Ilustracja pierwsza. Określimy liczbę pierwiastków równania $\left(k-3\right)x^2+\left(k-2\right)x+1=0$ w zależności od wartości parametru k. Zbadamy, dla jakiej wartości parametru $k$ równanie ma dwa rozwiązania, jedno rozwiązanie lub nie posiada rozwiązań. Jeżeli $k-3=0$, to $k=3$. Po podstawieniu mamy więc $\left(3-2\right)x+1=0$. Po uproszeczniu mamy $x+1=0$. Równanie jest liniowe. Sprawdzimy, czy posiada rozwiązanie. Równanie ma jedno rozwiązanie $x=-1$.

Ilustracja druga. Określimy liczbę pierwiastków równania $\left(k-3\right)x^2+\left(k-2\right)x+1=0$ w zależności od wartości parametru k. Zbadamy, dla jakiej wartości parametru $k$ równanie ma dwa rozwiązania, jedno rozwiązanie lub nie posiada rozwiązań. Przypadek drugi. Dla $k\ne 3$ równanie jest kwadratowe. Liczba rozwiązań równania zależy od znaku wyróżnika trójmianu kwadratowego, który obliczymy. $\left(k-3\right)x^2+\left(k-2\right)x+1=0$ Wyróżnik trójmianu jest naastępujący: $\Delta ={\left(k-2\right)}^2-4\left(k-3\right)=k^2-4k+4-4k+12=k^2-8k+16$

Ilustracja trzecia. Określimy liczbę pierwiastków równania $\left(k-3\right)x^2+\left(k-2\right)x+1=0$ w zależności od wartości parametru k. Zbadamy, dla jakiej wartości parametru $k$ równanie ma dwa rozwiązania, jedno rozwiązanie lub nie posiada rozwiązań. Przypadek drugi. Dla $k\ne 3$ równanie jest kwadratowe. Liczba rozwiązań równania zależy od znaku wyróżnika trójmianu kwadratowego, który obliczymy. $\left(k-3\right)x^2+\left(k-2\right)x+1=0$ Wyróżnik trójmianu jest naastępujący: $\Delta ={\left(k-2\right)}^2-4\left(k-3\right)=k^2-4k+4-4k+12=k^2-8k+16$ Zatem wyróżnik trójmianu kwadratowego wynosi $\Delta =k^2-8k+16$. Możemy go przedstawić również jako kwadrat różnicy, czyli $\Delta ={\left(k-4\right)}^2$. Rozważmy teraz trzy przpadki dla k. Przypadek pierwszy: ${\left(k-4\right)}^2>0$ dla $k\ne 4$. Dla $k\in \mathrm{ℝ}\backslash \left\{3,4\right\}$ wyróżnik trójmianu kwadratowego jest dodatni, czyli równanie ma dwa rozwiązania. Przypadek drugi: ${\left(k-4\right)}^2=0$ dla $k=4$. Dla $k\in \left\{3,4\right\}$ równanie ma jedno rozwiązanie. Przypadek trzeci: ${\left(k-4\right)}^2<0$ dla $k\in \varnothing$. Równanie zawsze będzie posiadało rozwiązanie lub rozwiązania.

Ilustracja czwarta. Określimy liczbę pierwiastków równania $\left(k-3\right)x^2+\left(k-2\right)x+1=0$ w zależności od wartości parametru k. Napiszemy wzrór funkcji $f\left(k\right)$. f od k równa się klamra otwierająca układ dwóch równań. Równanie pierwsze 2 dla k należących do zbioru liczb rzeczywistych bez 3 i 4. Równanie drugie 1 dla k należących do zbioru otwarcie nawiasu klamrowego 3, 4 zamknięcie nawiasu klamrowego. Funkcja $f\left(k\right)$ określa, dla jakiego rzeczywistego $k$ równanie ma dwa rozwiązania, a dla jakiego $k$ ma jedno rozwiązanie.

Ilustracja piąta. Naszkicujemy wykres funkcji $y=f\left(k\right)$, która każdej wartości parametru k przyporządkowuje liczbę rozwiązań równania $\left(k-3\right)x^2+\left(k-2\right)x+1=0$. Rysunek przedstawia pierwszą ćwiartkę układu współrzędnych z poziomą osią k od zera do pięciu i z pionową osią $f\left(k\right)$ od zera do dwóch. Na płaszczyźnie narysowano wykres składający się z poziomej prostej o równaniu $f\left(k\right)=2$ pozbawionej dwóch punktów o współrzędnych $\left(3, 2\right), \left(4, 2\right)$. Usunięcie punktów zaznaczono pustymi kółkami na prostej. Do wykresu funkcji należą jeszcze dwa punkty leżące poza prostą, zaznaczone zamalowanymi kółkami. Mają one współrzędne: $\left(3, 1\right), \left(4, 1\right)$. Wykres funkcji $f\left(k\right)$ pokazuje, dla jakiego rzeczywistego $k$ równanie ma dwa rozwiązania, a dla jakiego rzeczywistego $k$ ma jedno rozwiązanie.