-\sqrt{2}\right)}{\left(\sqrt{1}+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{1}-\sqrt{2}\right)}+\frac{\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)}{\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)}+\dots +\frac{\left(\sqrt{n-1}-\sqrt{n}\right)}{\left(\sqrt{n-1}+\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n-1}-\sqrt{n}\right)}=$

$=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\left(\sqrt{1}-\sqrt{2}\right)}{1-2}+\frac{\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)}{2-3}+\dots +\frac{\left(\sqrt{n-1}-\sqrt{n}\right)}{\left(n-1\right)-n}=$

$=\underset{n\to \infty }{\lim }\left[\left(\sqrt{2}-\sqrt{1}\right)+\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)+\dots +\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)\right]$.

Zauważmy, że $\sqrt{2}$ z pierwszego nawiasu redukuje się z $\sqrt{2}$ z drugiego nawiasu, $\sqrt{3}$ z drugiego nawiasu redukuje się z $\sqrt{3}$ z trzeciego nawiasu i tak dalej. Sumę tego typu często nazywamy: sumą teleskopową. Pozostaną tylko dwa wyrażenia: $\sqrt{n}$ oraz $-\sqrt{1}$.

Zatem

$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\dots +\frac{1}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}}=\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\sqrt{n}-1\right)=+\infty$.

wyrażenie algebraiczne, które nie ma sensu liczbowego, będące umownym sposobem zapisu przy obliczaniu granic ciągów, których wprost nie możemy obliczyć; przy obliczaniu granic ciągów najczęściej pojawiają się symbole: $\infty -\infty ,\frac{\infty }{\infty },0·\infty ,\frac{0}{0},1^{\infty }$