Ilustracja pierwsza. Określimy liczbę pierwiastków równania nawias, k, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, k, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, x, plus, jeden, równa się, zero w zależności od wartości parametru k. Zbadamy, dla jakiej wartości parametru k równanie ma dwa rozwiązania, jedno rozwiązanie lub nie posiada rozwiązań. Jeżeli k, minus, trzy, równa się, zero, to k, równa się, trzy. Po podstawieniu mamy więc nawias, trzy, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, x, plus, jeden, równa się, zero. Po uproszeczniu mamy x, plus, jeden, równa się, zero. Równanie jest liniowe. Sprawdzimy, czy posiada rozwiązanie. Równanie ma jedno rozwiązanie x, równa się, minus, jeden.

Ilustracja druga. Określimy liczbę pierwiastków równania nawias, k, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, k, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, x, plus, jeden, równa się, zero w zależności od wartości parametru k. Zbadamy, dla jakiej wartości parametru k równanie ma dwa rozwiązania, jedno rozwiązanie lub nie posiada rozwiązań. Przypadek drugi. Dla k, nie równa się, trzy równanie jest kwadratowe. Liczba rozwiązań równania zależy od znaku wyróżnika trójmianu kwadratowego, który obliczymy. nawias, k, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, k, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, x, plus, jeden, równa się, zero Wyróżnik trójmianu jest naastępujący: DELTA, równa się, nawias, k, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery nawias, k, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, równa się, k indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery k, plus, cztery, minus, cztery k, plus, dwanaście, równa się, k indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, osiem k, plus, szesnaście

Ilustracja trzecia. Określimy liczbę pierwiastków równania nawias, k, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, k, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, x, plus, jeden, równa się, zero w zależności od wartości parametru k. Zbadamy, dla jakiej wartości parametru k równanie ma dwa rozwiązania, jedno rozwiązanie lub nie posiada rozwiązań. Przypadek drugi. Dla k, nie równa się, trzy równanie jest kwadratowe. Liczba rozwiązań równania zależy od znaku wyróżnika trójmianu kwadratowego, który obliczymy. nawias, k, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, k, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, x, plus, jeden, równa się, zero Wyróżnik trójmianu jest naastępujący: DELTA, równa się, nawias, k, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery nawias, k, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, równa się, k indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery k, plus, cztery, minus, cztery k, plus, dwanaście, równa się, k indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, osiem k, plus, szesnaście Zatem wyróżnik trójmianu kwadratowego wynosi DELTA, równa się, k indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, osiem k, plus, szesnaście. Możemy go przedstawić również jako kwadrat różnicy, czyli DELTA, równa się, nawias, k, minus, cztery, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego. Rozważmy teraz trzy przpadki dla k. Przypadek pierwszy: nawias, k, minus, cztery, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, większy niż, zero dla k, nie równa się, cztery. Dla k, należy do, liczby rzeczywiste \ nawias klamrowy, trzy przecinek cztery, zamknięcie nawiasu klamrowego wyróżnik trójmianu kwadratowego jest dodatni, czyli równanie ma dwa rozwiązania. Przypadek drugi: nawias, k, minus, cztery, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, zero dla k, równa się, cztery. Dla k, należy do, nawias klamrowy, trzy przecinek cztery, zamknięcie nawiasu klamrowego równanie ma jedno rozwiązanie. Przypadek trzeci: nawias, k, minus, cztery, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mniejszy niż, zero dla k, należy do, zbiór pusty. Równanie zawsze będzie posiadało rozwiązanie lub rozwiązania.

Ilustracja czwarta. Określimy liczbę pierwiastków równania nawias, k, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, k, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, x, plus, jeden, równa się, zero w zależności od wartości parametru k. Napiszemy wzrór funkcji f nawias, k, zamknięcie nawiasu. f od k równa się klamra otwierająca układ dwóch równań. Równanie pierwsze 2 dla k należących do zbioru liczb rzeczywistych bez 3 i 4. Równanie drugie 1 dla k należących do zbioru otwarcie nawiasu klamrowego 3, 4 zamknięcie nawiasu klamrowego. Funkcja f nawias, k, zamknięcie nawiasu określa, dla jakiego rzeczywistego k równanie ma dwa rozwiązania, a dla jakiego k ma jedno rozwiązanie.

Ilustracja piąta. Naszkicujemy wykres funkcji y, równa się, f nawias, k, zamknięcie nawiasu, która każdej wartości parametru k przyporządkowuje liczbę rozwiązań równania nawias, k, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, k, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, x, plus, jeden, równa się, zero. Rysunek przedstawia pierwszą ćwiartkę układu współrzędnych z poziomą osią k od zera do pięciu i z pionową osią f nawias, k, zamknięcie nawiasu od zera do dwóch. Na płaszczyźnie narysowano wykres składający się z poziomej prostej o równaniu f nawias, k, zamknięcie nawiasu, równa się, dwa pozbawionej dwóch punktów o współrzędnych nawias, trzy, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, cztery, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu. Usunięcie punktów zaznaczono pustymi kółkami na prostej. Do wykresu funkcji należą jeszcze dwa punkty leżące poza prostą, zaznaczone zamalowanymi kółkami. Mają one współrzędne: nawias, trzy, przecinek, jeden, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, cztery, przecinek, jeden, zamknięcie nawiasu. Wykres funkcji f nawias, k, zamknięcie nawiasu pokazuje, dla jakiego rzeczywistego k równanie ma dwa rozwiązania, a dla jakiego rzeczywistego k ma jedno rozwiązanie.