Przeczytaj
Wektory w układzie współrzędnych , są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają równe odpowiednie współrzędne oraz .
Dla wektorów i definiujemy działania w następujący sposób:
suma wektorów ,
różnica wektorów ,
iloczyn wektora przez liczbę : .
Wprowadzimy teraz nowe pojęcie, wykorzystujące działania na wektorach.
Kombinacją liniową wektorów o współczynnikach nazywamy .
Kombinacją liniową wektorówKombinacją liniową wektorów i o współczynnikach i jest .
Przedstawimy wektor o współrzędnych jako kombinację liniową wektorów o współrzędnych i . Zauważmy, że . A zatem wektor o współrzędnych jest kombinacją liniową wektorów o współrzędnych i ze współczynnikami i . Wspomnijmy przy okazji, że wektory o współrzędnych i nazywamy wersoramiwersorami osi układu współrzędnych.
Przedstawimy wektor o współrzędnych jako kombinację liniową wektorów i . Szukamy takich liczb i , aby spełniony był warunek
, który jest kolejno równoważny
Korzystając z twierdzenia o równości wektorów, otrzymujemy układ równań
,
którego rozwiązaniem jest para liczb i . Zatem wektor o współrzędnych jest kombinacją liniową wektorów i ze współczynnikami i .
Przypomnijmy również, jak wyznaczać współrzędne punktu, który dzieli dany odcinek w podanym stosunku.
Wyznaczymy współrzędne punktu dzielącego odcinek o końcach i w stosunku , licząc od punktu .
Niech szukany punkt nazywa się i ma współrzędne . Wówczas .
Wyznaczmy współrzędne wektorów.
.
Z twierdzenia o równości wektorów porównujemy współrzędne , co prowadzi do równań i , z których wynika, że i . Zatem punkt ma współrzędne .
Kolejnym działaniem, które można wykonać na wektorach jest iloczyn skalarnyiloczyn skalarny.
Iloczynem skalarnym wektorów i nazywamy liczbę , gdzie oznacza kąt między wektorami i .
Wyjaśnijmy od razu, że kątem między wektorami nazywamy kąt między prostymi będącymi kierunkami tych wektorów. Nie definiujemy kąta między wektorem zerowym a innym wektorem, ale przyjmujemy, że iloczyn skalarny dowolnego wektora przez wektor zerowy jest równy .
Zauważmy również, że gdy wektory i nie są wektorami zerowymi, to również ich długości nie są równe zeru, zatem ich iloczyn skalarny jest zerem dokładnie wtedy, gdy cosinus kąta między wektorami jest równy zeru, co ma miejsce dokładnie wtedy, gdy wektory są prostopadłe. Zatem możemy sformułować następujący wniosek.
Wniosek
Dwa niezerowe wektory są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn skalarny jest równy zeru .
Można udowodnić następujące twierdzenie.
Niech i . Wówczas .
Wyznaczymy cosinus kąta między wektorami i . Najpierw obliczymy iloczyn skalarny tych wektorów z definicji: .
Możemy też obliczyć iloczyn skalarny, korzystając z przytoczonego wcześniej twierdzenia.
Z przyrównania obu wartości otrzymujemy równanie:
,
co sprowadza się do
Na podstawie wyznaczonej wartości cosinusa możemy stwierdzić, że kąt ostry między danymi wektorami ma miarę .
Słownik
wektor o długości równej 1 oraz o kierunku i zwrocie zgodnym z kierunkiem i zwrotem osi tworzącej układ współrzędnych; w przypadku prostokątnego układu współrzędnych na płaszczyźnie wersory osiowe mają współrzędne oraz
liczba (skalar) określona wzorem , gdzie oznacza miarę kąta między wektorami i . Dla wektorów o współrzędnych i iloczyn skalarny można obliczyć korzystając ze wzoru
wektor zdefiniowany w następujący sposób