Galeria zdjęć interaktywnych

Polecenie 1

Zapoznaj się z przedstawioną poniżej galerią zdjęć interaktywnych.
Przeanalizuj zaprezentowane w niej rozwiązanie zadania, w którym należy ustalić, ile jest wszystkich wyników rzutu dziewięcioma odróżnialnymi kostkami do gry, spełniających jednocześnie trzy pewne warunki.

R1Xo607nHhvvA2

Ilustracja pierwsza. rozpatrujemy rzut dziewięcioma sześciennymi kostkami do gry z których każde dwie mają inny kolor. obliczymy Ile jest wszystkich wyników tego rzutu które spełniają równocześnie 3 warunki. dokładnie na 3 kostkach otrzymano po 6 oczek, dokładnie na 2 kostkach otrzymano po 2 oczka, suma kwadratów wszystkich otrzymanych liczb oczek jest podzielna przez 3 Ponieważ kostki są odróżnialne, więc możemy je oznaczyć według uznania. Numerujemy kostki od

1

9

, a następnie oznaczamy wyniki otrzymane na tak ponumerowanych kostkach przez

w_{1}

w_{2}

w_{3}

w_{4}

w_{5}

w_{6}

w_{7}

w_{8}

w_{9}

.
Wtedy ciąg

(w_{1}, w_{2}, w_{3}, w_{4}, w_{5}, w_{6}, w_{7}, w_{8}, w_{9})

opisuje wynik rzutu tymi dziewięcioma kostkami. Zliczanie wszystkich możliwych wyników rozłożymy na 3 następujące etapy. etap pierwszy spośród wszystkich dziewięciu wybór trzech kostek na każdej z których otrzymano po 6 oczek, etap drugi. spośród pozostałych sześciu wybór dwóch kostek na każdej z których otrzymano po 2 oczka, etap trzeci. ustalenie wszystkich możliwych wyników ostatnich czterech spośród rozpatrywanych rzutów tak aby suma kwadratów wszystkich otrzymanych liczb oczek była podzielona przez trzy.

RBkXhWAYBSFyz

RtddYpzbJUAK2

R1cVeqQXt5lYF

Ilustracja trzecia. Zauważmy, że w ostatnim etapie możemy uzyskać jedynie następujące liczby oczek. 1, 3, 4,pięć. Spośród nich kwadrat liczby 3 dzieli się przez 3. Kwadrat każdej z liczby 1,4,5 przy dzieleniu przez 3 daje resztę jeden. Liczba oczek równa

3

jest podzielna przez

3

, więc kwadrat tej liczby dzieli się przez

3

.
Każda z liczb oczek:

1

4

oraz

5

jest niepodzielna przez

3

, więc kwadrat każdej z tych liczb przy dzieleniu przez

3

daje resztę

1

. Zatem możliwe są dwa następujące rozłączne przypadki. Etap pierwszy w każdym z czterech rzutów w ostatnim etapie wypadnie liczba oczek niepodzielna przez trzy. etap drugi w trzech spośród czterech rzutów w ostatnim etapie wypadnie liczba oczek podzielna przez trzy, a w czwartym z nich wypadnie liczba oczek niepodzielna przez trzy. Możliwe są następujące przypadki czterech reszt z dzielenia przez

3

4

reszty

0

, co jest w sumie równe

0

, więc nie spełnia warunków zadania,

3

reszty

0

i jedna reszta

1

, co jest w sumie równe

1

, czyli spełnia warunki zadania,

2

reszty

0

i dwie reszty

1

, co jest w sumie równe

2

, więc nie spełnia warunków zadania,

1

reszta

0

i trzy reszty

1

, co jest w sumie równe

3

, więc nie spełnia warunków zadania,

4

reszty

1

, co jest w sumie równe

4

, więc spełnia warunki zadania.

RPej41T2A5jWv

Ilustracja czwarta. W każdym z czterech rzutów mamy do wyboru jedną z liczb oczek równych

1

4

5

, więc w tym przypadku jest

3^{4} = 81

możliwości. W przypadku pierwszym mamy 81 możliwości. W przypadku drugim mamy

4 \cdot 3 = 12

możliwości. Wybieramy trzy rzuty z czterech, w których wypadnie liczba oczek równa

3

, co można zrobić na

4

sposoby. W czwartym rzucie mamy do wyboru jedną z trzech liczb oczek niepodzielnych przez

3

1

4

lub

5

. Otrzymujemy więc ogółem 93 możliwości uzyskania sumy kwadratów liczb oczek otrzymanych w ostatnim etapie, która daje resztę jeden z dzielenia przez trzy. Liczba możliwych wyników w trzecim etapie jest równa

81 + 12 = 93

. Oznacza to, że jest 117180 wszystkich wyników rzutu dziewięcioma kostkami do gry, z których każde dwie mają inny kolor takich, że na dokładnie na trzech kostkach otrzymano po sześć oczek, dokładnie na dwóch kostkach otrzymano po dwa oczka oraz suma kwadratów wszystkich otrzymanych liczb oczek jest podzielna przez trzy. Liczba wszystkich wyników jest równa

84 \cdot 15 \cdot 96 = 117180

Polecenie 2

Korzystając z przykładu omówionego powyżej rozwiąż samodzielnie następujące zadanie.

Rozpatrujemy rzut dziesięcioma sześciennymi kostkami do gry, z których każde dwie mają inny kolor. Oblicz, ile jest wszystkich wyników tego rzutu, które spełniają równocześnie trzy warunki:

dokładnie na trzech kostkach otrzymano po $2$ oczka,

dokładnie na trzech kostkach otrzymano po $1$ oczku,

suma kwadratów wszystkich otrzymanych liczb oczek jest podzielna przez $5$ .

Zliczanie wszystkich możliwych wyników rozłożymy na trzy następujące etapy:
(1) wybór trzech kostek spośród wszystkich dziesięciu, na każdej z których otrzymano po $2$ oczka,
(2) spośród pozostałych siedmiu wybór trzech kostek, na każdej z których otrzymano po $1$ oczku,
(3) ustalenie wszystkich możliwych wyników ostatnich czterech spośród rozpatrywanych rzutów tak, aby suma kwadratów wszystkich otrzymanych liczb oczek była podzielna przez $5$ .

W pierwszym etapie obliczymy, na ile sposobów możemy wybrać trzy kostki, na każdej z których wypadły $2$ oczka.
Ponieważ w tym celu mamy wybrać $3$ kostki spośród $10$ , więc możemy to zrobić na $(\begin{matrix} 10 \\ 3 \end{matrix}) = 120$ sposobów.

W drugim etapie obliczamy, na ile sposobów z pozostałych siedmiu kostek możemy wybrać trzy, na każdej z których wypadło $1$ oczko.
Ponieważ w tym celu mamy wybrać $3$ kostki spośród $7$ , więc możemy to zrobić na $(\begin{matrix} 7 \\ 3 \end{matrix}) = 35$ sposobów.

Przypomnijmy teraz, że:

kwadrat każdej liczby całkowitej podzielnej przez $5$ jest liczbą podzielną przez $5$ ,
kwadrat każdej liczby całkowitej, która przy dzieleniu przez $5$ daje resztę $1$ lub $4$ przy dzieleniu przez $5$ daje resztę $1$ ,
kwadrat każdej liczby całkowitej, która przy dzieleniu przez $5$ daje resztę $2$ lub $3$ przy dzieleniu przez $5$ daje resztę $4$ .

Następnie zauważamy, że ponieważ:

kwadrat liczby $2$ daje resztę $4$ z dzielenia przez $5$ ,
kwadrat liczby $1$ daje resztę $1$ z dzielenia przez $5$ ,
więc suma kwadratów liczb oczek otrzymanych w sześciu rzutach omówionych w pierwszych dwóch etapach jest równa $3 \cdot 4 + 3 \cdot 1 = 15$ , czyli jest liczbą podzielną przez $5$ .

Wynika stąd, że suma kwadratów liczb oczek otrzymanych w ostatnim etapie musi być również podzielna przez $5$ .

Zauważmy, że w ostatnim etapie możemy uzyskać jedynie następujące liczby oczek: $3$ , $4$ , $5$ , $6$ .
Spośród nich:

kwadrat liczby $5$ dzieli się przez $5$ ,
kwadrat każdej z liczb: $4$ , $6$ przy dzieleniu przez $5$ daje resztę $1$ ,
kwadrat liczby $3$ przy dzieleniu przez $5$ daje resztę $4$ .

Zatem możliwe są trzy następujące, rozłączne przypadki:
(I) w każdym z czterech rzutów w ostatnim etapie wypadnie liczba oczek równa $5$ - jest tylko jedna taka możliwość,
(II) w dwóch spośród czterech rzutów w ostatnim etapie wypadnie liczba oczek równa $5$ , w trzecim z nich wypadnie liczba oczek równa $3$ i w ostatnim wypadnie liczba oczek równa $4$ lub $6$ – takich możliwości jest $(\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix}) \cdot 2 = 24$ ,
(III) w dwóch spośród czterech rzutów w ostatnim etapie wypadnie liczba oczek $4$ lub $6$ i w dwóch pozostałych wypadnie liczba oczek równa $3$ – takich możliwości jest $(\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix}) \cdot 2 = 12$ .

Oznacza to, że liczba wszystkich możliwości w trzecim etapie jest równa $1 + 24 + 12 = 37$ .

Ostatecznie stwierdzamy więc, że jest $120 \cdot 35 \cdot 37 = 155400$ wszystkich wyników rzutu dziesięcioma kostkami do gry, z których każde dwie mają inny kolor i takich, że dokładnie na trzech kostkach otrzymano po dwa oczka, dokładnie na trzech kostkach otrzymano po jednym oczku oraz suma kwadratów wszystkich otrzymanych liczb oczek jest podzielna przez $5$ .

$155400$

Przeczytaj

Sprawdź się