• $\frac{W_1\left(x\right)}{W_2\left(x\right)}>0 \iff W_1\left(x\right)·W_2\left(x\right)>0 \wedge W_2\left(x\right)\ne 0$,

• $\frac{W_1\left(x\right)}{W_2\left(x\right)}<0 \iff W_1\left(x\right)·W_2\left(x\right)<0 \wedge W_2\left(x\right)\ne 0$,

• $\frac{W_1\left(x\right)}{W_2\left(x\right)}\ge 0 \iff W_1\left(x\right)·W_2\left(x\right)\ge 0 \wedge W_2\left(x\right)\ne 0$,

• $\frac{W_1\left(x\right)}{W_2\left(x\right)}\le 0 \iff W_1\left(x\right)·W_2\left(x\right)\le 0 \wedge W_2\left(x\right)\ne 0$.

Wyznaczmy zbiór rozwiązań nierówności

$\frac{x^3+2x^2}{\left(x+2\right)\left(x^2+6\right)-\left(x+2\right)\left(1-2x^2\right)}\ge \frac{1}{10}$

Rozwiązanie:

Podajemy konieczne założenie: $\left(x+2\right)\left(x^2+6\right)-\left(x+2\right)\left(1-2x^2\right)\ne 0$.

Wyłączmy wspólny czynnik przed nawias

$\left(x+2\right)\left[x^2+6-\left(1-2x^2\right)\right]\ne 0$,

$\left(x+2\right)\left(x^2+6-1+2x^2\right)\ne 0$,

$\left(x+2\right)\left(3x^2+5\right)\ne 0$,

$x+2\ne 0$, $3x^2+5\ne 0$

$x\ne -2$, $x^2\ne -\frac{5}{3}$.

Zatem $D=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{-2\right\}$.

Zapiszmy nierówność w postaci $\frac{x^3+2x^2}{\left(x+2\right)\left(3x^2+5\right)}\ge \frac{1}{10}$ korzystając z postaci iloczynowej mianownika.

W ułamku algebraicznym $\frac{x^3+2x^2}{\left(x+2\right)\left(3x^2+5\right)}$ wyłączmy z licznika $x^2$ przed nawias

$\frac{x^2\left(x+2\right)}{\left(x+2\right)\left(3x^2+5\right)}\ge \frac{1}{10}$.

Po skróceniu wyrażenia $x+2$ otrzymujemy

$\frac{x^2}{3x^2+5}\ge \frac{1}{10}$.

Pomnóżmy obie strony nierówności przez $3x^2+5$

$\frac{x^2}{3x^2+5}\ge \frac{1}{10} |\cdot \left(3x^2+5\right)$.

Dla każdej liczby $x\in D$, $3x^2+5>0$.

Zwrot nierówności nie ulega zmianie, ponieważ mnożymy nierówność przez wyrażenie o dodatnim znaku, czyli nierówność ma postać

$x^2\ge \frac{1}{10}\left(3x^2+5\right) |\cdot 10$,

$10x^2\ge 3x^2+5$,

$7x^2-5\ge 0$,

$7\left(x^2-\frac{5}{7}\right)\ge 0$,

$7\left(x-\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}}\right)\left(x+\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}}\right)\ge 0$,

$7\left(x-\frac{\sqrt{35}}{7}\right)\left(x+\frac{\sqrt{35}}{7}\right)\ge 0$.

Wielomian $W\left(x\right)=7\left(x-\frac{\sqrt{35}}{7}\right)\left(x+\frac{\sqrt{35}}{7}\right)$ ma dwa pierwiastki jednokrotne: $\left(-\frac{\sqrt{35}}{7}\right)$ oraz $\frac{\sqrt{35}}{7}$.

Uwzględniając dziedzinę nierówności wymiernej $D=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{-2\right\}$ szkicujemy wykres.

RRUwsnjqq5qEI

Ilustracja przedstawia poziomą oś X oraz wykres funkcji przyjmujący wartości dodatnie w przedziale $(-\infty ;-2)\cup (-2;-\frac{\sqrt{35}}{7}>\cup <\frac{\sqrt{35}}{7};\infty )$ oraz wartości ujemne w przedziale $(-\frac{\sqrt{35}}{7};\frac{\sqrt{35}}{7})$.

Zbiorem rozwiązań nierówności jest zbiór $\left(-\infty ;-2\right)\cup \left(-2;-\frac{\sqrt{35}}{7}\right.⟩\cup \left.⟨\frac{\sqrt{35}}{7};+\infty \right)$.

Odpowiedź: Zbiorem rozwiązań nierówności jest zbiór $\left(-\infty ;-2\right)\cup \left(-2;-\frac{\sqrt{35}}{7}\right.⟩\cup \left.⟨\frac{\sqrt{35}}{7};+\infty \right)$.

Dane są funkcje $f$, $g$ określone wzorem $f\left(x\right)=\frac{\left(2x-3\right)\left(2x^2+5\right)-\left(2x-3\right)\left(-3+x^2\right)}{8x^3-36x^2+54x-27}$, $g\left(x\right)=\frac{1}{4x-6}$. Dla jakich argumentów funkcja $f$ przyjmuje wartości większe niż funkcja $g$?

Rozwiązanie:

Rozwiążmy nierówność $\frac{\left(2x-3\right)\left(2x^2+5\right)-\left(2x-3\right)\left(-3+x^2\right)}{8x^3-36x^2+54x-27}>\frac{1}{4x-6}$.

Podajmy konieczne założenia: $8x^3-36x^2+54x-27\ne 0$ oraz $4x-6\ne 0$.

Rozpatrując pierwsze założenie zauważmy wzór skróconego mnożenia:

${\left(a-b\right)}^3=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3$,

${\left(2x-3\right)}^3={\left(2x\right)}^3-3{\left(2x\right)}^2·3+3·2x·3^2-3^3=8x^3-36x^2+54x-27$.

Wówczas

${\left(2x-3\right)}^3\ne 0$,

$2x-3\ne 0$,

$x\ne 1\frac{1}{2}$.

Z drugiego założenia wynika, że $4x\ne 6$, czyli ponownie otrzymujemy $x\ne 1\frac{1}{2}$.

Zatem $D=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{1\frac{1}{2}\right\}$.

W liczniku wyłączmy wspólny czynnik przed nawias

$\frac{\left(2x-3\right)\left(2x^2+5\right)-\left(2x-3\right)\left(-3+x^2\right)}{{\left(2x-3\right)}^3}>\frac{1}{4x-6}$,

$\frac{\left(2x-3\right)\left[2x^2+5-\left(-3+x^2\right)\right]}{{\left(2x-3\right)}^3}>\frac{1}{4x-6}$,

$\frac{2x^2+5-\left(-3+x^2\right)}{{\left(2x-3\right)}^2}>\frac{1}{4x-6}$,

$\frac{2x^2+5+3-x^2}{{\left(2x-3\right)}^2}>\frac{1}{4x-6}$,

$\frac{x^2+8}{{\left(2x-3\right)}^2}>\frac{1}{4x-6}$.

Sprowadzamy ułamki algebraiczne do wspólnego mianownika

$\frac{x^2+8}{{\left(2x-3\right)}^2}>\frac{1}{2\left(2x-3\right)}$,

$\frac{2\left(x^2+8\right)}{2{\left(2x-3\right)}^2}>\frac{2x-3}{2{\left(2x-3\right)}^2}$

$\frac{2x^2+16}{2{\left(2x-3\right)}^2}>\frac{2x-3}{2{\left(2x-3\right)}^2}$,

$\frac{2x^2-2x+19}{2{\left(2x-3\right)}^2}>0$.

Korzystamy z twierdzenia

$\frac{W_1\left(x\right)}{W_2\left(x\right)}>0 \iff W_1\left(x\right)·W_2\left(x\right)>0 \wedge W_2\left(x\right)\ne 0$

i zapisujemy nierówność w postaci równoważnej nierówności iloczynowej

$\frac{2x^2-2x+19}{2{\left(2x-3\right)}^2}>0\iff 2\left(2x^2-2x+19\right){\left(2x-3\right)}^2>0 \wedge x\ne 1\frac{1}{2}$.

Jedynym dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu $W\left(x\right)=2\left(2x^2-2x+19\right){\left(2x-3\right)}^2$ jest liczba $1\frac{1}{2}$.

Uwzględniając dziedzinę nierówności wymiernej $D=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{1\frac{1}{2}\right\}$ szkicujemy wykres.

R1F7Ux1k8Z6ad

Ilustracja przedstawia poziomą oś X oraz wykres funkcji przyjmujący wartości dodatnie w przedziale $(-\infty ;1,5)\cup (1,5;\infty )$. Funkcja nie przyjmuje wartości ujemnych.

Rozwiązaniem nierówności jest zbiór $\mathrm{ℝ}\setminus \left\{1\frac{1}{2}\right\}$..

Odpowiedź: Funkcja $f$ przyjmuje wartości większe niż funkcja $g$ dla $x\in \mathrm{ℝ}\setminus \left\{1\frac{1}{2}\right\}$.

Inaczej: $f\left(x\right)>g\left(x\right)$ dla $x\in \mathrm{ℝ}\setminus \left\{1\frac{1}{2}\right\}$.

Rozwiążemy nierówność:

$\left|\frac{x^3+10x^2+25x}{x^3+8x^2+16x}\right|+\left|\frac{x+5}{x+4}\right|\le 6$.

Rozwiązanie:

Podajemy założenia: $x^3+8x^2+16x\ne 0$, $x+4\ne 0$

$x\left(x^2+8x+16\right)\ne 0$, $x\ne -4$

$x{\left(x+4\right)}^2\ne 0$, $x\ne -4$

$x\ne 0$, $x\ne -4$, $x\ne -4$.

Zatem $D=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{-4;0\right\}$.

Przedstawmy licznik i mianownik w postaci iloczynowej wyłączając wspólny czynnik przed nawias i stosując wzór skróconego mnożenia

$\left|\frac{x{\left(x+5\right)}^2}{x{\left(x+4\right)}^2}\right|+\left|\frac{x+5}{x+4}\right|\le 6$,

$\left|\frac{{\left(x+5\right)}^2}{{\left(x+4\right)}^2}\right|+\left|\frac{x+5}{x+4}\right|\le 6$,

${\left|\frac{x+5}{x+4}\right|}^2+\left|\frac{x+5}{x+4}\right|\le 6$.

Podstawiamy zmienną $k=\left|\frac{x+5}{x+4}\right|$, gdzie $x\ne -4$, $x\ne 0$.

Nierówność ma postać

$k^2+k-6\le 0$,

$\left(k+3\right)\left(k-2\right)\le 0$

Funkcja $g\left(k\right)=\left(k+3\right)\left(k-2\right)$ ma dwa miejsca zerowe: $\left(-3\right)$ oraz $2$.

RSZADtbUKUsoR

Ilustracja przedstawia poziomą oś X oraz wykres funkcji przyjmujący wartości dodatnie w przedziale $(-\infty ;-3>\cup <2;\infty )$ oraz wartości ujemne w przedziale $(-3;2)$.

Rozwiązaniem nierówności $\left(k+3\right)\left(k-2\right)\le 0$ jest $k\in ⟨-3,2⟩$.

Wracamy do podstawienia $k=\left|\frac{x+5}{x+4}\right|$, gdzie $x\ne -4$, $x\ne 0$.

Skoro $\left|\frac{x+5}{x+4}\right|\in ⟨-3,2⟩$ to

$-3\le \left|\frac{x+5}{x+4}\right|\le 2$.

Rozwiązaniem nierówności $-3\le \left|\frac{x+5}{x+4}\right|$ są wszystkie liczby rzeczywiste należące do dziedziny, czyli $x\in \mathrm{ℝ}\setminus \left\{-4;0\right\}$.

Rozwiązanie nierówności  $\left|\frac{x+5}{x+4}\right|\le 2$ przedstawmy poniżej

$\frac{x+5}{x+4}\le 2\wedge \frac{x+5}{x+4}\ge -2$

$\frac{x+5}{x+4}-2\le 0\wedge \frac{x+5}{x+4}+2\ge 0$

$\frac{x+5}{x+4}-\frac{2\left(x+4\right)}{x+4}\le 0\wedge \frac{x+5}{x+4}+\frac{2\left(x+4\right)}{x+4}\ge 0$

$\frac{x+5-\left(2x+8\right)}{x+4}\le 0\wedge \frac{x+5+2x+8}{x+4}\ge 0$,

$\frac{x+5-2x-8}{x+4}\le 0\wedge \frac{x+5+2x+8}{x+4}\ge 0$,

$\frac{-x-3}{x+4}\le 0\wedge \frac{3x+13}{x+4}\ge 0$,

$\left(-x-3\right)\left(x+4\right)\le 0\wedge \left(3x+13\right)\left(x+4\right)\ge 0$,

$-\left(x+3\right)\left(x+4\right)\le 0\wedge 3\left(x+4\frac{1}{3}\right)\left(x+4\right)\ge 0$.

Funkcja $m\left(x\right)=-\left(x+3\right)\left(x+4\right)$ ma dwa miejsca zerowe:$\left(-4\right)$ oraz $\left(-3\right)$,

Uwzględniając dziedzinę $D=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{-4;0\right\}$ szkicujemy wykres.

R148fEDqncUhO

Ilustracja przedstawia poziomą oś X oraz wykres funkcji przyjmujący wartości dodatnie w przedziale $(-4;-3>$ oraz wartości ujemne w przedziale $(-\infty ;-4)\cup (-3;0)\cup (0; \infty )$.

Rozwiązaniem nierówności $-\left(x+3\right)\left(x+4\right)\le 0$ jest zbiór $\left(-\infty ;-4\right)\cup \left.⟨-3;0\right)\cup \left(0;+\infty \right)$.

Funkcja $n\left(x\right)=3\left(x+4\frac{1}{3}\right)\left(x+4\right)$ ma dwa miejsca zerowe:$\left(-4\frac{1}{3}\right)$ oraz $\left(-4\right)$.

Uwzględniając dziedzinę $D=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{-4;0\right\}$ rozwiązaniem nierówności $-3\left(x+4\frac{1}{3}\right)\left(x+4\right)\le 0$ jest zbiór $\left(-\infty ;-4\frac{1}{3}\right.⟩\cup \left(-4;0\right)\cup \left(0;+\infty \right)$.

R1RJTCp9vErMp

Ilustracja przedstawia poziomą oś X oraz wykres funkcji przyjmujący wartości dodatnie w przedziale $<-4\frac{1}{3};-4>$ oraz wartości ujemne w przedziale $(-\infty ; -4\frac{1}{3})\cup (-4;0)\cup (0; \infty )$.

Obliczmy część wspólną  rozwiązań

$\left[\left(-\infty ;-4\right)\cup \left.⟨-3;0\right)\cup \left(0;+\infty \right)\right]\cap \left[\left(-\infty ;-4\frac{1}{3}\right.⟩\cup \left(-4;0\right)\cup \left(0;+\infty \right)\right]=$
$=\left(-\infty ;-4\frac{1}{3}\right.⟩\cup \left.⟨-3;0\right)\cup \left(0;+\infty \right)$.

Odpowiedź: Rozwiązaniem nierówności jest zbiór $\left(-\infty ;-4\frac{1}{3}\right.⟩\cup \left.⟨-3;0\right)\cup \left(0;+\infty \right)$.

dziedziną nierówności wymiernej są wszystkie liczby rzeczywiste za wyjątkiem pierwiastków wielomianu $W_2\left(x\right)$ znajdującego się w mianowniku danego wyrażenia $\frac{W_1\left(x\right)}{W_2\left(x\right)}$

$D=\mathrm{ℝ} \setminus \left\{x: W_2\left(x\right)=0\right\}$

pierwiastkiem wielomianu $W\left(x\right)$ nazywamy liczbę rzeczywistą $a$, dla której $W\left(a\right)=0$