Przeczytaj
W poniższych przykładach prezentowane są pomysły na dowodzenie podzielności liczb całkowitych za pomocą własności współczyników dwumianowychwspółczyników dwumianowych, jak również z użyciem wzoru dwumianowegowzoru dwumianowego.
Istotną część przedstawionych poniżej wniosków można zapisać używając do tego celu kongruencji liczbowych, jednak – z zasady – nie będziemy tego sposobu stosowali.
Chętnym do utrwalenia swoich umiejętności z podstaw arytmetyki modularnej polecamy zredagowanie poniższych rozwiązań metodą kongruencji, co byłoby – jak uważamy – pouczającym ćwiczeniem.
Obliczymy:
a) dwie ostatnie cyfry zapisu dziesiętnego liczby ,
b) resztę z dzielenia przez liczby .
Rozwiązanie
a) Korzystając ze wzoru dwumianowegowzoru dwumianowego zapisujemy
.
Zauważmy, że ponieważ oraz , więc każdy spośród początkowych wyrazów powyższego rozwinięcia dzieli się przez . Wobec tego , dla pewnej liczby naturalnej .
Zauważmy następnie, że
.
Ponieważ każdy z czterech wyrazów w nawiasie dzieli się przez , więc liczba przy dzieleniu przez daje resztę .
Wynika stąd, że dwie ostatnie cyfry zapisu dziesiętnego liczby to (cyfra dziesiątek) oraz (cyfra jedności).
b) Zauważamy, że .
Następnie, korzystając ze wzoru dwumianowegowzoru dwumianowego zapisujemy
.
Zauważmy, że ponieważ oraz , więc każdy spośród początkowych wyrazów powyższego rozwinięcia dzieli się przez . Wobec tego , dla pewnej liczby naturalnej .
Obliczamy, że , skąd wynika, że szukana reszta z dzielenia przez jest równa .
Wykażemy, że liczba dzieli się przez .
Rozwiązanie
Dla dowodu wystarczy pokazać, że liczby oraz dają tę samą resztę z dzielenia przez .
Zauważmy, że:
.
Korzystając ze wzoru dwumianowegowzoru dwumianowego możemy zatem zapisać, że
,
skąd wynika, że liczba przy dzieleniu przez daje resztę .
.
Korzystając ze wzoru dwumianowegowzoru dwumianowego możemy zatem zapisać, że
,
skąd wynika, że liczba przy dzieleniu przez daje taką samą resztę, jak liczba .
Ponieważ , więc (rozumując podobnie, jak w przypadku liczby ) otrzymujemy, że resztą z dzielenia tej liczby przez jest , zatem również liczba przy dzieleniu przez daje resztę .
Oznacza to, że liczba dzieli się przez .
Można też zauważyć, że , skąd .
Rozwinięcie otrzymanej sumy za pomocą wzoru dwumianowego i wykazanie, że liczba przy dzieleniu przez daje resztę pozostawiamy jako nietrudne ćwiczenie.
Uwaga.
Można wykazać, że dla każdej dodatniej liczby całkowitej liczba jest podzielna przez .
Wystarczy w tym celu następująco przekształcić tę różnicę
i wykorzystać pomysły omówione w powyższym przykładzie.
Wykażemy, że współczynik dwumianowywspółczynik dwumianowy to liczba, która:
a) dzieli się przez , ale nie dzieli się przez ,
b) dzieli się przez , ale nie dzieli się przez .
Rozwiązanie
Zauważmy, że , zatem będziemy obliczali wykładnik, z jakim liczba ustalona w każdym z podpunktów wchodzi do rozkładu każdej z liczb: , oraz .
Do tego celu wykorzystamy funkcję podłoga, która zaokrągla w dół liczby rzeczywiste do liczb całkowitych ()
a) Ponieważ:
, więc liczba w rozkładzie liczby pokazuje się z wykładnikiem równym
,
, więc liczba w rozkładzie liczby pokazuje się z wykładnikiem równym
,
, więc liczba w rozkładzie liczby pokazuje się z wykładnikiem równym
.
Oznacza to, że liczba w rozkładzie liczby występuje z wykładnikiem równym .
Zatem liczba dzieli się przez , ale nie dzieli się przez .
b) Ponieważ:
, więc liczba w rozkładzie liczby pokazuje się z wykładnikiem równym
,
, więc , więc liczba w rozkładzie liczby występuje z wykładnikiem równym
,
, więc liczba w rozkładzie liczby występuje z wykładnikiem równym
.
Oznacza to, że liczba w rozkładzie liczby pokazuje się z wykładnikiem równym .
Zatem liczba dzieli się przez , ale nie dzieli się przez .
Wykażemy, że dla każdej dodatniej liczby całkowitej liczba dzieli się przez każdą z liczb: , , .
Rozwiązanie
I sposób:
Zauważmy, że oraz .
Korzystając ze wzoru dwumianowegowzoru dwumianowego otrzymujemy:
Zatem w rozwinięciu tej sumy każdy spośród początkowych składników jest podzielny przez , natomiast ostatni wyraz, (jedyny niepodzielny przez ), dla dowolnej liczby całkowitej ma wartość .
Oznacza to, że liczba dzieli się przez . To spostrzeżenie kończy dowód.
II sposób:
Rozpatrzmy wielomian , gdzie jest dodatnią liczba całkowitą.
Ponieważ , więc wielomian dzieli się przez .
Przyjmując otrzymujemy, że liczba dzieli się przez , co oznacza, że dla każdej dodatniej liczby całkowitej liczba dzieli się przez każdą z liczb , , . W ten sposób dowód został zakończony.
a) Wykażemy, że dla każdej liczby całkowitej liczba dzieli się przez .
Rozwiązanie
Załóżmy, że liczba jest dodatnia.
Ponieważ dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej liczba określa liczbę trzyelementowych podzbiorów zbioru –elementowego, więc jest to liczba całkowita. Wynika stąd, że liczba jest podzielna przez .
Zatem podzielna przez jest liczba
,
co dowodzi tezy w przypadku, gdy jest liczbą dodatnią.
Jeżeli iloczyn jest równy zero (co zachodzi dla lub lub ), to jest, oczywiście, liczbą podzielną przez .
Pozostaje więc rozpatrzyć przypadek, gdy liczba jest ujemna.
Zauważmy, że wtedy każdy z jej czynników jest ujemny. Rozpatrzmy więc dodatnią liczbę . Wówczas liczba jest podzielna przez (co stwierdzamy na podstawie wniosku sformułowanego powyżej), a więc przez dzieli się również liczba do niej przeciwna, czyli liczba
.
Oznacza to, że dla każdej liczby całkowitej liczba dzieli się przez .
Uwaga. Z powyższego spostrzeżenia wynika np., że:
dla każdej liczby całkowitej liczba dzieli się przez ,
dla każdej liczby całkowitej i każdej liczby całkowitej liczba jest podzielna przez .
b) Wykażemy, że dla każdej liczby całkowitej liczba dzieli się przez .
Rozwiązanie
Zauważmy, że
.
Ponieważ:
, więc rozumując podobnie jak w poprzednim podpunkcie stwierdzamy, że dla dowolnej liczby całkowitej liczba dzieli się przez ,
dla dowolnej liczby całkowitej liczba dzieli się przez , co oznacza, że liczba dzieli się przez .
Wobec tego suma również dzieli się przez , a to właśnie należało udowodnić.
Uwaga. Z powyższego spostrzeżenia wynika np., że dla każdej liczby całkowitej i każdej liczby całkowitej liczba jest podzielna przez .
Słownik
w rozwinięciu dwumianu współczynnik liczbowy zapisany przy wyrazie tego rozwinięcia; w szczególności –tym współczynnikiem dwumianowym w rozwinięciu jest liczba:
dla dowolnych liczb , oraz dowolnej dodatniej liczby całkowitej prawdziwy jest wzór: