Ilustracja pierwsza. Przykład pierwszy. W czworokącie ABCD zaznaczono środki boków. Zaznacz odcinki równoległe do przekątnej AC. Środki boków oznaczono jako punkty H, F, E oraz G. Na podstawie twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa lub z twierdzenia o odcinku łączącym środki ramion w trójkącie $ACD$ i $ACB$ wnioskujemy, że szukane odcinki to $EF$ i $HG$. Na rysunku połączono punkty tworząc odcinki GH oraz EF

Ilustracja druga. Przykład drugi. W czworokącie ABCD zaznaczono środki boków. Zaznacz odcinki równoległe do przekątnej BD. Środki boków oznaczono jako punkty H, F, E oraz G. Na podstawie twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa lub z twierdzenia o odcinku łączącym środki ramion w trójkącie $BDA$ i $BDC$ wnioskujemy, że szukane odcinki to $EH$ i $FG$.
Na rysunku połączono punkty tworząc odcinki GF oraz HE

Ilustracja trzecia. Przykład trzeci. W czworokącie ABCD zaznaczono środki boków. Na podstawie poprzednich obserwacji scharakteryzuj czworokąt EFGH. Środki boków oznaczono jako punkty H, F, E oraz G. Czworokąt $EFGH$ to równoległobok.
Na ilustracji czworokąta połączono środki boków tworząc równoległobok. Warto zauważyć, że teza jest prawdziwa również dla czworokąta wklęsłego.
Ilustracja przedstawia czworokąt wklęsły ABCD. Odcinek GH znajduję się w środku czworokąta, a odcinek FE poza obszarem czworokąta.

Ilustracja czwarta. Przykład trzeci. Przeprowadzimy teraz dowód powyższej tezy, że czworokąt EFGH to równoległobok. Na rysunku znajduję się czworokąt ABCD z zaznaczonymi środkami boków, które tworzą równoległobok. Stosujemy czterokrotnie twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa. pojawia się równanie. $\frac{AE}{EB}=\frac{AH}{HD}$, więc EH jest równoległe do BD. $\frac{CF}{FB}=\frac{CG}{GD}$, więc FG jest równoległe do BD. Na podstawie powyższych obserwacji otrzymujemy równoległość odcinków $FG$ i $EH$. Pojawia się równanie. $\frac{BE}{EA}=\frac{BF}{FC}$, więc EF jest równoległe do AC. $\frac{DG}{GC}=\frac{DH}{HA}$, więc GH jest równoległe do AC. Na podstawie powyższych obserwacji otrzymujemy równoległość odcinków $EF$ i $GH$.

Ilustracja piąta. Przykład czwarty. W czworokącie ABCD zaznaczono środki boków i środki przekątnych. Wskaż pary odcinków równoległych o końcach w zaznaczonych punktach. Ilustracja czworokąta ABCD z zaznaczonymi przekątnymi AC oraz DB, środki boków zaznaczono punktami EFGH, a środki przekątnych zaznaczono punktami N i M. Na podstawie twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa wnioskujemy, równoległość odcinków $EN$ i $MG$ do boku $AD$.
Na ilustracji czworokąta połączono odcinki AD, NE oraz GM. Na podstawie twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa wnioskujemy, równoległość odcinków $EM$ i $NG$ do boku $BC$.
Na ilustracji czworokąta połączono odcinki BC, EM oraz NG

Ilustracja szósta. Przykład piąty. Scharakteryzuj czworokąt EMGN. Ilustracja czworokąta ABCD z zaznaczonymi przekątnymi AC oraz DB, środki boków zaznaczono punktami EFGH, a środki przekątnych zaznaczono punktami N i M. Czworokąt $EMGN$ to równoległobok.
Na ilustracji czworokąta zaznaczono odcinki AD i CB oraz utworzono równoległobok EMGN

Ilustracja siódma. Przykład piąty. Przeprowadzimy teraz dowód powyższej tezy, że czworokąt EMGN to równoległobok. Ilustracja czworokąta ABCD z zaznaczonymi przekątnymi AC oraz DB, środki boków zaznaczono punktami EFGH, a środki przekątnych zaznaczono punktami N i M. Na ilustracji czworokąta zaznaczono odcinki AD i CB oraz utworzono równoległobok EMGN. Stosujemy czterokrotnie twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa. Pojawia się równanie. $\frac{AE}{EB}=\frac{AM}{MC}$, więc odcinek EM jest równoległy do odcinka BC. $\frac{DN}{NB}=\frac{DG}{GC}$, więc odcinek NG jest równoległy do odcinka BC. Na podstawie powyższych obserwacji otrzymujemy równoległość odcinków $EM$ i $NG$, pojawia się równanie. $\frac{BE}{EA}=\frac{BN}{ND}$, więc odcinek EN jest równoległy do odcinka AD. $\frac{CM}{MA}=\frac{CG}{GD}$, więc odcinek MG jest równoległy do odcinka AD. Na podstawie powyższych obserwacji otrzymujemy równoległość odcinków $EN$ i $MG$

Ilustracja ósma. Przykład szósty. W czworokącie ABCD zaznaczono środki boków i środki przekątnych. Na podstawie poprzednich przykładów zastanów się dlaczego proste EG, FH i MN przecinają się w jednym punkcie. Z poprzednich przykładów wiemy, że $EFGH$ oraz $EMGN$ to równoległoboki.
Aby otrzymać tezę, wystarczy zauważyć, że pomarańczowe odcinki to przekątne tych równoległoboków i skorzystać z faktu, że przekątne równoległoboku się połowią.
Podsumowując:
przekątna $HF$ równoległoboku $EFGH$ przecina przekątną $GE$ w połowie oraz przekątna $MN$ równoległoboku $EMGN$ przecina przekątną $GE$ w połowie, więc wnioskujemy, że trzy pomarańczowe odcinki przecinają się w jednym punkcie, który jest środkiem tych odcinków.