Zliczanie wszystkich możliwych wyników rozłożymy na trzy następujące etapy:
(1) wybór trzech kostek spośród wszystkich dziesięciu, na każdej z których otrzymano po oczka,
(2) spośród pozostałych siedmiu wybór trzech kostek, na każdej z których otrzymano po oczku,
(3) ustalenie wszystkich możliwych wyników ostatnich czterech spośród rozpatrywanych rzutów tak, aby suma kwadratów wszystkich otrzymanych liczb oczek była podzielna przez .
W pierwszym etapie obliczymy, na ile sposobów możemy wybrać trzy kostki, na każdej z których wypadły oczka.
Ponieważ w tym celu mamy wybrać kostki spośród , więc możemy to zrobić na sposobów.
W drugim etapie obliczamy, na ile sposobów z pozostałych siedmiu kostek możemy wybrać trzy, na każdej z których wypadło oczko.
Ponieważ w tym celu mamy wybrać kostki spośród , więc możemy to zrobić na sposobów.
Przypomnijmy teraz, że:
kwadrat każdej liczby całkowitej podzielnej przez jest liczbą podzielną przez ,
kwadrat każdej liczby całkowitej, która przy dzieleniu przez daje resztę lub przy dzieleniu przez daje resztę ,
kwadrat każdej liczby całkowitej, która przy dzieleniu przez daje resztę lub przy dzieleniu przez daje resztę .
Następnie zauważamy, że ponieważ:
kwadrat liczby daje resztę z dzielenia przez ,
kwadrat liczby daje resztę z dzielenia przez ,
więc suma kwadratów liczb oczek otrzymanych w sześciu rzutach omówionych w pierwszych dwóch etapach jest równa , czyli jest liczbą podzielną przez .
Wynika stąd, że suma kwadratów liczb oczek otrzymanych w ostatnim etapie musi być również podzielna przez .
Zauważmy, że w ostatnim etapie możemy uzyskać jedynie następujące liczby oczek: , , , .
Spośród nich:
kwadrat liczby dzieli się przez ,
kwadrat każdej z liczb: , przy dzieleniu przez daje resztę ,
kwadrat liczby przy dzieleniu przez daje resztę .
Zatem możliwe są trzy następujące, rozłączne przypadki:
(I) w każdym z czterech rzutów w ostatnim etapie wypadnie liczba oczek równa - jest tylko jedna taka możliwość,
(II) w dwóch spośród czterech rzutów w ostatnim etapie wypadnie liczba oczek równa , w trzecim z nich wypadnie liczba oczek równa i w ostatnim wypadnie liczba oczek równa lub – takich możliwości jest ,
(III) w dwóch spośród czterech rzutów w ostatnim etapie wypadnie liczba oczek lub i w dwóch pozostałych wypadnie liczba oczek równa – takich możliwości jest .
Oznacza to, że liczba wszystkich możliwości w trzecim etapie jest równa .
Ostatecznie stwierdzamy więc, że jest wszystkich wyników rzutu dziesięcioma kostkami do gry, z których każde dwie mają inny kolor i takich, że dokładnie na trzech kostkach otrzymano po dwa oczka, dokładnie na trzech kostkach otrzymano po jednym oczku oraz suma kwadratów wszystkich otrzymanych liczb oczek jest podzielna przez .