Galeria. Ilustracja jeden. k, razy, wektor v, równa się, k, razy, nawias kwadratowy a, przecinek, b zamknięcie nawiasu kwadratowego, równa się, nawias kwadratowy k, razy, a, przecinek, k, razy, b zamknięcie nawiasu kwadratowego
wektor u ± wektor v, równa się, nawias kwadratowy a, przecinek, b zamknięcie nawiasu kwadratowego ± nawias kwadratowy c, przecinek, d zamknięcie nawiasu kwadratowego, równa się, nawias kwadratowy a ± c, przecinek, b ± d zamknięcie nawiasu kwadratowego. Przykład jeden. Wyznaczymy wektor trzy wektor u, minus, dwa wektor v wektor u, równa się, nawias kwadratowy, minus, dwa, średnik, trzy, zamknięcie nawiasu kwadratowego wektor v, równa się, nawias kwadratowy, cztery, średnik, minus, dwa, zamknięcie nawiasu kwadratowego trzy wektor u, minus, dwa wektor v, równa się, trzy, razy, nawias kwadratowy, minus, dwa, średnik, trzy, zamknięcie nawiasu kwadratowego, minus, dwa, razy, nawias kwadratowy, cztery, średnik, minus, dwa, zamknięcie nawiasu kwadratowego, równa się, nawias kwadratowy, minus, sześć, średnik, dziewięć, zamknięcie nawiasu kwadratowego, plus, nawias kwadratowy, minus, osiem, średnik, cztery, zamknięcie nawiasu kwadratowego, równa się, nawias kwadratowy, minus, czternaście, średnik, trzynaście, zamknięcie nawiasu kwadratowego

Ilustracja dwa. Kombinacją liniową wektorów u i v o współczynnikach a, b nazywamy wektor a wektor u, plus, b wektor v. Przykład dwa. Przedstawmy wektor o współrzędnych nawias kwadratowy, cztery, średnik, minus, pięć, zamknięcie nawiasu kwadratowego jako kombinację liniową wektorów o współrzędnych nawias kwadratowy, jeden, średnik, dwa, zamknięcie nawiasu kwadratowego i nawias kwadratowy, minus, dwa, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu kwadratowego. nawias kwadratowy, cztery, średnik, minus, pięć, zamknięcie nawiasu kwadratowego, równa się, a nawias kwadratowy, jeden, średnik, dwa, zamknięcie nawiasu kwadratowego, plus, b nawias kwadratowy, minus, dwa, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu kwadratowego. Wymnażamy współczynniki i dodajemy. Otrzymujemy nawias kwadratowy, cztery, średnik, minus, pięć, zamknięcie nawiasu kwadratowego, równa się, nawias kwadratowy, a, minus, dwa b, średnik, dwa a, plus, b, zamknięcie nawiasu kwadratowego. Mamy dwie niewiadome i jedną wiadomą, tworzymy układ równań: nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, a, minus, dwa b, równa się, cztery, koniec równania, drugie równanie, dwa a, plus, b, równa się, minus, pięć, koniec równania, koniec układu równań. Mnożymy pierwsze równanie obustronnie przez dwa. Otrzymujemy nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, dwa a, minus, cztery b, równa się, osiem, koniec równania, drugie równanie, dwa a, plus, b, równa się, minus, pięć, koniec równania, koniec układu równań, po pomnożeniu drugiego równania prze minus 1, możemy dodać równania stronami, wtedy minus, pięć b, równa się, trzynaście, czyli b, równa się, minus, początek ułamka, trzynaście, mianownik, pięć, koniec ułamka. Obliczamy a: a, równa się, cztery, plus, dwa b, równa się, cztery, plus, dwa, razy, nawias, minus, początek ułamka, trzynaście, mianownik, pięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, równa się, cztery, minus, początek ułamka, dwadzieścia sześć, mianownik, pięć, koniec ułamka, równa się, minus, początek ułamka, sześć, mianownik, pięć, koniec ułamka. Ostatecznie odpowiedź to: nawias kwadratowy cztery, przecinek, minus, pięć zamknięcie nawiasu kwadratowego, równa się, minus, początek ułamka, sześć, mianownik, pięć, koniec ułamka, razy, nawias kwadratowy jeden przecinek dwa zamknięcie nawiasu kwadratowego, minus, początek ułamka, trzynaście, mianownik, pięć, koniec ułamka, razy, nawias kwadratowy, minus, dwa przecinek jeden zamknięcie nawiasu kwadratowego

Ilustracja trzy. Przykład trzy. Wyznaczmy współrzędne punktu S, równa się, nawias, x, średnik, y, zamknięcie nawiasu, który dzieli odcinek o końcach A, równa się, nawias, minus, jeden, średnik, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, B, równa się, nawias, cztery, średnik, trzy, zamknięcie nawiasu w stosunku jeden do dwóch licząc od punktu A. Rozwiązanie. Wektor wektor A S, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, wektor A B. Zatem nawias kwadratowy, x, plus, jeden, średnik, y, plus, dwa, zamknięcie nawiasu kwadratowego, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, nawias kwadratowy, cztery, plus, jeden, średnik, trzy, plus, dwa, zamknięcie nawiasu kwadratowego. Tworzymy układ równań: nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, x, plus, jeden, równa się, początek ułamka, pięć, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec równania, drugie równanie, y, plus, dwa, równa się, początek ułamka, pięć, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec równania, koniec układu równań. Otrzymujemy odpowiedź: punkt S ma współrzędne nawias, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu.

Ilustracja cztery. Jeżeli dane są współrzędne wektorów u i v, to iloczyn skalarny wyliczamy ze wzoru: wektor u, równa się, nawias kwadratowy a, przecinek, b zamknięcie nawiasu kwadratowego, przecinek, wektor v, równa się, nawias kwadratowy c, przecinek, d zamknięcie nawiasu kwadratowego
wektor u ∘ wektor v, równa się, nawias kwadratowy a, przecinek, b zamknięcie nawiasu kwadratowego ∘ nawias kwadratowy c, przecinek, d zamknięcie nawiasu kwadratowego, równa się, a c, plus, b d. Przykład cztery. Wyznaczmy iloczyn skalarny wektorów wektor u, równa się, nawias kwadratowy, minus, jeden, średnik, minus, dwa, zamknięcie nawiasu kwadratowego, wektor v, równa się, nawias kwadratowy, minus, trzy, średnik, cztery, zamknięcie nawiasu kwadratowego. Rozwiązanie. wektor u ∘ wektor v, równa się, nawias kwadratowy, minus, jeden, średnik, minus, dwa, zamknięcie nawiasu kwadratowego, ∘ nawias kwadratowy, minus, trzy, średnik, cztery, zamknięcie nawiasu kwadratowego, równa się, nawias, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, plus, nawias, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, razy, cztery, równa się, trzy, minus, osiem, równa się, minus, pięć

Ilustracja pięć. Iloczyn skalarny u i v wektorów, to liczba skalar, obliczany ze wzoru: wektor u ∘ wektor v, równa się, wartość bezwzględna z, wektor u, koniec wartości bezwzględnej, razy, wartość bezwzględna z, wektor v, koniec wartości bezwzględnej, razy, kosinus, kąt nawias, wektor u, przecinek, wektor v, zamknięcie nawiasu. Przykład pięć. Wyznaczmy cosinus kąta pomiędzy wektorami wektor u, równa się, nawias kwadratowy, minus, jeden, średnik, minus, dwa, zamknięcie nawiasu kwadratowego i wektor v, równa się, nawias kwadratowy, minus, trzy, średnik, cztery, zamknięcie nawiasu kwadratowego. Rozwiązanie. Z poprzedniej ilustracji wiadomo, że iloczyn skalarny tych wektorów wynosi -5, liczymy cosinus: wektor u ∘ wektor v, równa się, wartość bezwzględna z, wektor u, koniec wartości bezwzględnej, razy, wartość bezwzględna z, wektor v, koniec wartości bezwzględnej, razy, kosinus nawias, wektor u, średnik, wektor v, zamknięcie nawiasu, równa się, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, razy, pięć, razy, kosinus nawias, wektor u, średnik, wektor v, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, pięć. Czyli, kosinus nawias, wektor u, średnik, wektor v, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, początek ułamka, pięć, mianownik, pięć pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, koniec ułamka, równa się, minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, mianownik, pięć, koniec ułamka.