Galeria zdjęć interaktywnych

Polecenie 1

Zapoznaj się z przedstawioną poniżej prezentacją multimedialną. Przeanalizuj zawarte w niej rozwiązania zadań, w których prezentowana jest pewna zależność zachodząca między współczynnikami dwumianowymi oraz jej zastosowania dotyczące liczb Catalana.

1
RYXngUUn76jZI
Ilustracja interaktywna numer jeden. Wykażemy, że dla dowolnych liczb całkowitych k, n spełniających warunek 1≤k≤n prawdziwa jest równość. k·nk=n·n-1k-1. Rozpatrzmy w tym cely następującą sytuację, z grupy n uczniów należy wybrać k osobową delegację, w której jedna z osób będzie pełniła funkcję przewodniczącego. Wyboru takiej delegacji możemy dokonać na dwa sposoby. Sposób pierwszy, najpierw wybieramy k osób spośród n, a następnie jednej z tych osób nadajemy tytuł przewodniczącego. Tym sposobem otrzymujemy więc, że jest k·nk możliwości wyboru delegacji, która spełnia warunki zadania. Zauważmy, że k osób spośród n możemy wybrać na nk sposobów, a w drugim etapie jednej z tych osób nadajemy tytuł przewodniczącego, co można zrobić na k sposobów.
Zatem jest k·nk możliwości wyboru delegacji spełniającej warunki zadania.
1

1. {audio}Zauważmy, że k osób spośród n możemy wybrać na nk sposobów, a w drugim etapie jednej z tych osób nadajemy tytuł przewodniczącego, co można zrobić na k sposobów.
Zatem jest k·nk możliwości wyboru delegacji spełniającej warunki zadania.

R1LCRta798R1t
Ilustracja interaktywna numer dwa. Sposób drugi, najpierw spośród wszystkich n osób wybieramy przewodniczącego, a następnie spośród pozostałych osób wybieramy uczniów do uzupełnienia delegacji. Zatem tym sposobem otrzymujemy, że jest, n·n-1k-1, możliwości wyboru delegacji, która spełnia warunki zadania. Zauważmy, że przewodniczącego spośród wszystkich n osób możemy wybrać na n sposobów, a następnie dla uzupełnienia delegacji spośród pozostałych n-1 uczniów należy wybrać k-1 osób, co można zrobić na n-1k-1 sposobów.
Wobec tego jest n·n-1k-1 możliwości wyboru delegacji spełniającej warunki zadania. Ponieważ liczby możliwości uzyskane w obu sposobach opisują tę samą wartość, więc, k·nk=n·n-1k-1, a to właśnie mieliśmy udowodnić. Równość k·nk=n·n-1k-1 można też udowodnić algebraicznie.
Korzystając ze wzoru na współczynnik dwumianowy otrzymujemy nk=n!k!·n-k!=n·n-1!k·k-1!·n-k!=nk·n-1!k-1!·n-1-k-1!=nk·n-1k-1, skąd wynika, że k·nk=n·n-1k-1 dla dowolnych liczb całkowitych k, n spełniających warunek 1≤k≤n.
1
2

1. {audio}Zauważmy, że przewodniczącego spośród wszystkich n osób możemy wybrać na n sposobów, a następnie dla uzupełnienia delegacji spośród pozostałych n-1 uczniów należy wybrać k-1 osób, co można zrobić na n-1k-1 sposobów.
Wobec tego jest n·n-1k-1 możliwości wyboru delegacji spełniającej warunki zadania.

2. {audio}Równość k·nk=n·n-1k-1 można też udowodnić algebraicznie.
Korzystając ze wzoru na współczynnik dwumianowy otrzymujemy nk=n!k!·n-k!=n·n-1!k·k-1!·n-k!=nk·n-1!k-1!·n-1-k-1!=nk·n-1k-1, skąd wynika, że k·nk=n·n-1k-1 dla dowolnych liczb całkowitych k, n spełniających warunek 1≤k≤n.

RC2JhkAHK2vH5
Ilustracja interaktywna numer trzy. Zastosujemy udowodnioną powyżej równość do rozwiązania dwóch zadań. Zadanie pierwsze. Wykażmy, że liczba 2020!1010!·1011! jest całkowita. Rozwiązanie, rozpatrzymy w tym celu współczynnik dwumianowy 20211011. Liczba 20211011 jest całkowita, opisuje liczbę 1011-elementowych podzbiorów zbioru 2011-elementowego.
1

1. {audio}Liczba 20211011 jest całkowita, opisuje liczbę 1011-elementowych podzbiorów zbioru 2011-elementowego.

RTzloBrkv5HzA
Ilustracja interaktywna numer cztery. Podstawiając w tożsamości, knk=n·n-1k-1. Wartości n=2021 oraz k=1011, otrzymujemy równość, 1011·20211011=2021·20201010. Wykazujemy, że liczba 1011 dzieli iloczyn 2021·20201010 ale nie dzieli liczby dwa tysiące dwadzieścia jeden. Liczba zapisana po lewej stronie powyższej równości 1011·20211011 dzieli się przez 1011, zatem równa jej liczba zapisana po prawej stronie 2021·20201010 również dzieli się przez 1011.
Ponieważ 2·1011-2021=1, więc liczby 2021 i 1011 są względnie pierwsze. Zatem liczba 1011 dzieli liczbę 20201010, skąd wniosek, że liczba 20201010·11011=2020!1010!·1010!·11011=2020!1010!·1010!·1011=2020!1010!·1011! jest całkowita. A to właśnie należało udowodnić.
1

1. {audio}Liczba zapisana po lewej stronie powyższej równości 1011·20211011 dzieli się przez 1011, zatem równa jej liczba zapisana po prawej stronie 2021·20201010 również dzieli się przez 1011.
Ponieważ 2·1011-2021=1, więc liczby 2021 i 1011 są względnie pierwsze.

RVmrEVDfZCESa
Ilustracja interaktywna numer pięć. Zadanie dwa. Udowodnimy, że liczba l=4-21·4-22·4-23·…·4-22050, jest całkowita i podzielna przez dwa tysiące pięćdziesiąt jeden. Rozwiązanie. Przekształcamy zadane wyrażenie. l=4-21·4-22·4-23·…·4-22050=22050·1·3·5·…·2·2050-1·2·3·…·2050. Z każdego spośród 2050 czynników wyłączamy przed nawias czynnik 2, a następnie wyrażenie w nawiasie sprowadzamy do wspólnego mianownika, zgodnie z zasadą 4-2k=2·2-1k=2·2k-1k. Po tym przekształceniu otrzymujemy
l=22050·2·1-11·2·2-12·2·3-13·...·2·2050-12050=22050·11·32·53·...·40992050.
R1YeqdWwP6Ukr
Ilustracja interaktywna numer sześć. Stąd, l=2·4·6·…·41002050!·1·3·5·…·40992050!. Liczbę 22050 zapisujemy w postaci ułamka o mianowniku 2050!: 22050·2050!2050!, a następnie przekształcamy do postaci 22050·2050!2050!=2·1·2·2·2·3·...·2·20502050!=2·4·6·...·41002050!. Wobec tego, l=4100!2050!·2050!=41002050. Oznacza to, że liczba l jest całkowita. Liczbę l da się zapisać w postaci ułamka l=1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅6⋅...⋅4099⋅41002050!·2050!, którego licznik zapisujemy z użyciem symbolu silni 1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅6⋅...⋅4099⋅4100=4100!.
Zatem l=41002050, skąd wynika, że l∈ℤ.
R1SfnfKVQCZi7
Ilustracja interaktywna numer siedem. Pokażemy, że l jest podzielna przez dwa tysiące pięćdziesiąt jeden. Rozumujemy podobnie jak w poprzednim zadaniu, przy czym tym razem skorzystamy z równości, 2051·41012051=4101·41002050.Powyższą równość otrzymujemy, podstawiając w tożsamości k·nk=n·n-1k-1 wartości: n=4101, k=2051. Wykazujemy, że liczba 2051 dzieli iloczyn 4101·41002050 i jednocześnie, że 2051 nie dzieli liczby cztery tysiące sto jeden. Liczba zapisana po lewej stronie otrzymanej równości 2051·41012051 dzieli się przez 2051, zatem równa jej liczba zapisana po prawej stronie 4101·41002050 również dzieli się przez 2051.
Ponieważ 2·2051-4101=1, więc liczby 2051 i 4101 są względnie pierwsze. Zatem 2051 dzieli liczbę 41002050. A to właśnie należało udowodnić.
1
2

1. {audio}Powyższą równość otrzymujemy, podstawiając w tożsamości k·nk=n·n-1k-1 wartości: n=4101, k=2051.

2. {audio}Liczba zapisana po lewej stronie otrzymanej równości 2051·41012051 dzieli się przez 2051, zatem równa jej liczba zapisana po prawej stronie 4101·41002050 również dzieli się przez 2051.
Ponieważ 2·2051-4101=1, więc liczby 2051 i 4101 są względnie pierwsze.

RgONzJb0yw5JN
Ilustracja interaktywna numer osiem. Na zakończenie pokażemy, że dla każdej dodatniej liczby całkowitej n liczba Cn=2n!n!n+1!=1n+1·2nn jest całkowita. Dowód prowadzimy podobnie, jak w rozwiązaniach trzech zadań przedstawionych poniżej. Rozpatrujemy współczynnik dwumianowy 2n+1n+1. Ponieważ dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej n przez 2n+1n+1 oznaczamy liczbę wszystkich n+1-elementowych podzbiorów zbioru 2n+1-elementowego, więc jest to liczba całkowita. Wykorzystujemy tożsamość n+1·2n+1n+1=2n+1·2nn. Zapiszmy tożsamość omówioną na wstępie w postaci k·mk=m·m-1k-1, a następnie podstawmy w niej m=2n+1 oraz k=n+1.
Otrzymujemy stąd, że dla dodatniej liczby całkowitej n zachodzi równość n+1·2n+1n+1=2n+1·2nn. Wykazujemy, że 2nn dzieli się przez n+1. Z równości n+1·2n+1n+1=2n+1·2nn wynika, że liczba 2n+1·2nn dzieli się przez n+1.
Ponieważ 2·n+1-2n+1=1, więc liczby 2n+1 i n+1 są względnie pierwsze (nie mają wspólnego dzielnika większego od 1).
Zatem liczba 2nn dzieli się przez n+1. W ten sposób otrzymujemy, że liczba Cn=2nn·1n+1=2n!n!·n!··1n+1=2n!n!·n!·n+1=2n!n!·n+1! jest całkowita.
1
2
3

1. {audio}Ponieważ dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej n przez 2n+1n+1 oznaczamy liczbę wszystkich n+1-elementowych podzbiorów zbioru 2n+1-elementowego, więc jest to liczba całkowita.

2. {audio}Zapiszmy tożsamość omówioną na wstępie w postaci k·mk=m·m-1k-1, a następnie podstawmy w niej m=2n+1 oraz k=n+1.
Otrzymujemy stąd, że dla dodatniej liczby całkowitej n zachodzi równość n+1·2n+1n+1=2n+1·2nn.

3. {audio}Z równości n+1·2n+1n+1=2n+1·2nn wynika, że liczba 2n+1·2nn dzieli się przez n+1.
Ponieważ 2·n+1-2n+1=1, więc liczby 2n+1 i n+1 są względnie pierwsze (nie mają wspólnego dzielnika większego od 1).
Zatem liczba 2nn dzieli się przez n+1.

RTGcmuLiBFL42
Ilustracja interaktywna numer dziewięć. Określona w powyższy sposób liczba Cn nazywana jest n tą liczbą Catalana. Zauważmy, że w zadaniu pierwszym rozpatrywaliśmy liczbę 2020!1010!·1011!=20201010·11011=C1010. W zadaniu drugim korzystaliśmy z własności liczby C2050=41002050·12051. Liczby Catalana mają wiele zastosowań w kombinatoryce. Za ich pomocą można m.in. wyrazić liczbę sposobów podziału na różne trójkąty takiego wielokąta wypukłego, który ma n+2 boki, przy czym podział dokonywany jest za pomocą przekątnych, które wewnątrz tego wielokąta nie mają punktów wspólnych.
1

1. {audio}Za ich pomocą można m.in. wyrazić liczbę sposobów podziału na różne trójkąty takiego wielokąta wypukłego, który ma n+2 boki, przy czym podział dokonywany jest za pomocą przekątnych, które wewnątrz tego wielokąta nie mają punktów wspólnych.

Polecenie 2

Korzystając z przykładu omówionego w powyższej prezentacji multimedialnej rozwiąż samodzielnie następujące zadanie.

Wykaż, że

2101+2112+2123+…+212122=222-122.

Przeczytaj
Sprawdź się