Galeria zdjęć interaktywnych

Polecenie 1

Zapoznaj się z galerią zdjęć interaktywnych pokazującą sposób rozwiązywania równania wymiernego z wartością bezwzględną z wykorzystaniem definicji wartości bezwzględnej.

Rtib6O7XsmB5y
Ilustracja pierwsza. Rozwiążemy równanie postaci x+1x-3-3x-2=2. Najpierw ustalimy dziedzinę równania. D=ℝ∖{2;3}
1

1. {audio}Najpierw ustalimy dziedzinę równania.

R1OPFc5oFuanM
Ilustracja druga. Skorzystamy z definicji wartości bezwzględnej. Zapiszemy dwa układy równań. x+1= klamra otwierająca układ równań. Równanie pierwsze x dodać 1 dla x większych równych minus 1, równanie drugie minus otwarcie nawiasu x dodać1 zamknięcie nawiasu dla x mniejszych od minus 1. Następnie mamy: x-2= klamra otwierająca układ równań. Równanie pierwsze. x odjąć 2 dla x większych równych 2, równanie drugie minus otwarcie nawiasu x odjąć 2 zamknięcie nawiasu dla x mniejszych od 2.
1

1. {audio}Skorzystamy z definicji wartości bezwzględnej.

R1WKlNP0QlLOp
Ilustracja trzecia. Najpierw zapiszemy równanie dla x∈-∞,-1. Dla tego przedziału nasza równość przyjmuje postać -x-1x-3+3x-2=2. Sprowadzamy ułamki lewej strony równania do wspólnego mianownika, otrzymując -x-1x-2+3x-3x-3x-2=2. Następnie wymnażamy nawiasy. -x2+2x-x+2+3x-9x-3x-2=2 Redukujemy wyrazy podobne. -x2+4x-7x-3x-2=2 Wymnażamy czynniki znajdujące się w mianowniku i pozbywamy się ułamka. -x2+4x-7=2x2-5x+6 Wymnażamy czynniki prawej strony równania. -x2+4x-7=2x2-10x+12 Przyrównujemy liczby do zera i redukujemy wyrazy podobne. -3x2+14x-19=0. Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego. Δ=196-228=-32<0 Wnioskujemy więc, że równanie nie ma rozwiązania, ponieważ wyróżnik jest ujemny.
1
2

1. {audio}Najpierw zapiszemy równanie dla x∈-∞,-1.

2. {audio}Równanie nie ma rozwiązania, bo delta jest ujemna.

R2VORkozEMCGv
Ilustracja czwarta. Przeanalizujemy rozwiązanie równania dla x∈-1,2. Nasze równanie przyjmuje wtedy następującą postać: x+1x-3-3-x+2=2. Wyciągamy minus z mianownika drugiego ułamka. x+1x-3+3x-2=2 Sprowadzamy ułamki lewej strony równania do wspólnego mianownika. x+1x-2+3x-3x-3x-2=2 Wymnażamy czynniki w liczniku. x2-x-2+3x-9x-3x-2=2 Redukujemy wyrazy podobne w liczniku. x2+2x-11x-3x-2=2 Pozbywamy się ułamka. x2+2x-11=2x-3x-2 Wymnażamy nawiasy prawej strony równania. x2+2x-11=2x2-5x+6 Wymnażamy dalej prawą stronę równania. x2+2x-11=2x2-10x+12 Przyrównujemy do zera i redukujemy wyrazy podobne. -x2+12x-23=0 Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego. Δ=144-92=52 Pierwiastek wyróżnika wynosi Δ=213. Obliczamy miejsca zerowe. x1=-12-213-2=6+13∉1;2 oraz x1=-12+213-2=6-13∉1;2 Równanie nie ma rozwiązania, ponieważ miejsca zerowe nie należą do dziedziny.
1
2

1. {audio}Przeanalizujemy rozwiązanie równania dla x∈-1,2.

2. {audio}Równanie nie ma rozwiązania, ponieważ miejsca zerowe nie należą do dziedziny.

R1CUxGMy55lzQ
Ilustracja piata. Przeanalizujemy rozwiązanie równania w ostatnim przedziale, czyli x∈2;+∞∖3. Dla tego przedziału nasze równanie przyjmuje postać x+1x-3-3x-2=2. Sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika. x+1x-2-3x-3x-3x-2=2 Wymnażamy nawiasy w liczniku. x2-x-2-3x+9x-3x-2=2 Redukujemy wyrazy podobne w liczniku. x2-4x+7x-3x-2=2. Pozbywamy się mianownika. x2-4x+7=2x-3x-2 Wymnażamy nawiasy prawej strony równania. x2-4x+7=2x2-5x+6 Wymnażamy prawą stronę równania. x2-4x+7=2x2-10x+12 Przyrównujemy równanie do zera i redukujemy wyrazy podobne. -x2+6x-5=0 Mnożymy obie strony przez minus jeden. x2-6x+5=0 Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego. Δ=36-20=16 Pierwiastek trójmianu wynosi Δ=4. Obliczamy miejsca zerowe. x1=6-42=1∉2;+∞∖3 oraz x2=6+42=5∈2;+∞∖3 Odpowiedź: Rozwiązaniem równania jest x=5, czyli równanie ma jedno rozwiązanie.
1
2

1. {audio}Przeanalizujemy rozwiązanie równania w ostatnim przedziale.

2. {audio}Równanie ma jedno rozwiązanie.

Polecenie 2

Rozwiąż równanie x+2x−1+2x+1=1.

Przeczytaj
Sprawdź się