Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Zapisz jako PDF Udostępnij materiał
o równości wektorów
Twierdzenie: o równości wektorów

Wektory w układzie współrzędnych u=[a;b]v=[c;d] są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają równe odpowiednie współrzędne a=c oraz b=d.

Dla wektorów u=[a;b]v=[c;d] definiujemy działania w następujący sposób:

  1. Suma wektorów u+v=[a+c;b+d]

  2. Różnica wektorów u-v=[a-c;b-d]

  3. Iloczyn wektora u przez liczbę k: ku=[ka;kb]

Wprowadzimy teraz nowe pojęcie wykorzystujące działania na wektorach.

Kombinacją liniową wektorów u1,u2,u3,...,un o współczynnikach a1,a2,a3,...,an nazywamy a1u1+a2u2+a3u3+...+anun.

Przykład 1

Kombinacją liniową wektorówkombinacja liniowa wektorów u1,u2,u3,,un o współczynnikach α1,α2,α3,,αnKombinacją liniową wektorów u1=[-2;3]u2=[1;-2] o współczynnikach a1=-3a2=2 jest a1u1+a2u2=-3[-2;3]+2[1;-2]=[6;-9]+[2;-4]=[8;-13].

Przykład 2

Przedstawimy wektor o współrzędnych [5;-4] jako kombinację liniową wektorów o współrzędnych [1;0][0;1]. Zauważmy, że [5,-4]=[5;0]+[0,-4]=5·[1;0]-4·[0;1]. A zatem wektor o współrzędnych [5;-4] jest kombinacją liniową wektorów o współrzędnych [1;0][0;1] ze współczynnikami 5 i -4. Wspomnijmy przy okazji, że wektory o współrzędnych [1;0][0;1] nazywamy wersoramiwersor osiowywersorami osi układu współrzędnych.

Przykład 3

Przedstawimy wektor o współrzędnych [-4;5] jako kombinację liniową wektorów [2;1][-1;3]. Szukamy takich liczb ab, aby spełniony był warunek

a[2;1]+b[-1;3]=[-4;5], który jest kolejno równoważny

[2a;a]+[-b;3b]=[-4;5]

[2a-b;a+3b]=[-4;5]

Korzystając z twierdzenia o równości wektorów otrzymujemy układ równań

2a-b=-4a+3b=5

którego rozwiązaniem jest para liczb a-1b=2. Zatem wektor o współrzędnych [-4;5] jest kombinacją liniową wektorów [2,1][1,3] ze współczynnikami -12

Przypomnijmy również, jak wyznaczać współrzędne punktu, który dzieli dany odcinek w podanym stosunku.

Przykład 4

Wyznaczymy współrzędne punktu dzielącego odcinek o końcach A=(9,3)B=(6,6) w stosunku 2:3 licząc od punktu A.

Niech szukany punkt nazywa się S i ma współrzędne (x,y). Wówczas AS=25AB.

Wyznaczmy współrzędne wektorów

AS=[x+9;y-3]

25AB=25[15;-9]=[6;-3,6].

Z twierdzenia o równości wektorów porównujemy współrzędne [x+9;y-3]=[6;-3,6], co prowadzi do równań x+9=6y-3=-3,6, z których wynika, że x=-3y=-0,6. Zatem punkt S ma współrzędne (-3;-0,6).

Kolejnym działaniem, które można wykonać na wektorach jest iloczyn skalarnyiloczyn skalarny wektorów uviloczyn skalarny.

Iloczyn skalarny
Definicja: Iloczyn skalarny

Iloczynem skalarnym wektorów uv nazywamy liczbę uv=|u|·|v|·cos(u,v), gdzie (u,v) oznacza kąt między wektorami uv.

Wyjaśnijmy od razu, że kątem między wektorami nazywamy kąt między prostymi będącymi kierunkami tych wektorów. Nie definiujemy kąta między wektorem zerowym a innym wektorem, ale przyjmujemy, że iloczyn skalarny dowolnego wektora przez wektor zerowy jest równy 0.

Zauważmy również, że gdy wektory uv nie są wektorami zerowymi, to również ich długości nie są równe zeru, zatem ich iloczyn skalarny jest zerem dokładnie wtedy, gdy cosinus kąta między wektorami jest równy zeru, co ma miejsce dokładnie wtedy, gdy wektory są prostopadłe. Zatem możemy sformułować następujący wniosek.

Wniosek

Dwa niezerowe wektory są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn skalarny jest równy zeru uv=0.

Można udowodnić następujące twierdzenie.

o iloczynie skalarnym wektorów o danych współrzędnych
Twierdzenie: o iloczynie skalarnym wektorów o danych współrzędnych

Niech u=[a; b]v=[c; d]. Wówczas uv=ac+bd.

Przykład 5

Wyznaczymy cosinus kąta między wektorami u=[1;-3]v=[2;-1]. Najpierw obliczymy iloczyn skalarny tych wektorów z definicji: uv=10·5·cos(u,v).

Możemy też obliczyć iloczyn skalarny korzystając z przytoczonego wcześniej twierdzenia:

uv=[1;-3][2;-1]=1·2+(-3)(-1)=2+3=5

Z przyrównania obu wartości otrzymujemy równanie:

10·5·cos(u,v)=5

co sprowadza się do

cos(u,v)=552=22

Na podstawie wyznaczonej wartości cosinusa możemy stwierdzić, że kąt ostry między danymi wektorami ma miarę 45°.

Słownik

wersor osiowy
wersor osiowy

wektor o długości równej 1 oraz o kierunku i zwrocie zgodnym z kierunkiem i zwrotem osi tworzącej układ współrzędnych; w przypadku prostokątnego układu współrzędnych na płaszczyźnie wersory osiowe mają współrzędne [1;0] oraz [0;1]

iloczyn skalarny wektorów uv
iloczyn skalarny wektorów uv

liczba (skalar) określona wzorem uv=|u|·|v|cos(u,v), gdzie (u,v) oznacza miarę kąta między wektorami uv. Dla wektorów o współrzędnych u=[a;b]v=[c;a] iloczyn skalarny można obliczyć korzystając ze wzoru uv=ac+bd

kombinacja liniowa wektorów u1,u2,u3,,un o współczynnikach a1,a2,a3,,an
kombinacja liniowa wektorów u1,u2,u3,,un o współczynnikach a1,a2,a3,,an

wektor zdefiniowany w następujący sposób a1u1+a2u2+a3u3++anun