Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Na bokach $B C$ i $C D$ wybrano taki punkty $M$ i $N$ , że $\frac{|B M|}{|M C|} = \frac{|A N|}{|N D|}$ .

R1Dnq0koRJbq3

Ilustracja przedstawia czworokąt ABCD. Na boku AD umieszczono punkt N oddzielający bok na dwa odcinki, AN o długości 4 oraz ND o długości dwa. Na boku BC umieszczono punkt M oddzielający bok na dwa odcinki, CM o długości 1 oraz MB o długości dwa. Zaznaczono odcinek MN

R1bTyzf8ieYrE

R1Mr8L4ZcSMYw1

Ćwiczenie 2

Ćwiczenie 3

Dany jest czworokąt wypukły $A B C D$ . Punkty $K$ i $L$ są odpowiednio środkami boków $A D$ i $B C$ (rysunek). Udowodnij, że $|K L| \leq \frac{1}{2} (|A B| + |C D|)$ .

Rm4vyhDaSGmht

Ilustracja przedstawia czworokąt wypukły ABCD. Punkty K i L są środkami boków AD i BC. Zaznaczono odcinek KL.

RT65XUg4S3SD5

Ilustracja przedstawia czworokąt wypukły ABCD. Punkty K i L są środkami boków AD i BC. Zaznaczono odcinek KL. Zaznaczono przekątną AC i połączono ją z bokiem CD. Na środku przekątnej umieszczono punkt M, który połączono z punktami K oraz L.

Oznaczmy przez $M$ środek przekątnej $A C$ . Na podstawie twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa wnioskujemy, że proste $K M$ i $D C$ są równoległe oraz $|K M| = \frac{1}{2} |C D|$ . Analogicznie udowadniamy, że proste $M L$ i $A B$ są równoległe oraz $|M L| = \frac{1}{2} |A B|$ . Wykorzystując nierówność trójkąta otrzymujemy $|K L| \leq |K M| + |M L| = \frac{1}{2} |C D| + \frac{1}{2} |A B|$ . Warto zauważyć, że równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy punkt $M$ leży na odcinku $K L$ , a to ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy proste $A B$ i $C D$ są równoległe.

R1C1uOIHRbq7i2

Ćwiczenie 4

Ćwiczenie 5

Uzasadnij, że środkowe w trójkącie przecinają się w jednym punkcie i że dzieli on każdą z nich w stosunku $2 : 1$ , licząc od wierzchołka.

R5JPia9MToXcE

Ilustracja przedstawia trójkąt ABC. Na środkach boków umieszczono punkty, na podstawie AB punkt F, na boku AC punkt E, a na boku BC punkt D. Odcinek ED oraz AB są równoległe. Z wierzchołka A oraz B poprowadzono środkowe do punktów przeciwległych, tworząc odcinki AD oraz B E. Odcinki te przecinają się w punkcie S. Następne linią przerywaną zaznaczono środkowe C F oraz F D.

Niech punkt $D$ będzie środkiem boku $B C$ , punkt $E$ środkiem boku $A C$ oraz punkt $S$ punktem przecięcia środkowych $A D$ i $B E$ . Z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa lub z twierdzenia o odcinku łączącym środki boków w trójkącie otrzymujemy, że odcinek $E D$ jest równoległy do $A B$ oraz, że jest dwa razy krótszy od $A B$ . Następnie z podobieństwa trójkątów $ABS$ oraz $EDS$ ( $k k k$ ) dostajemy $\frac{|A B|}{|E D|} = \frac{|A S|}{|S D|} = \frac{|B S|}{|S E|} = \frac{2}{1}$ . Powtarzając rozumowanie dla pary środkowych $A D$ i $C F$ dowodzimy, że punkt przecięcia tych środkowych dzieli je w stosunku $2 : 1$ licząc od wierzchołków. Do dowodu, że są współpękowe wystarczy zauważyć, że na odcinku $A D$ jest tylko jeden punkt, który dzieli ją w stosunku $2 : 1$ licząc od wierzchołka $A$ , stąd wniosek, że środkowe $B E$ i $C F$ przecięły środkową $A D$ tym samym punkcie.

Ćwiczenie 6

Dany jest czworokąt wypukły $A B C D$ , którego przekątne przecinają się w punkcie $P$ . Na przekątnej $A C$ dane są jeszcze dwa punkty $Q$ i $R$ , dzielące ją wraz z punktem $P$ na cztery równe części, tzn. $|A P| = |P Q| = |Q R| = |R C|$ . Na przekątnej $D B$ dane są jeszcze punkty $S$ i $T$ , które wraz z $P$ dzielą ją na cztery równe części, tzn. $|D P| = |P S| = |S T| = |T B|$ (rysunek). Oblicz stosunek pól czworokątów $T R Q S$ i $A B C D$ .

R1XcT3KZAQuv5

Ilustracja przedstawia nieforemny czworokąt ABCD, w którym wykreślono przekątne przecinające się w punkcie P. Na przekątnych AC oraz BD umieszczono punkty będące równoległymi odcinkami Q S oraz RT. Tworzą one trapez STRQ

Z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa wynika, że odcinki $A D$ , $S Q$ , $T R$ i $B C$ są równoległe, więc $S T R Q$ i $A B C D$ są trapezami o stosunku wysokości $1 : 4$ . Ponadto z twierdzenia Talesa lub z podobieństwa trójkątów ( $k k k$ ) dostajemy, że $|A D| : |S Q| : |T R| : |B C| = 1 : 1 : 2 : 3$ . Zatem $\frac{P_{S T R Q}}{P_{A B C D}} = \frac{\frac{1}{2} (a + 2 a) \cdot h}{\frac{1}{2} (a + 3 a) \cdot 4 h} = \frac{3}{16}$ .

Ćwiczenie 7

W pięciokącie gwiaździstym $A B C D E$ zachodzą równości $|A Q| = |Q C|$ , $|B R| = |R D|$ , $|C R| = |R E|$ i $|D S| = |S A|$ (rysunek). Uzasadnij, że odcinki $B P$ , $P T$ , $T E$ maja równa długość.

R1UMUdClWBRnf

Ilustracja przedstawia pięciokąt gwiaździsty ABCDE. W jego środku powstał pięciokąt RSTPQ

Rirh6JwiS5gcA

Przeanalizuj i uzupełnij tekst, aby prowadził do poprawnego dowodu. Zauważmy, że odcinki B D i C E przecinają się w połowie więc czworokąt B C D E jest 1. R B E, 2. linią środkową, 3. równoległobokiem, 4. długość odcinka, E S, koniec długości odcinka, równa się, długość odcinka, S R, koniec długości odcinka, 5. równoległy, 6. początek ułamka, długość odcinka, E S, koniec długości odcinka, mianownik, długość odcinka, S C, koniec długości odcinka, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, długość odcinka, E T, koniec długości odcinka, mianownik, długość odcinka, C D, koniec długości odcinka, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 7. B E, 8. Q S. Ponadto odcinek 1. R B E, 2. linią środkową, 3. równoległobokiem, 4. długość odcinka, E S, koniec długości odcinka, równa się, długość odcinka, S R, koniec długości odcinka, 5. równoległy, 6. początek ułamka, długość odcinka, E S, koniec długości odcinka, mianownik, długość odcinka, S C, koniec długości odcinka, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, długość odcinka, E T, koniec długości odcinka, mianownik, długość odcinka, C D, koniec długości odcinka, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 7. B E, 8. Q S jest linią środkową w trójkącie A C D. Jest więc 1. R B E, 2. linią środkową, 3. równoległobokiem, 4. długość odcinka, E S, koniec długości odcinka, równa się, długość odcinka, S R, koniec długości odcinka, 5. równoległy, 6. początek ułamka, długość odcinka, E S, koniec długości odcinka, mianownik, długość odcinka, S C, koniec długości odcinka, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, długość odcinka, E T, koniec długości odcinka, mianownik, długość odcinka, C D, koniec długości odcinka, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 7. B E, 8. Q S do odcinka C D oraz 1. R B E, 2. linią środkową, 3. równoległobokiem, 4. długość odcinka, E S, koniec długości odcinka, równa się, długość odcinka, S R, koniec długości odcinka, 5. równoległy, 6. początek ułamka, długość odcinka, E S, koniec długości odcinka, mianownik, długość odcinka, S C, koniec długości odcinka, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, długość odcinka, E T, koniec długości odcinka, mianownik, długość odcinka, C D, koniec długości odcinka, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 7. B E, 8. Q S i jego długość to połowa C D jak i odcinka B E. Z tego wynika, że odcinek Q S jest też 1. R B E, 2. linią środkową, 3. równoległobokiem, 4. długość odcinka, E S, koniec długości odcinka, równa się, długość odcinka, S R, koniec długości odcinka, 5. równoległy, 6. początek ułamka, długość odcinka, E S, koniec długości odcinka, mianownik, długość odcinka, S C, koniec długości odcinka, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, długość odcinka, E T, koniec długości odcinka, mianownik, długość odcinka, C D, koniec długości odcinka, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 7. B E, 8. Q S w trójkącie 1. R B E, 2. linią środkową, 3. równoległobokiem, 4. długość odcinka, E S, koniec długości odcinka, równa się, długość odcinka, S R, koniec długości odcinka, 5. równoległy, 6. początek ułamka, długość odcinka, E S, koniec długości odcinka, mianownik, długość odcinka, S C, koniec długości odcinka, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, długość odcinka, E T, koniec długości odcinka, mianownik, długość odcinka, C D, koniec długości odcinka, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 7. B E, 8. Q S. To oznacza, że długość odcinka, B Q, koniec długości odcinka, równa się, długość odcinka, Q R, koniec długości odcinka oraz 1. R B E, 2. linią środkową, 3. równoległobokiem, 4. długość odcinka, E S, koniec długości odcinka, równa się, długość odcinka, S R, koniec długości odcinka, 5. równoległy, 6. początek ułamka, długość odcinka, E S, koniec długości odcinka, mianownik, długość odcinka, S C, koniec długości odcinka, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, długość odcinka, E T, koniec długości odcinka, mianownik, długość odcinka, C D, koniec długości odcinka, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 7. B E, 8. Q S. Z podobieństwa trójkątów wynika, że początek ułamka, długość odcinka, B Q, koniec długości odcinka, mianownik, długość odcinka, Q D, koniec długości odcinka, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, długość odcinka, B P, koniec długości odcinka, mianownik, długość odcinka, D C, koniec długości odcinka, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka oraz, że 1. R B E, 2. linią środkową, 3. równoległobokiem, 4. długość odcinka, E S, koniec długości odcinka, równa się, długość odcinka, S R, koniec długości odcinka, 5. równoległy, 6. początek ułamka, długość odcinka, E S, koniec długości odcinka, mianownik, długość odcinka, S C, koniec długości odcinka, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, długość odcinka, E T, koniec długości odcinka, mianownik, długość odcinka, C D, koniec długości odcinka, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 7. B E, 8. Q S a zatem długość odcinka, B P, koniec długości odcinka, równa się, długość odcinka, T E, koniec długości odcinka, równa się, długość odcinka, P T, koniec długości odcinka, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, długość odcinka, B E, koniec długości odcinka co należało udowodnić.

Ćwiczenie 8

Środki boków $A B$ i $C D$ oraz $B C$ i $D E$ pięciokąta wypukłego $A B C D E$ połączono odcinkami $P R$ i $S Q$ , których środki również połączono odcinkiem $U T$ (rysunek). Udowodnij, że odcinek ten jest równoległy do boku $A E$ i równy $\frac{1}{4} |A E|$ .

R1dRtbfZat64l

Ilustracja przedstawia pięciokąt wypukły ABCDE. Środki boków AB I CD oraz BC i DE połączono odcinkami PR I SQ których środki również połączono odcinkiem UT.

Poprowadźmy jeszcze przekątną $B E$ i oznaczmy jej środek przez $W$ . Stosując kilka razy twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa lub twierdzenie o odcinku łączącym środki ramion otrzymujemy, że czworokąt $W Q R S$ jest równoległobokiem, którego przekątne $W R$ i $Q S$ połowią się w punkcie $U$ . Z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa otrzymujemy równoległość $U T$ i $W P$ oraz równoległość odcinków $W P$ i $A E$ , co daje równoległość $U T$ i $A E$ . Ponadto wiemy, że $|U T| = \frac{1}{2} |W P| = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} |A E| = \frac{1}{4} |A E|$ co jest równoważne z tezą ćwiczenia.

RdTfchZ3Jlgic

Galeria zdjęć interaktywnych

Dla nauczyciela