Rozpatrzmy więc rzut trzema kostkami, z których każda ma inny kolor. Obliczymy, ile jest wszystkich możliwych wyników, w których suma oczek uzyskanych na wszystkich trzech kostkach jest równa:
a) $11$,
b) $12$.

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że kostki są w kolorach białym, żółtym oraz niebieskim. Oznaczmy liczby oczek, które wypadły na kostkach białej, żółtej i niebieskiej przez, odpowiednio, $w_1$, $w_2$, $w_3$.
Wynik rzutu tymi trzema kostkami zapiszemy jako trzyelementowy ciąg $\left(w_1, w_2, w_3\right)$, gdzie $w_1,w_2,w_3\in \left\{1, 2, 3, 4, 5, 6\right\}$.

Wtedy:

$\left(1\right)$ jeśli wyrzucone liczby oczek na kostkach są parami różne, to wyników jest tyle, ile permutacjipermutacja zbioru $n$–elementowegopermutacji zbioru trzyelementowego, czyli $3!=6$.
Jest tak w każdym z poniższych przypadków:
$\left\{w_1, w_2, w_3\right\}=\left\{1, 4, 6\right\}$
$\left\{w_1, w_2, w_3\right\}=\left\{2, 3, 6\right\}$
$\left\{w_1, w_2, w_3\right\}=\left\{2, 4, 5\right\}$
(zatem w przypadku trzech różnych wyników dla sumy równej $11$ mamy $3·3!=3·6=18$ wyników),
$\left\{w_1, w_2, w_3\right\}=\left\{1, 5, 6\right\}$
$\left\{w_1, w_2, w_3\right\}=\left\{2, 4, 6\right\}$
$\left\{w_1, w_2, w_3\right\}=\left\{3, 4, 5\right\}$
(zatem w przypadku trzech różnych wyników dla sumy równej $12$ mamy również $3·3!=3·6=18$ wyników),

$\left(2\right)$ jeśli wśród liczb oczek wyrzuconych na kostkach dokładnie dwie się powtarzają, to kolory kostek dla nich wybierzemy na $\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)=3$ sposoby, a trzeciemu przyporządkujemy kostkę różną od tych dwóch.
Oznacza to, że $3$ możliwe wyniki są w każdym z poniższych przypadków:
$\left\{w_1, w_2, w_3\right\}=\left\{1, 5, 5\right\}$
$\left\{w_1, w_2, w_3\right\}=\left\{3, 3, 5\right\}$
$\left\{w_1, w_2, w_3\right\}=\left\{3, 4, 4\right\}$
(zatem dla sumy równej $11$ mamy tym razem $3·3=9$ wyników),
$\left\{w_1, w_2, w_3\right\}=\left\{2, 5, 5\right\}$
$\left\{w_1, w_2, w_3\right\}=\left\{3, 3, 6\right\}$
(zatem dla sumy równej $12$ mamy tym razem $3·2=6$ wyników),

$\left(3\right)$ jeśli wszystkie wyrzucone liczby oczek są takie same, to sprzyja mu jeden możliwy wynik rzutu trzema kostkami; tak jest w przypadku, gdy $\left\{w_1, w_2, w_3\right\}=\left\{4, 4, 4\right\}$ – wtedy suma oczek jest równa $12$).

Wynika stąd, że:
a) jest $3·3!+3·3=27$ możliwych wyników, w których suma oczek jest równa $11$,
b) jest $3·3!+2·3+1=25$ możliwych wyników, w których suma oczek jest równa $12$.

Obliczymy, ile jest wszystkich możliwych wyników siedmiokrotnego rzutu sześcienną kostką do gry, w których dokładnie dwa razy wypadło jedno oczko i dokładnie trzy razy wypadło sześć oczek.

Rozwiązanie:

Wynik siedmiokrotnego rzutu kostką zapiszemy jako siedmioelementowy ciąg $\left(w_1, w_2, w_3, w_4, w_5, w_6, w_7\right)$ wyników kolejnych rzutów, gdzie $w_i\in \left\{1, 2, 3, 4, 5, 6\right\}$ dla $i=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$.

Zliczanie wszystkich możliwych wyników przeprowadzimy w trzech kolejnych etapach:

$\left(1\right)$ spośród wszystkich rzutów wybór dwóch takich, w których wypadło po jednym oczku;
ponieważ wybieramy dwa elementy z siedmioelementowego zbioru $\left(w_1, w_2, w_3, w_4, w_5, w_6, w_7\right)$, więc w tym przypadku możliwości jest tyle, ile jest dwuelementowych kombinacji$k$–elementowa kombinacja zbioru $n$–elementowegokombinacji zbioru siedmioelementowego, czyli $\left(\begin{array}{c}7\\ 2\end{array}\right)=\frac{7·6}{2}=21$,

$\left(2\right)$ spośród pięciu pozostałych rzutów wybór trzech takich, w których wypadło po sześć oczek;
ponieważ w tym przypadku wybieramy trzy elementy ze zbioru pięcioelementowego, więc możliwości jest tyle, ile jest trzyelementowych kombinacji$k$–elementowa kombinacja zbioru $n$–elementowegokombinacji zbioru pięcioelementowego, czyli $\left(\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right)=\frac{5·4}{2}=10$,

$\left(3\right)$ przydzielenie dwóm pozostałym rzutom wyników wybranych za każdym razem spośród czterech dostępnych: $\left\{2, 3, 4, 5\right\}$, co można zrobić na $4^2=16$ sposobów.

Korzystając z reguły mnożeniareguła mnożeniareguły mnożenia stwierdzamy ostatecznie, że wszystkich możliwych wyników siedmiokrotnego rzutu sześcienną kostką do gry, w których dokładnie dwa razy wypadło jedno oczko i dokładnie trzy razy wypadło sześć oczek jest
$21·10·16=3360$.

Obliczymy, ile jest wszystkich wyników dziesięciokrotnego rzutu sześcienną kostką do gry, w których dokładnie trzy razy wypadło jedno oczko i dokładnie cztery razy wypadła parzysta liczba oczek.

Rozwiązanie:

Wynik dziesięciokrotnego rzutu kostką zapiszemy jako dziesięcioelementowy ciąg
$\left(w_1, w_2, w_3, w_4, w_5, w_6, w_7, w_8, w_9, w_{10}\right)$ wyników kolejnych rzutów, gdzie $w_i\in \left\{1, 2, 3, 4, 5, 6\right\}$ dla $i=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10$.

Zliczanie wszystkich możliwych wyników przeprowadzimy w trzech kolejnych etapach:

$\left(1\right)$ spośród wszystkich rzutów wybór trzech takich, w których wypadło po jednym oczku;
ponieważ wybieramy trzy elementy z dziesięcioelementowego zbioru $\left(w_1, w_2, w_3, w_4, w_5, w_6, w_7, w_8, w_9, w_{10}\right)$, więc w tym przypadku możliwości jest tyle, ile jest trzyelementowych kombinacji$k$–elementowa kombinacja zbioru $n$–elementowegokombinacji zbioru dziesięcioelementowego, czyli $\left(\begin{array}{c}10\\ 3\end{array}\right)=\frac{10·9·8}{3·2}=120$,

$\left(2\right)$ spośród siedmiu pozostałych rzutów wybór czterech takich, w których wypadła parzysta liczba oczek i uwzględnienie wszystkich możliwych wyników w każdym z tych czterech rzutów;
ponieważ w tym przypadku wybieramy cztery elementy ze zbioru siedmioelementowego, a ponadto w każdym z tych rzutów mamy do wyboru jeden z trzech wyników spośród $\left\{2, 4, 6\right\}$, więc wszystkich możliwości jest tym razem $\left(\begin{array}{c}7\\ 4\end{array}\right)·3^4=\frac{7·6·5}{3·2}·81=2835$,

$\left(3\right)$ przydzielenie trzem pozostałym rzutom wyników wybranych za każdym razem spośród dwóch dostępnych: $\left\{3, 5\right\}$, co można zrobić na $2^3=8$ sposobów.

Korzystając z reguły mnożeniareguła mnożeniareguły mnożenia stwierdzamy ostatecznie, że wszystkich możliwych wyników dziesięciokrotnego rzutu sześcienną kostką do gry, w których dokładnie trzy razy wypadło jedno oczko i dokładnie cztery razy wypadła parzysta liczba oczek jest
$120·2835·8=2721600$.

Rozpatrujemy wyniki rzutu siedmioma kostkami do gry, z których każda ma inny kolor. Obliczymy, ile jest wśród nich wszystkich takich wyników, które spełniają równocześnie trzy warunki:

• dokładnie na trzech kostkach otrzymano po $3$ oczka,

• dokładnie na dwóch kostkach otrzymano po $4$ oczka,

• suma wszystkich otrzymanych liczb oczek jest podzielna przez $3$.

Rozwiązanie:

Zliczanie wszystkich możliwych wyników przeprowadzimy w trzech kolejnych etapach:

$\left(1\right)$ wybór trzech kostek, na każdej z których wypadną $3$ oczka;
takie trzy kostki wybieramy spośród wszystkich siedmiu na $\left(\begin{array}{c}7\\ 3\end{array}\right)=\frac{7·6·5}{3·2}=35$ sposobów,

$\left(2\right)$ wybór dwóch kostek, na każdej z których wypadną $4$ oczka;
takie dwie kostki wybieramy spośród pozostałych czterech na $\left(\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right)=\frac{4·3}{2}=6$ sposobów,

$\left(3\right)$ rozpatrzenie wszystkich możliwych wyników na dwóch pozostałych kostkach tak, aby suma wszystkich otrzymanych liczb oczek była podzielna przez $3$;
ponieważ suma liczb oczek uzyskanych na pięciu kostkach w poprzednio omówionych etapach jest równa
$3·3+4·2=17=3·5+2$,
więc suma liczb uzyskanych na ostatnich dwóch kostkach musi przy dzieleniu przez $3$ dawać resztę $1$; przy tym na żadnej z tych kostek nie możemy już uzyskać ani liczby oczek równej $3$, ani liczby oczek równej $4$.
Warunki te spełniają następujące wyniki: $6$ i $1$, $1$ i $6$, $5$ i $2$, $2$ i $5$ oraz $5$ i $5$.

Wobec tego wszystkich wyników rzutu siedmioma kostkami do gry, które spełniają warunki zadania jest $35·6·5=1050$.

każdy $n$–elementowy ciąg utworzony ze wszystkich elementów zbioru $n$–elementowego

każdy $k$–elementowy podzbiór zbioru $n$–elementowego, gdzie $0\le k\le n$, nazywamy $k$–elementową kombinacją tego zbioru $n$–elementowego

liczba wszystkich możliwych wyników doświadczenia polegającego na wykonaniu po kolei $n$ czynności, z których pierwsza może zakończyć się na jeden z $k_1$ sposobów, druga – na jeden z $k_2$ sposobów, trzecia – na jeden z $k_3$ sposobów i tak dalej do $n$–tej czynności, która może zakończyć się na jeden z $k_n$ sposobów, jest równa