Galeria zdjęć interaktywnych

Polecenie 1

Zapoznaj się z przykładem przedstawionym w galerii zdjęć interaktywnych, a następnie wykonaj polecenie 2 i 3.

RDbgMn4qltRgQ

Ilustracja interaktywna numer jeden. Rozwiąż nierówność,

\frac{(x^{2} - 9) (x - 1) - (x + 3) (2 x - 6)}{(x^{2} - 1) (x + 2) + (x - 1) (- 3 x - 11)} \geq \frac{2}{x^{2} - 1}

. Zauważmy, że wyrażenie w mianowniku musi przyjmować wartości różne od zera. Założenia,

(x^{2} - 1) (x + 2) + (x - 1) (- 3 x - 11) \neq 0 \land x^{2} - 1 \neq 0

a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)

(x - 1) (x + 1) (x + 2) + (x - 1) (- 3 x - 11) \neq 0 \land x^{2} \neq 1

(x - 1) [(x + 1) (x + 2) - 3 x - 11] \neq 0 \land x \neq 1 \land x \neq - 1

(x - 1) [x^{2} + 3 x + 2 - 3 x - 11] \neq 0

(x - 1) [x^{2} - 9] \neq 0

(x - 1) (x - 3) (x + 3) \neq 0

x \neq - 3 \land x \neq - 1 \land x \neq 1 \land x \neq 3

D = ℝ \ \{- 3; - 1; 1; 3\}

RwKLIsiLOVZvX

RGv6innnn9E0P

RIIZW6TyooXpG

R1NdkB42n67SV

Polecenie 2

R1CdJqUqkN5IG

Liczba $a$ jest najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność $\frac{x^{2} (2 x - 3) + 4 x (2 x - 3)}{8 x^{3} - 27} \leq \frac{- 3}{4 x^{2} + 6 x + 9}$ .

Zakoduj trzy pierwsze cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego liczby $"|"\frac{a}{\sqrt{33}}"|"$ .
............

Polecenie 3

Oblicz ile liczb naturalnych spełnia nierówność

$\frac{(x - 2) (x^{2} - 4) - (x - 2) (5 x - x^{2} + 3)}{x^{4} - 1} \leq 0$ .

Założenie: $x^{4} - 1 \neq 0$ ,

$x \neq - 1, x \neq 1$ .

$D = ℝ ∖ \{- 1; 1\}$ .

Rozwiążemy nierówność $\frac{(x - 2) (x^{2} - 4) - (x - 2) (5 x - x^{2} + 3)}{x^{4} - 1} \leq 0$ .

Przedstawmy wyrażenie w liczniku i w mianowniku w postaci iloczynowej

$\frac{(x - 2) [x^{2} - 4 - (5 x - x^{2} + 3)]}{x^{4} - 1} \leq 0$ ,

$\frac{(x - 2) (2 x^{2} - 5 x - 7)}{(x^{2} - 1) (x^{2} + 1)} \leq 0$ ,

$\frac{2 (x - 2) (x - 3 \frac{1}{2}) (x + 1)}{(x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1)} \leq 0$ ,

$\frac{2 (x - 2) (x - 3 \frac{1}{2})}{(x - 1) (x^{2} + 1)} \leq 0$ .

Zapisujemy nierówność w postaci równoważnej nierówności iloczynowej

$\frac{2 (x - 2) (x - 3 \frac{1}{2})}{(x - 1) (x^{2} + 1)} \leq 0 \Leftrightarrow 2 (x - 2) (x - 3 \frac{1}{2}) (x - 1) (x^{2} + 1) \leq 0 \land x \neq - 1, x \neq 1$ .

Wielomian $R (x) = 2 (x - 2) (x - 3 \frac{1}{2}) (x - 1) (x^{2} + 1)$ ma trzy pierwiastki jednokrotne: $1$ ; $2$ ; $3 \frac{1}{2}$ .

Uwzględniając dziedzinę $D = ℝ ∖ \{- 1; 1\}$ , rozwiązaniem nierówności jest zbiór $(- \infty; - 1) \cup (- 1; 1) \cup ⟨2, 3 \frac{1}{2}⟩$ .

R1IZ0OeRB4Zub

Ilustracja przedstawia poziomą oś X oraz wykres funkcji przyjmujący wartości dodatnie w przedziale (1; 2>∪<3,5; ∞) oraz wartości ujemne w przedziale (-∞; -1)∪(-1; 1)∪(2; 3,5).

Liczby naturalne spełniające nierówność to: $0$ ; $2$ ; $3$ .

Trzy liczby naturalne spełniają nierówność $\frac{(x - 2) (x^{2} - 4) - (x - 2) (5 x - x^{2} + 3)}{x^{4} - 1} \leq 0$ .

Przeczytaj

Sprawdź się