Jeżeli $W\left(x\right)$ i $P\left(x\right)$ są wielomianami, $P\left(x\right)$ nie jest wielomianem zerowym $\left(P\left(x\right)\ne 0\right)$, to równanie $\frac{W\left(x\right)}{P\left(x\right)}=0$ nazywamy równaniem wymiernym z jedną niewiadomą $x$.

Rozwiążemy równanie wymiernerównanie wymiernerównanie wymierne $\frac{1}{\left|x+1\right|}=1$.

Najpierw ustalimy dziedzinę równania.

$x+1\ne 0$

$x\ne \left(-1\right)$

$D=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{-1\right\}$

$\frac{1}{|x+1|}=1/\cdot |x+1|$

$1=\left|x+1\right|$

Skorzystamy z własności wartości bezwzględnej.

Dla $a>0$: $\left|x\right|=a\iff x=a$ lub $x=\left(-a\right)$.

Zatem mamy:

$x+1=1$ lub $x+1=\left(-1\right)$.

$x=0$, $x=\left(-2\right)$

Rozwiązaniem równania są liczby  $x=\left(-2\right)$, $x=0$.

Rozwiążemy równanie $\frac{-2}{\left|4-x\right|}=0$.

$D=\mathbb{R}\setminus \left\{4\right\}$

Mianownik równania jest różny od zera, zatem możemy pomnożyć obie strony równania przez $\left|4-x\right|$.

$\left(-2\right)=0·\left|4-x\right|$

$\left(-2\right)=0$

Otrzymaliśmy sprzeczność.

Równanie nie posiada rozwiązania.

Rozwiążemy równanie $\left|\frac{x-2}{x+2}\right|=2$.

Ustalając dziedzinę równania, mamy $x+2\ne 0$, $x\ne \left(-2\right)$.

$D=\mathbb{R}\setminus \left\{-2\right\}$

$\left|\frac{x-2}{x+2}\right|=2$

Skorzystamy najpierw z własności wartości bezwzględnej, że dla dowolnej liczby $x$ i $y\ne 0$ mamy $\left|\frac{x}{y}\right|=\frac{\left|x\right|}{\left|y\right|}$.

Zatem mamy $\frac{\left|x-2\right|}{\left|x+2\right|}=2|· \left|x+2\right|$

$\left|x-2\right|=2\left|x+2\right|$

$\left|x-2\right|=\left|2x+4\right|$

Teraz skorzystamy z własności wartości bezwzględnej $\left|a\right|=\left|b\right|\iff a=b$ lub $a=\left(-b\right)$.

$x-2=2x+4$ lub $x-2=-\left(2x+4\right)$

$-x=6$ lub $x-2=\left(-2x\right)-4$

$x=\left(-6\right)$ lub $3x=\left(-2\right)$

$x=\left(-\frac{2}{3}\right)$.

Rozwiązania równania to  $x=(-\frac{2}{3})$, $x=\left(-6\right)$.

Rozwiążemy równanie $\left|\frac{1-x}{x+3}\right|=x$.

$D=\mathbb{R}\setminus \left\{-3\right\}$

Skorzystamy z definicji wartości bezwzględnej i rozpatrzymy dwa przypadki.

1) Jeżeli $\frac{1-x}{x+3}\ge 0\mid · {\left(x+3\right)}^2$

$\left(1-x\right)\left(x+3\right)\ge 0$

$x=1$ lub $x=\left(-3\right)$

R14xb7oTiqrzP

Rysunek przedstawia poziomą oś $X$ z zaznaczonymi na niej liczbami: minus 3 i jeden. Liczby zaznaczono zamalowanymi kółkami i poprowadzono przez nie wykres wielomianu w kształcie paraboli z ramionami skierowanymi w dół, tak, że od minus nieskończoności do minus trzech wykres znajduje się pod osią, w minus trójce przechodzi nad oś i wraca pod oś w punkcie jeden. Fragment nad osią oznaczono plusami znajdującymi się między osią a wykresem.

$x\in ⟨-3,1⟩\wedge x\ne -3$

Mamy wtedy $\frac{1-x}{x+3}=x$.

$\left(1-x\right)=x\left(x+3\right)$

$1-x=x^2+3x$

$x^2+4x-1=0$

$\mathrm{\Delta }=16+4=20\Rightarrow \sqrt{\mathrm{\Delta }}=2\sqrt{5}$

$x_1=\frac{-4-2\sqrt{5}}{2}=-2-\sqrt{5}\notin ⟨-3,1⟩$

$x_2=\frac{-4+2\sqrt{5}}{2}=-2+\sqrt{5}\in ⟨-3,1⟩,-2+\sqrt{5}\ne -3$

2) Jeżeli $\frac{1-x}{x+3}<0$

$\left(1-x\right)\left(x+3\right)<0$

$x=1$ lub $x=\left(-3\right)$

RkKp3O9kqeHzS

Rysunek przedstawia poziomą oś $X$ z zaznaczonymi na niej liczbami: minus 3 i jeden. Liczby zaznaczono niezamalowanymi kółkami i poprowadzono przez nie wykres wielomianu w kształcie paraboli z ramionami skierowanymi w dół, tak, że od minus nieskończoności do minus trzech wykres znajduje się pod osią, w minus trójce przechodzi nad oś i wraca pod oś w punkcie jeden. Fragmenty pod osią oznaczono minusami znajdującymi się między osią a wykresem.

$x\in \left(-\infty ,-3\right)\cup \left(1,\infty \right)$

Wtedy mamy $-\frac{1-x}{x+3}=x$.

$-\left(1-x\right)=x\left(x+3\right)$

$-1+x=x^2+3x$

$x^2+2x+1=0$

${\left(x+1\right)}^2=0$

$x=\left(-1\right)\notin \left(-\infty ,-3\right)\cup \left(1,\infty \right)$

Rozwiązaniem równania jest liczba  $x=\left(-2\right)+\sqrt{5}$.

Rozwiążemy równanie $\frac{\left|x-4\right|}{x}=\frac{\left|x\right|}{x+2}$.

Dziedziną równania jest $\mathbb{R}\setminus \left\{-2,0\right\}$.

Korzystając z definicji wartości bezwzględnej, mamy:

$\left|x-4\right|=\{\begin{array}{l}x-4\text{ dla }x\ge 4\\ -\left(x-4\right)\text{ dla }x<4\end{array}$

$\left|x\right|=\{\begin{array}{l}x\text{ dla }x\ge 0\\ -x\text{ dla }x<0\end{array}$

1) $x\in \left(-\infty ,0\right)-\left\{-2\right\}$

Równanie przyjmuje postać $\frac{-x+4}{x}=\frac{-x}{x+2}$.

Korzystając z własności proporcji, mamy:

$-x^2=\left(-x+4\right)\left(x+2\right)$

$-x^2=-x^2-2x+4x+8$

$-2x=8$

$x=\left(-4\right)\in \left(-\infty ,0\right)-\left\{-2\right\}$

2) $x\in \left(0,4\right)$

Równanie przyjmuje postać $\frac{-x+4}{x}=\frac{x}{x+2}$.

$x^2=\left(-x+4\right)\left(x+2\right)$

$x^2=-x^2-2x+4x+8$

$2x^2-2x-8=0$

$x^2-x-4=0$

$\mathrm{\Delta }=1+16=17\Rightarrow \sqrt{\mathrm{\Delta }}=\sqrt{17}$

$x_1=\frac{1-\sqrt{17}}{2}\notin \left(0,4\right)$

$x_2=\frac{1+\sqrt{17}}{2}\in \left(0,4\right)$

3) $x\in \left.⟨4,\infty \right)$

Równanie przyjmuje postać:

$\frac{x-4}{x}=\frac{x}{x+2}$.

$x^2=\left(x-4\right)\left(x+2\right)$

$x^2=x^2+2x-4x-8$

$2x=\left(-8\right)$

$x=\left(-4\right)\notin \left.⟨4,\infty \right)$

Rozwiązaniem równania są liczby  $x=(-4)$, $x=\frac{1+\sqrt{17}}{2}$.

równanie $\frac{W\left(x\right)}{P\left(x\right)}=0$ z jedną niewiadomą $x$, gdzie $W\left(x\right)$ i $P\left(x\right)$ są wielomianami, $P\left(x\right)$ nie jest wielomianem zerowym $\left(P\left(x\right)\ne 0\right)$