Galeria zdjęć interaktywnych

Polecenie 1

Zapoznaj się z galerią zdjęć interaktywnych. Spróbuj najpierw samodzielnie rozwiązać przykłady, a następnie sprawdź poprawność rozwiązania analizując poszczególne zdjęcia.

Rq7h4VNHmgjPP
Ilustracja pierwsza przedstawia kartkę. Kartka zawiera przykład numer jeden. Rozwiążemy równanie: x+42x3−116−x22x−2=0I określimy krotność pierwiastków. Należy zauważyć, że lewa strona równania jest iloczynem czterech czynników. Aby iloczyn równał się 0, co najmniej jeden z nich musi być równy 0. Przypomnijmy nasze równanie: x+42x3−116−x22x−2=0. W ten sposób otrzymaliśmy cztery osobne równania i możemy zapisać: x−42=0 lub (x3−1)=0lub 16−x2=0lub 2x−2=0.
1
2

1. Lewa strona równania jest iloczynem czterech czynników. Aby iloczyn równał się 0, co najmniej jeden z nich musi być równy 0.{audio}

2. W ten sposób otrzymaliśmy cztery osobne równania.{audio}

R1KPvlUZs7gb3
Ilustracja druga przedstawia kartkę. Kartka zawiera kontynuację rozwiązania przykładu numer jeden. Rozwiązujemy cztery osobne równania, równanie pierwsze: x−42=0 Liczba 4 jest podwójnym pierwiastkiem pierwszego równania. Zatem: x=4. Kolejne równanie ma postać: x3−1=0. Liczba 1 jest pojedynczym pierwiastkiem drugiego równania. Zatem: x=1. Trzecie równanie: 16−x2=0. Liczby -4 i 4 są pojedynczymi pierwiastkami trzeciego równania. Zatem zapisujemy: x=−4lubx=4. Ostatnie równanie: 2x−2=0. Liczba 1 jest pojedynczym pierwiastkiem czwartego równania. Zatem: x=1.
1
2
3
4

1. Liczba 4 jest podwójnym pierwiastkiem pierwszego równania.{audio}

2. Liczba 1 jest pojedynczym pierwiastkiem drugiego równania.{audio}

3. Liczby -4 i 4 są pojedynczymi pierwiastkami trzeciego równania.{audio}

4. Liczba 1 jest pojedynczym pierwiastkiem czwartego równania.{audio}

R1LSgxT42qwvY
Ilustracja trzecia przedstawia kartkę. Kartka zawiera kontynuację rozwiązania przykładu numer jeden. Na postawie wykonanych na poprzedniej grafice obliczeń można zapisać, że: x=−4lubx=1lubx=4. Liczba -4 występuje tylko jako pojedyncze rozwiązanie trzeciego równania. Zatem liczba 4 jest pojedynczym pierwiastkiem równania. Natomiast liczba 1 występuje jako pojedynczy pierwiastek drugiego równania oraz jako pojedynczy pierwiastek czwartego równania. Czyli liczba 1 jest podwójnym pierwiastkiem równania. Z kolei liczba 4 występuje jako podwójny pierwiastek pierwszego równania oraz pojedynczy pierwiastek trzeciego równania. Więc liczba 4 jest potrójnym pierwiastkiem równania.
1
2
3

1. Liczba -4 występuje tylko jako pojedyncze rozwiązanie trzeciego równania.{audio}

2. Liczba 1 występuje jako pojedynczy pierwiastek drugiego równania oraz jako pojedynczy pierwiastek czwartego równania.{audio}

3. Liczba 4 występuje jako podwójny pierwiastek pierwszego równania oraz pojedynczy pierwiastek trzeciego równania.{audio}

RYwMDBMza3eaz
Ilustracja czwarta przedstawia kartkę. Kartka zawiera przykład numer dwa. Treść przykładu brzmi: podamy przykład równania stopnia piątego, dla którego liczba pięć jest pierwiastkiem podwójnym, liczba otwarcie nawiasu minus dwa zamknięcie nawiasu jest pierwiastkiem pojedynczym i równanie nie posiada innych pierwiastków rzeczywistych. Zapiszemy najpierw osobne równania, z iloczynu których będzie składało się końcowe równanie. Aby liczba pięć była podwójnym pierwiastkiem równania może być postaci: x−52=0. Aby liczba otwarcie nawiasu minus dwa zamknięcie nawiasu była pojedynczym pierwiastkiem równania, równanie może być postaci: x+2=0. Nie wystarczy zapisać rozwiązania w postaci iloczynu podanych równań. Czy wiesz dlaczego? Zapisane równanie jest stopnia trzeciego, a zgodnie z poleceniem zadania równanie ma być stopnia piątego. x−52x+2=0
1
2

1. Zapiszemy najpierw osobne równania, z iloczynu których będzie składało się końcowe równanie.{audio}

2. Zapisane równanie jest stopnia trzeciego, a zgodnie z poleceniem zadania równanie ma być stopnia piątego.{audio}

R3mxlHpzr5pjb
Ilustracja piąta przedstawia kartkę. Kartka zawiera kontynuację rozwiązania przykładu numer dwa Aby zwiększyć stopień równania dopiszemy równanie stopnia drugiego, które nie posiada pierwiastków rzeczywistych. Na kartce jest równanie: x2+3=0. Zatem szukane równanie ma postać: x−52x+2x2+3=0. Czy to jedyne rozwiązanie? A możesz podać inne równanie, spełniające warunki zadania?.
1

1. Aby zwiększyć stopień równania dopiszemy równanie stopnia drugiego, które nie posiada pierwiastków rzeczywistych.{audio}

Polecenie 2

Rozwiąż równanie 2x3-18x2+54x-54=0. Określ krotność pierwiastków równania.

Polecenie 3

Podaj przykład równania stopnia czwartego, którego jedynymi pierwiastkami pojedynczymi są liczby -3 i 4.

Przeczytaj
Sprawdź się