Przeczytaj

o równości wektorów

Twierdzenie: o równości wektorów

Wektory w układzie współrzędnych $\vec{u} = [a; b]$ , $\vec{v} = [c; d]$ są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają równe odpowiednie współrzędne $a = c$ oraz $b = d$ .

Dla wektorów $\vec{u} = [a; b]$ i $\vec{v} = [c; d]$ definiujemy działania w następujący sposób:

suma wektorów $\vec{u} + \vec{v} = [a + c; b + d]$ ,
różnica wektorów $\vec{u} - \vec{v} = [a - c; b - d]$ ,
iloczyn wektora $\vec{u}$ przez liczbę $k$ : $k \vec{u} = [k a; k b]$ .

Wprowadzimy teraz nowe pojęcie, wykorzystujące działania na wektorach.

Kombinacją liniową wektorów $\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}, \vec{u_{3}}, \dots, \vec{u_{n}}$ o współczynnikach $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{n}$ nazywamy $a_{1} \vec{u_{1}} + a_{2} \vec{u_{2}} + a_{3} \vec{u_{3}} + \dots + a_{n} \vec{u_{n}}$ .

Przykład 1

Kombinacją liniową wektorówKombinacją liniową wektorów $\vec{u_{1}} = [- 2; 3]$ i $\vec{u_{2}} = [1; - 2]$ o współczynnikach $a_{1} = - 3$ i $a_{2} = 2$ jest $a_{1} \vec{u_{1}} + a_{2} \vec{u_{2}} = - 3 [- 2; 3] + 2 [1; - 2] = [6; - 9] + [2; - 4] = [8; - 13]$ .

Przykład 2

Przedstawimy wektor o współrzędnych $[5; - 4]$ jako kombinację liniową wektorów o współrzędnych $[1; 0]$ i $[0; 1]$ . Zauważmy, że $[5; - 4] = [5; 0] + [0; - 4] = 5 \cdot [1; 0] - 4 \cdot [0; 1]$ . A zatem wektor o współrzędnych $[5; - 4]$ jest kombinacją liniową wektorów o współrzędnych $[1; 0]$ i $[0; 1]$ ze współczynnikami $5$ i $(- 4)$ . Wspomnijmy przy okazji, że wektory o współrzędnych $[1; 0]$ i $[0; 1]$ nazywamy wersoramiwersor osiowywersorami osi układu współrzędnych.

Przykład 3

Przedstawimy wektor o współrzędnych $[- 4; 5]$ jako kombinację liniową wektorów $[2; 1]$ i $[- 1; 3]$ . Szukamy takich liczb $a$ i $b$ , aby spełniony był warunek

$a [2; 1] + b [- 1; 3] = [- 4; 5]$ , który jest kolejno równoważny

$[2 a; a] + [- b; 3 b] = [- 4; 5]$

$[2 a - b; a + 3 b] = [- 4; 5]$

Korzystając z twierdzenia o równości wektorów, otrzymujemy układ równań

$\{\begin{matrix} 2 a - b = - 4 \\ a + 3 b = 5 \end{matrix}$ ,

którego rozwiązaniem jest para liczb $a - 1$ i $b = 2$ . Zatem wektor o współrzędnych $[- 4; 5]$ jest kombinacją liniową wektorów $[2; 1]$ i $[- 1; 3]$ ze współczynnikami $(- 1)$ i $2$ .

Przypomnijmy również, jak wyznaczać współrzędne punktu, który dzieli dany odcinek w podanym stosunku.

Przykład 4

Wyznaczymy współrzędne punktu dzielącego odcinek o końcach $A = (- 9; 3)$ i $B = (6; - 6)$ w stosunku $2 : 3$ , licząc od punktu $A$ .

Niech szukany punkt nazywa się $S$ i ma współrzędne $(x; y)$ . Wówczas $\vec{A S} = \frac{2}{5} \vec{A B}$ .

Wyznaczmy współrzędne wektorów.

$\vec{A S} = [x + 9; y - 3]$

$\frac{2}{5} \vec{A B} = \frac{2}{5} [15; - 9] = [6; - 3, 6]$ .

Z twierdzenia o równości wektorów porównujemy współrzędne $[x + 9; y - 3] = [6; - 3, 6]$ , co prowadzi do równań $x + 9 = 6$ i $y - 3 = - 3, 6$ , z których wynika, że $x = - 3$ i $y = - 0, 6$ . Zatem punkt $S$ ma współrzędne $(- 3; - 0, 6)$ .

Kolejnym działaniem, które można wykonać na wektorach jest iloczyn skalarnyiloczyn skalarny wektorów $\vec{u}$ i $\vec{v}$ iloczyn skalarny.

Iloczyn skalarny

Definicja: Iloczyn skalarny

Iloczynem skalarnym wektorów $\vec{u}$ i $\vec{v}$ nazywamy liczbę $\vec{u} \circ \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos ∢ (\vec{u}, \vec{v})$ , gdzie $∢ (\vec{u}, \vec{v})$ oznacza kąt między wektorami $\vec{u}$ i $\vec{v}$ .

Wyjaśnijmy od razu, że kątem między wektorami nazywamy kąt między prostymi będącymi kierunkami tych wektorów. Nie definiujemy kąta między wektorem zerowym a innym wektorem, ale przyjmujemy, że iloczyn skalarny dowolnego wektora przez wektor zerowy jest równy $0$ .

Zauważmy również, że gdy wektory $\vec{u}$ i $\vec{v}$ nie są wektorami zerowymi, to również ich długości nie są równe zeru, zatem ich iloczyn skalarny jest zerem dokładnie wtedy, gdy cosinus kąta między wektorami jest równy zeru, co ma miejsce dokładnie wtedy, gdy wektory są prostopadłe. Zatem możemy sformułować następujący wniosek.

Wniosek

Dwa niezerowe wektory są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn skalarny jest równy zeru $\vec{u} \circ \vec{v} = 0$ .

Można udowodnić następujące twierdzenie.

o iloczynie skalarnym wektorów o danych współrzędnych

Twierdzenie: o iloczynie skalarnym wektorów o danych współrzędnych

Niech $\vec{u} = [a; b]$ i $\vec{v} = [c; d]$ . Wówczas $\vec{u} \circ \vec{v} = a c + b d$ .

Przykład 5

Wyznaczymy cosinus kąta między wektorami $\vec{u} = [1; - 3]$ i $\vec{v} = [2; - 1]$ . Najpierw obliczymy iloczyn skalarny tych wektorów z definicji: $\vec{u} \circ \vec{v} = \sqrt{10} \cdot \sqrt{5} \cdot \cos ∢ (\vec{u}, \vec{v})$ .

Możemy też obliczyć iloczyn skalarny, korzystając z przytoczonego wcześniej twierdzenia.

$\vec{u} \circ \vec{v} = [1; - 3] \circ [2; - 1] = 1 \cdot 2 + (- 3) (- 1) = 2 + 3 = 5$

Z przyrównania obu wartości otrzymujemy równanie:

$\sqrt{10} \cdot \sqrt{5} \cdot \cos ∢ (\vec{u}, \vec{v}) = 5$ ,

co sprowadza się do

$\cos ∢ (\vec{u}, \vec{v}) = \frac{5}{5 \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Na podstawie wyznaczonej wartości cosinusa możemy stwierdzić, że kąt ostry między danymi wektorami ma miarę $45 °$ .

Słownik

wersor osiowy

wektor o długości równej 1 oraz o kierunku i zwrocie zgodnym z kierunkiem i zwrotem osi tworzącej układ współrzędnych; w przypadku prostokątnego układu współrzędnych na płaszczyźnie wersory osiowe mają współrzędne $[1; 0]$ oraz $[0; 1]$

iloczyn skalarny wektorów

\vec{u}

\vec{v}

iloczyn skalarny wektorów

\vec{u}

\vec{v}

liczba (skalar) określona wzorem $\vec{u} \circ \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cos ∢ (\vec{u}, \vec{v})$ , gdzie $∢ (\vec{u}, \vec{v})$ oznacza miarę kąta między wektorami $\vec{u}$ i $\vec{v}$ . Dla wektorów o współrzędnych $\vec{u} = [a; b]$ i $\vec{v} = [c; a]$ iloczyn skalarny można obliczyć korzystając ze wzoru $\vec{u} \circ \vec{v} = a c + b d$

kombinacja liniowa wektorów

{\vec{u}}_{1}, {\vec{u}}_{2}, {\vec{u}}_{3}, \dots, {\vec{u}}_{n}

o współczynnikach

a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{n}

kombinacja liniowa wektorów

{\vec{u}}_{1}, {\vec{u}}_{2}, {\vec{u}}_{3}, \dots, {\vec{u}}_{n}

o współczynnikach

a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{n}

wektor zdefiniowany w następujący sposób $a_{1} {\vec{u}}_{1} + a_{2} {\vec{u}}_{2} + a_{3} {\vec{u}}_{3} + \dots + a_{n} {\vec{u}}_{n}$

Wprowadzenie

Galeria zdjęć interaktywnych

Słownik