Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

RX9zjJQFpemAK1

Ćwiczenie 1

Połącz każdą nierówność ze zbiorem jej rozwiązań.

\frac{x^{2} (x^{2} - 4) - 6 x (x^{2} - 4) + 9 (x^{2} - 4)}{x^{3} - 4 x} \leq 0

Możliwe odpowiedzi: 1. element 1 prawy, 2. element 2 prawy, 3. element 3 prawy, 4. element 5 prawy, 5. element 4 prawy element 2 lewy Możliwe odpowiedzi: 1. element 1 prawy, 2. element 2 prawy, 3. element 3 prawy, 4. element 5 prawy, 5. element 4 prawy element 3 lewy Możliwe odpowiedzi: 1. element 1 prawy, 2. element 2 prawy, 3. element 3 prawy, 4. element 5 prawy, 5. element 4 prawy element 4 lewy Możliwe odpowiedzi: 1. element 1 prawy, 2. element 2 prawy, 3. element 3 prawy, 4. element 5 prawy, 5. element 4 prawy element 5 lewy Możliwe odpowiedzi: 1. element 1 prawy, 2. element 2 prawy, 3. element 3 prawy, 4. element 5 prawy, 5. element 4 prawy

Połącz każdą nierówność ze zbiorem jej rozwiązań.

$\frac{x^{2} (x^{2} - 4) - 6 x (x^{2} - 4) + 9 (x^{2} - 4)}{x^{3} - 4 x} \leq 0$
$\frac{{(x - 3)}^{2} (x - 2) - {(x - 3)}^{2} (x + 5)}{(x^{2} - 4)} \leq 0$
$\frac{{(x - 3)}^{2}}{{(x - 2)}^{2} (2 x - 4) - {(x - 2)}^{2} (x - 6)} \geq 0$
$\frac{- 2 x^{3} + 12 x^{2} - 18 x}{{(x + 2)}^{2} (3 x - 7) - {(x + 2)}^{2} (x - 5)} > 0$

R1F8jn6olc5pN1

Ćwiczenie 2

Zbiorem rozwiązań nierówności $"|"\frac{x^{3} - 4 x^{2} + 4 x}{4 x^{3} - 4 x^{2} + x}"|" \geq 4 "|"\frac{x - 2}{2 x - 1}"|" + 5$ jest

$x \in "⟨"\frac{1}{3}; \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}; \frac{7}{11}"⟩"$
$x \in (- \infty; \frac{1}{3}"⟩" \cup "⟨"\frac{7}{11}; + \infty)$
$x \in (- \infty; - 1"⟩" \cup "⟨"5; + \infty)$
$x \in "⟨"- 1; \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}; 5"⟩"$

R72N2skq08ocb2

Ćwiczenie 3

Oceń prawdziwość każdego ze zdań. Wybierz prawda, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub fałsz, jeśli zadanie jest fałszywe.

fałsz, fałsz, fałsz, prawda, prawda, prawda

Liczby naturalne, które spełniają nierówność $\frac{x^{3} {(x^{2} + 2)}^{2} - 9 x}{(x^{2} + x + 3) (x^{2} - x + 3) (x - 5)} < 0$
to $2$ ; $3$ ; $4$ . ............

Zbiorem rozwiązań nierówności $\frac{3 x^{3} + 5 x}{(x + 2) (x^{2} + 6) - (1 - 2 x^{2}) (x + 2)} \leq \frac{3}{x^{2} - 4}$ jest $x \in "⟨"- 3; - 2) \cup "⟨"1; 2)$ , ............

Nierówność $\frac{(x - 1) (x - 2) - (x - 1) (x + 5)}{x^{3} - 1} > 5$ nie ma rozwiązania. ............

Jeśli $a = 3$ , to nierówności $\frac{x^{3} - 2 x^{2} + a x}{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 a x} \leq - a$ nie ma rozwiązania. ............

RX7LluRWhK6H92

Ćwiczenie 4

Dana jest funkcja $f (x) = (\frac{5 p^{4} - 5 p}{p^{4} - 18 p^{2} + 81}) x + \frac{13 (p - 9) - 13 p (p - 9)}{p^{2} (p - 9) + (p - 9)}$ , $x \in ℝ$ .

Wyznacz zbiór wszystkich wartości parametru $p$ , dla których funkcja $f$ jest rosnąca i jednocześnie jej wykres przecina oś $Y$ powyżej punktu o rzędnej $3$ . Zakoduj wartość bezwzględną sześcianu najmniejszej liczby całkowitej z wyznaczonego zbioru.
............

REJp3EKysiwBo2

Ćwiczenie 5

Które z podanych liczb należą do dziedziny funkcji $g (x) = \sqrt{\frac{2 - 4 x}{x^{3} - 3 x^{2}} - \frac{4 - 2 x}{x^{3} + x^{2}}}$ ?

$- 7$
$- 1$
$2$
$1$

Rgx0Ts5XiKJqi

Ćwiczenie 6

Dane są funkcje $m (x) = \frac{4 x^{4} - 10 x^{2} + 6 x}{8 x^{2} - 8 x}$ , $n (x) = \frac{1}{4}$ . Funkcja $m$ przyjmuje wartości nie większe niż funkcja $n$ , dla:

$x \in "⟨"- 2; 0) \cup (0; 1)$
$x \in (- \infty; - 2"⟩" \cup (1; + \infty)$
$x \in (- \infty; - 2"⟩"$
$x \in "⟨"- 2; 0) \cup (0; 1) \cup (1; + \infty)$

Ćwiczenie 7

Dana jest funkcja $h (x) = 2 x^{3} + 2 x^{2} + 6 x + 6$ . Rozwiąż nierówność $\frac{h (x - 1)}{x^{4} + 8 x} < 2 x$ .

Wyznacz $h (x - 1)$ i rozwiąż nierówność.

Podajemy konieczne założenie: $x^{4} + 8 x \neq 0$ ,

$x (x^{3} + 8) \neq 0$ ,

$x \neq 0$ , $x^{3} + 8 \neq 0$

$x \neq 0$ , $x \neq - 2$ .

$D = ℝ ∖ \{- 2; 0\}$ .

Obliczmy $h (x - 1)$ .

I sposób obliczenia $h (x - 1)$

$h (x - 1) = 2 {(x - 1)}^{3} + 2 {(x - 1)}^{2} + 6 (x - 1) + 6 =$

$= 2 (x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1) + 2 (x^{2} - 2 x + 1) + 6 x - 6 + 6 =$

$= 2 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x - 2 + 2 x^{2} - 4 x + 2 + 6 x =$

$= 2 x^{3} - 4 x^{2} + 8 x$

II sposób obliczenia $h (x - 1)$

$h (x) = 2 x^{2} (x + 1) + 6 (x + 1) = (2 x^{2} + 6) (x + 1)$

$h (x - 1) = [2 {(x - 1)}^{2} + 6] [(x - 1) + 1] =$

$= (2 x^{2} - 4 x + 2 + 6) x = 2 x^{3} - 4 x^{2} + 8 x$

Rozwiążmy nierówność

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 8 x}{x^{4} + 8 x} < 2 x$ .

Sprowadźmy licznik i mianownik do postaci iloczynowej wyłączając wspólny czynnik przed nawias, czyli

$\frac{2 x (x^{2} - 2 x + 4)}{x (x^{3} + 8)} < 2 x$ ,

$\frac{2 (x^{2} - 2 x + 4)}{(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)} < 2 x$ .

Przekształćmy nierówność $\frac{2}{x + 2} < 2 x$ do postaci

$\frac{2}{x + 2} - 2 x < 0$ ,

$\frac{2}{x + 2} - \frac{2 x (x + 2)}{x + 2} < 0 | : 2$ .

Pomnóżmy obie strony nierówności przez ${(x + 2)}^{2}$

$\frac{1 - x^{2} - 2 x}{x + 2} < 0 | \cdot {(x + 2)}^{2}$ , gdzie ${(x + 2)}^{2} > 0$ .

Wówczas

$(- x^{2} - 2 x + 1) (x + 2) < 0$ ,

$- (x + 1 + \sqrt{2}) (x + 1 - \sqrt{2}) (x + 2) < 0$

Wielomian $W (x) = - (x + 1 + \sqrt{2}) (x + 1 - \sqrt{2}) (x + 2)$ ma trzy pierwiastki jednokrotne: $- 1 - \sqrt{2}$ ; $- 2$ ; $- 1 + \sqrt{2}$ .

R1F4tJYzo7n0R

Ilustracja przedstawia poziomą oś X oraz wykres funkcji przyjmujący wartości dodatnie w przedziale (-∞;-1-2)∪(-2;0)∪(0;-1+2) oraz wartości ujemne w przedziale (-1-2; -2)∪(-1+2; ∞).

Uwzględniając dziedzinę $D = ℝ ∖ \{- 2; 0\}$ , rozwiązaniem nierówności jest zbiór $(- 1 - \sqrt{2}; - 2) \cup (- 1 + \sqrt{2}; + \infty)$ .

Ćwiczenie 8

Uzasadnij, że funkcja określona wzorem $f (x) = \frac{(x^{3} - x + 6) (x^{2} - 5 x + 4)}{x^{2} - 2 x - 8}$ przyjmuje wartości nieujemne dla $x \in ⟨1; 4) \cup (4; + \infty)$ .

Rozwiąż nierówność $\frac{(x^{3} - x + 6) (x^{2} - 5 x + 4)}{x^{2} - 2 x - 8} \geq 0$ .

Podajmy konieczne założenie

$x^{2} - 2 x - 8 \neq 0$ ,

$(x + 2) (x - 4) \neq 0$ ,

$x \neq - 2$ , $x \neq 4$ .

$D = ℝ ∖ \{- 2; 4\}$ .

Przedstawmy licznik i mianownik nierówności

$\frac{(x^{3} - x + 6) (x^{2} - 5 x + 4)}{x^{2} - 2 x - 8} \geq 0$

w postaci iloczynowej, czyli

$\frac{(x + 2) (x^{2} - 2 x + 3) (x - 1) (x - 4)}{(x + 2) (x - 4)} \geq 0$ .

Po skróceniu wyrażeń $x + 2$ , $x - 4$ otrzymujemy

$(x^{2} - 2 x + 3) (x - 1) \geq 0$

Fragment wykresu funkcji $W (x) = (x^{2} - 2 x + 3) (x - 1)$ przestawiony jest poniżej.

RjdZums0bywXd

Ilustracja przedstawia poziomą oś X oraz wykres funkcji przyjmujący wartości dodatnie w przedziale <-1;4)∪(4;∞) oraz wartości ujemne w przedziale (-∞;-2)∪(-2;1).

Uwzględniając dziedzinę nierówności wymiernej $D = ℝ ∖ \{- 2; 4\}$ rozwiązaniem nierówności jest zbiór $x \in ⟨1; 4) \cup (4; + \infty)$ .

c.k.d.

Galeria zdjęć interaktywnych

Dla nauczyciela