Różne proste $AC$ i $BD$ przecinają się w punkcie $P$, przy czym spełniony jest jeden z warunków:

1. punkt $A$ leży wewnątrz odcinka $PC$ oraz punkt $B$ leży wewnątrz odcinka $PD$

lub

2. punkt $A$ leży na zewnątrz odcinka $PC$ oraz punkt $B$ leży na zewnątrz odcinka $PD$.

Wówczas proste $AB$ i $CD$ są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy

R16SdIqEfckR2

Ilustracja przedstawia dwie różne proste AC (leżąca w górnej części rysunku) i BD (leżąca w dolnej części rysunku) przecinające się w punkcie P. Miejsce przecięcia znajduje się w lewej części rysunku. W prawej części natomiast wykreślono kolejne dwie, tym razem równoległe proste przecinające proste wyjściowe. Lewa równoległa prosta przecina pierwszą, wyżej położoną prostą w punkcie A, a drugą prostą w punkcie B. Druga równoległa prosta przecina wyżej położoną prostą w punkcie C, a niżej położoną prostą w punkcie D. W wyniku przecięć powstały następujące odcinki: Na górnej wyjściowej prostej P A oraz AC, na dolnej wyjściowej prostej P B oraz B D.

RJilevsKlKQnZ

Ilustracja przedstawia proste wyjściowe krzyżujące się w punkcie P leżącym pośrodku rysunku. Przez proste wyjściowe poprowadzono dwie równoległe proste: jedną z lewej strony punktu P, która przecina pierwszą prostą wyjściową w punkcie C i drugą w punkcie D. Druga równoległa prosta znajduje się się po prawej stronie punktu P i przecina drugą wyjściową prostą w puckie B i pierwszą w punkcie A. W wyniku przecięć powstały następujące odcinki: na pierwszej wyjściowej prostej C P oraz P A, na drugiej wyjściowej prostej D P oraz P B.

Niech ramiona kątakątkąta o wierzchołku $P$ przecięte są dwiema prostymi $AB$ i $CD$, przy czym punkty $A$, $C$ należą do jednego ramienia kątakątkąta, punkty $B$, $D$ do drugiego. 
Jeśli zachodzi: $\frac{\left|PA\right|}{\left|AC\right|}=\frac{\left|PD\right|}{\left|BD\right|}$, to proste $AB$ i $CD$ nie muszą być równoległe.

Sporządzimy rysunek obrazujący, że przy poprawnych założeniach proste $AB$ i $CD$ nie są równoległe.

Rozwiązanie

R1Xp4ykGj0K2i

Ilustracja przedstawia dwie niebieskie ukośne proste przecinające się w punkcie P. Dodatkowo po prawej stronie punktu P narysowano kolorem różowym dwie kolejne ukośne proste przecinające proste niebieskie, przy czym punkt przecięcia różowych prostych znajduje się między prostymi niebieskimi. Górna niebieska prosta jest przecięta przez lewą różową prostą w punkcie B i przez prawą różową prostą w punkcie D. Dolna niebieska prosta jest przecięta kolejno od punktu P w puncie C i w A. Na górnej niebieskiej prostej mamy więc odcinki P B oraz B D, na dolnej P C oraz C A. Poprowadzono linią przerywaną dwie równoległe proste biegnące przez punkty przecięcia: prostą B C oraz prostą A D.

Punkty $K$ i $L$ są odpowiednio środkami boków $AC$ i $BC$ trójkąta $ABC$. Udowodnimy, że proste $KL$ i $AB$ są równoległe.

Rozwiązanie

R1bn7pbOga3KU

Ilustracja przedstawia trójkąt ABC. Na ramieniu AC umieszczono punkt K, a na ramieniu BC umieszczono punkt L. Odcinek KL jest równoległy do podstawy AB.

Zauważmy, że $\frac{\left|CK\right|}{\left|CA\right|}=\frac{\left|CL\right|}{\left|CB\right|}=\frac{1}{2}$ więc na mocy twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa proste $KL$ i $AB$ są równoległe.

Wykażemy, że w trapezie niebędącym równoległobokiem odcinek łączący środki ramion trapezu jest równoległy do jego podstaw.

Rozwiązanie

Niech $AB$ i $CD$ to podstawy trapezu. Środki ramion $AD$, $BC$ oraz przekątnej $AC$ oznaczmy odpowiednio $K$, $L$, $M$, tak jak na rysunku.

RAj0ibe82gLvy

Ilustracja przedstawia trapez ABCD. Na ramionach trapezu umieszczono kolejno punkty K oraz L. odcinek KL jest równoległy do podstaw trapezu. Przekątna AC tworzy z odcinkiem KL na przecięciu punkt M.

Powołując się na twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa lub na twierdzenie o odcinku łączącym środki ramion w trójkącie, otrzymujemy, że prosta $KM$ jest równoległa do prostej $DC$ i prosta $ML$ jest równoległa do prostej $AB$. Z faktu, że proste $AB$ i $CD$ są równoległe wynika, że proste $KM$ oraz $ML$ też są równoległe. Ponieważ mają one punkt wspólny – $M$, to punkty $K$, $M$, $L$ leżą na jednej prostej, równoległej do podstaw trapezu. Odcinek $KL$ nazywany jest linią środkową w trapezielinia środkowa w trapezielinią środkową w trapezie.

Wykażemy, że środki boków dowolnego czworokąta $ABCD$ są wierzchołkami równoległoboku.

Rozwiązanie

R1dISagOm7N1K

Ilustracja przedstawia czworokąt ABCD, zaznaczono środki boków czworokąta tworząc kolejno punkty K L M N. Punkty połączono prostymi tworząc równoległobok. Liniami przerywanymi zaznaczono przekątne AC oraz BD czworokąta.

Ten piękny fakt wynika bezpośrednio z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa lub z twierdzenia o odcinku łączącym środki ramion w trójkącie. Nazwijmy środki boków $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ odpowiednio $K$, $L$, $M$, $N$. Na podstawie powyższych obserwacji stwierdzamy, że prosta $KL$ oraz prosta $MN$ są równoległe do przekątnej $AC$. Analogicznie prosta $KN$ oraz prosta $LM$ są równoległe do przekątnej $BD$. Równoległości te potwierdzają tezę powyższego twierdzenia.

Sprawdzimy, czy wśród prostych $k$, $l$, $m$, $n$ są proste równoległe.

RcQQeqeLNI3r9

Ilustracja przedstawia dwie niebieski półproste o wspólnym początku. Przez te półproste przechodzą ukośnie proste, wycinając w niebieskich półprostych wyjściowych odcinki o podanych długościach. Od wspólnego początku biorąc, mamy: prosta k przecina górną półprostą, odcinając odcinek o długości 2 i dolną, odcinając odcinek o długości 1,5; następnie prosta l oddziela odcinek o długości 1,5 (licząc od punktu przecięcia k z półprostą i tak też będziemy podawać dalsze długości), a z dolnej półprostej oddziela odcinek o długości 1; następnie prosta m oddziela odcinek o długości 1 w górnej półprostej i odcinek o długości pięć siódmych w dolnej; następnie prosta n oddziela odcinek o długości sześć siódmych w górnej półprostej i 45 pięćdziesiątych szóstych w dolnej.

Rozwiązanie

Sprawdzimy, czy $k$ i $l$ są równoległe, tj. czy zachodzi równość $\frac{2}{1,5}\stackrel{?}{=}\frac{1,5}{1}$. Oczywiście nie, więc proste $k$ i $l$ nie są równoległe.

Sprawdzimy, czy $k$ i $m$ są równoległe, tj. czy zachodzi równość $\frac{2}{1,5}\stackrel{?}{=}\frac{2,5}{\frac{12}{7}}$. Oczywiście nie, więc proste $k$ i $m$ nie są równoległe.

Sprawdzimy, czy $k$ i $n$ są równoległe, tj. czy zachodzi równość $\frac{2}{1,5}\stackrel{?}{=}\frac{2,5+\frac{6}{7}}{1+\frac{5}{7}+\frac{45}{56}}$. Uprośćmy prawą stronę: $P=\frac{2,5+\frac{6}{7}}{1+\frac{5}{7}+\frac{45}{56}}=\frac{\frac{47}{14}}{\frac{141}{56}}=\frac{4}{3}$, więc proste $k$ i $n$ są równoległe.

Sprawdzimy, czy proste $l$ i $m$ są równoległe, tj. czy zachodzi równość $\frac{3,5}{2,5}\stackrel{?}{=}$ \frac{1}{\frac{5}{7}}$$. Oczywiście tak, więc proste $l$ i $m$ są równoległe.

kąt to obszar powstały z rozcięcia płaszczyzny przez sumę dwóch różnych półprostych o wspólnym początku, wraz z tymi półprostymi; półproste nazywane są ramionami kąta, wspólny początek półprostych nazywany jest wierzchołkiem kąta

linia środkowa w trójkącie to odcinek łączący środki pewnych dwóch boków trójkąta

linia środkowa w trapezie to odcinek łączący środki ramion trapezu