Przeczytaj

Poszukiwanie miejsc zerowych funkcji $W$ sprowadza się najczęściej do rozwiązania równania

W (x) = 0 .

Najprostszym przypadkiem są takie równania, w których wielomian $W (x)$ jest stopnia pierwszego − otrzymujemy wówczas równanie liniowe. Jeżeli $W (x)$ jest wielomianem stopnia drugiego, otrzymujemy równanie kwadratowe. Natomiast jeśli wielomian jest wyższego stopnia, niż dwa, otrzymujemy równanie, którego rozwiązanie nie zawsze jest łatwe.

Prześledzimy metody rozwiązywania niektórych równań, w których występuje wielomian stopnia wyższego niż dwa. Dla dowolnych wielomianów stopnia piątego lub wyższego uniwersalne metody rozwiązywania nie istnieją.

Zobaczmy, jak sobie poradzić w pewnych szczególnych przypadkach, gdy możemy przedstawić równanie stopnia wyższego jako iloczyn równań liniowych.

Przykład 1

Znajdziemy rozwiązanie równania $x (x + 5) (x - 1) = 0$ .

Rozwiązanie

Lewa strona równania jest iloczynem trzech czynników. Jeżeli iloczyn ten równa się zero, to co najmniej jeden z czynników jest równy zero.

Otrzymujemy:

x = 0

lub

x + 5 = 0

lub

x - 1 = 0 .

Stąd wynika, że równanie ma trzy rozwiązania:

x = 0

lub

x = - 5

lub

x = 1 .

Przykład 2

Znajdziemy rozwiązania równania $4 x^{3} + 12 x^{2} + 9 x = 0$ .

Rozwiązanie

Zacznijmy od wyłączenia $x$ przed nawias.

x (4 x^{2} + 12 x + 9) = 0

Otrzymujemy równanie, w którym lewa strona jest iloczynem dwóch czynników.

x (4 x^{2} + 12 x + 9) = 0

Przyjrzyjmy się wielomianowi w nawiasie. Korzystając ze wzoru na kwadrat sumy dwóch wyrażeń

{(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}

łatwo możemy go zapisać w postaci iloczynu wielomianów stopnia pierwszego:

x (2 x + 3) (2 x + 3) = 0 .

Przyrównujemy czynniki iloczynu po lewej strony do zera.

x = 0

lub

2 x + 3 = 0

Stąd wynika, że równanie ma dwa rozwiązania (trzy pierwiastki), mianowicie $x = 0$ oraz $x = - \frac{3}{2}$ , przy czym $x = - \frac{3}{2}$ jest podwójnym pierwiastkiem równania.

Ważne!

Kwadrat sumy dwóch wyrażeń:
${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$

Kwadrat różnicy dwóch wyrażeń:
${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$

Różnica kwadratów dwóch wyrażeń:
$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$

Sześcian sumy dwóch wyrażeń:
${(a + b)}^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$

Sześcian różnicy dwóch wyrażeń:
${(a - b)}^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}$

Suma sześcianów dwóch wyrażeń:
$a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$

Różnica sześcianów dwóch wyrażeń:
$a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$

Przykład 3

Rozwiążemy równanie ${(x - 3)}^{2} (x^{3} - 27) (4 - x^{2}) (x - 2) = 0$ i określimy krotność pierwiastków.

Lewa strona jest iloczynem czterech czynników. Jeżeli iloczyn ten równa się zero, to co najmniej jeden z nich jest równy zero.

Otrzymujemy:

{(x - 3)}^{2} = 0

lub

(x^{3} - 27) = 0

lub

(4 - x^{2}) = 0

lub

(x - 2) = 0

Zatem:

x = 3

lub

x = 3

lub

x = 3

lub

x = - 2

lub

x = 2

lub

x = 2

Stąd wynika, że nasze równanie ma trzy rozwiązania:

x = - 2

lub

x = 2

lub

x = 3,

przy czym liczba $- 2$ jest pierwiastkiem pojedynczym, liczba $2$ jest pierwiastkiem podwójnym, a liczba $3$ potrójnym.

Przykład 4

Ile pierwiastków rzeczywistych ma równanie $(x + 3) (x - 4) (x^{2} + 5) = 0$ ?

Lewa strona jest iloczynem trzech czynników. Jeżeli iloczyn ten równa się zero, to co najmniej jeden z nich jest równy zero.

Otrzymujemy:

(x + 3) = 0

lub

(x - 4) = 0

lub

(x^{2} + 5) = 0

a więc

x = - 3

lub

x = 4

lub

x^{2} = - 5

Ostatnie równanie jest równaniem sprzecznym. Nie posiada rozwiązania.

Zatem równanie ma dwa pierwiastki rzeczywiste.

Przykład 5

Rozwiążemy równanie $4 (x + 3) = x (x + 3)$ .

Najpierw przeniesiemy wszystkie wyrażenia na jedną stronę.

4 (x + 3) - x (x + 3) = 0

Zauważmy, że nawias $(x + 3)$ powtarza się w obydwu wyrażeniach algebraicznych.

4 (x + 3) - x (x + 3) = 0

Wyciągniemy wyrażenie $(x + 3)$ przed nawias.

(x + 3) (4 - x) = 0

W ten sposób zapisaliśmy równanie w postaci iloczynowejpostać iloczynowa równaniarównanie w postaci iloczynowej. Dalej już łatwo rozwiążemy równanie, przyrównując każdy z czynników do zera.

x + 3 = 0

lub

4 - x = 0

Równanie ma dwa rozwiązania:

x = - 3

lub

x = 4 .

Słownik

postać iloczynowa równania

zapisanie równania za pomocą iloczynu wyrażeń, w których niewiadoma jest jak najniższego stopnia

Wprowadzenie

Galeria zdjęć interaktywnych

Słownik