Przeczytaj
Kawaler de Méré obstawiając wyniki w rzucie trzema sześciennymi kostkami do gry był przekonany, że suma oczek na wszystkich kostkach równa pojawia się z taką samą częstością, jak suma oczek równa .
Zauważył mianowicie, że:
sumę oczek równą można otrzymać sześcioma sposobami:
,
sumę oczek równą również można otrzymać sześcioma sposobami:
.
Tymczasem praktyka pokazywała, że suma oczek równa wypada częściej niż suma oczek równa .
Rozpatrzmy więc rzut trzema kostkami, z których każda ma inny kolor. Obliczymy, ile jest wszystkich możliwych wyników, w których suma oczek uzyskanych na wszystkich trzech kostkach jest równa:
a) ,
b) .
Rozwiązanie
Przypuśćmy, że kostki są w kolorach białym, żółtym oraz niebieskim. Oznaczmy liczby oczek, które wypadły na kostkach białej, żółtej i niebieskiej przez, odpowiednio, , , .
Wynik rzutu tymi trzema kostkami zapiszemy jako trzyelementowy ciąg , gdzie .
Wtedy:
jeśli wyrzucone liczby oczek na kostkach są parami różne, to wyników jest tyle, ile permutacjipermutacji zbioru trzyelementowego, czyli .
Jest tak w każdym z poniższych przypadków:
(zatem w przypadku trzech różnych wyników dla sumy równej mamy wyników),
(zatem w przypadku trzech różnych wyników dla sumy równej mamy również wyników),
jeśli wśród liczb oczek wyrzuconych na kostkach dokładnie dwie się powtarzają, to kolory kostek dla nich wybierzemy na sposoby, a trzeciemu przyporządkujemy kostkę różną od tych dwóch.
Oznacza to, że możliwe wyniki są w każdym z poniższych przypadków:
(zatem dla sumy równej mamy tym razem wyników),
(zatem dla sumy równej mamy tym razem wyników),
jeśli wszystkie wyrzucone liczby oczek są takie same, to sprzyja mu jeden możliwy wynik rzutu trzema kostkami; tak jest w przypadku, gdy – wtedy suma oczek jest równa ).
Wynika stąd, że:
a) jest możliwych wyników, w których suma oczek jest równa ,
b) jest możliwych wyników, w których suma oczek jest równa .
Uwaga:
W praktyce szkolnej przy rozpatrywaniu zdarzenia związanego z rzutem kilkoma kostkami do gry zazwyczaj podaje się informację, że kostki są rozróżnialne np. kolorem. Kawaler de Méré obstawiał wyniki rzutów trzema nierozróżnialnymi kostkami. Był więc przekonany, że skoro obie interesujące go sumy oczek da się przedstawić na sposobów, to i szanse na uzyskanie tych sum są równe. A jednak okazało się, że ważne są nie tylko rozkłady sum oczek, ale i kostki, do których są one przypisane.
Obliczymy, ile jest wszystkich możliwych wyników siedmiokrotnego rzutu sześcienną kostką do gry, w których dokładnie dwa razy wypadło jedno oczko i dokładnie trzy razy wypadło sześć oczek.
Rozwiązanie:
Wynik siedmiokrotnego rzutu kostką zapiszemy jako siedmioelementowy ciąg wyników kolejnych rzutów, gdzie dla .
Zliczanie wszystkich możliwych wyników przeprowadzimy w trzech kolejnych etapach:
spośród wszystkich rzutów wybór dwóch takich, w których wypadło po jednym oczku;
ponieważ wybieramy dwa elementy z siedmioelementowego zbioru , więc w tym przypadku możliwości jest tyle, ile jest dwuelementowych kombinacjikombinacji zbioru siedmioelementowego, czyli ,
spośród pięciu pozostałych rzutów wybór trzech takich, w których wypadło po sześć oczek;
ponieważ w tym przypadku wybieramy trzy elementy ze zbioru pięcioelementowego, więc możliwości jest tyle, ile jest trzyelementowych kombinacjikombinacji zbioru pięcioelementowego, czyli ,
przydzielenie dwóm pozostałym rzutom wyników wybranych za każdym razem spośród czterech dostępnych: , co można zrobić na sposobów.
Korzystając z reguły mnożeniareguły mnożenia stwierdzamy ostatecznie, że wszystkich możliwych wyników siedmiokrotnego rzutu sześcienną kostką do gry, w których dokładnie dwa razy wypadło jedno oczko i dokładnie trzy razy wypadło sześć oczek jest
.
Obliczymy, ile jest wszystkich wyników dziesięciokrotnego rzutu sześcienną kostką do gry, w których dokładnie trzy razy wypadło jedno oczko i dokładnie cztery razy wypadła parzysta liczba oczek.
Rozwiązanie:
Wynik dziesięciokrotnego rzutu kostką zapiszemy jako dziesięcioelementowy ciąg
wyników kolejnych rzutów, gdzie dla .
Zliczanie wszystkich możliwych wyników przeprowadzimy w trzech kolejnych etapach:
spośród wszystkich rzutów wybór trzech takich, w których wypadło po jednym oczku;
ponieważ wybieramy trzy elementy z dziesięcioelementowego zbioru , więc w tym przypadku możliwości jest tyle, ile jest trzyelementowych kombinacjikombinacji zbioru dziesięcioelementowego, czyli ,
spośród siedmiu pozostałych rzutów wybór czterech takich, w których wypadła parzysta liczba oczek i uwzględnienie wszystkich możliwych wyników w każdym z tych czterech rzutów;
ponieważ w tym przypadku wybieramy cztery elementy ze zbioru siedmioelementowego, a ponadto w każdym z tych rzutów mamy do wyboru jeden z trzech wyników spośród , więc wszystkich możliwości jest tym razem ,
przydzielenie trzem pozostałym rzutom wyników wybranych za każdym razem spośród dwóch dostępnych: , co można zrobić na sposobów.
Korzystając z reguły mnożeniareguły mnożenia stwierdzamy ostatecznie, że wszystkich możliwych wyników dziesięciokrotnego rzutu sześcienną kostką do gry, w których dokładnie trzy razy wypadło jedno oczko i dokładnie cztery razy wypadła parzysta liczba oczek jest
.
Rozpatrujemy wyniki rzutu siedmioma kostkami do gry, z których każda ma inny kolor. Obliczymy, ile jest wśród nich wszystkich takich wyników, które spełniają równocześnie trzy warunki:
dokładnie na trzech kostkach otrzymano po oczka,
dokładnie na dwóch kostkach otrzymano po oczka,
suma wszystkich otrzymanych liczb oczek jest podzielna przez .
Rozwiązanie:
Zliczanie wszystkich możliwych wyników przeprowadzimy w trzech kolejnych etapach:
wybór trzech kostek, na każdej z których wypadną oczka;
takie trzy kostki wybieramy spośród wszystkich siedmiu na sposobów,
wybór dwóch kostek, na każdej z których wypadną oczka;
takie dwie kostki wybieramy spośród pozostałych czterech na sposobów,
rozpatrzenie wszystkich możliwych wyników na dwóch pozostałych kostkach tak, aby suma wszystkich otrzymanych liczb oczek była podzielna przez ;
ponieważ suma liczb oczek uzyskanych na pięciu kostkach w poprzednio omówionych etapach jest równa
,
więc suma liczb uzyskanych na ostatnich dwóch kostkach musi przy dzieleniu przez dawać resztę ; przy tym na żadnej z tych kostek nie możemy już uzyskać ani liczby oczek równej , ani liczby oczek równej .
Warunki te spełniają następujące wyniki: i , i , i , i oraz i .
Wobec tego wszystkich wyników rzutu siedmioma kostkami do gry, które spełniają warunki zadania jest .
Słownik
każdy –elementowy ciąg utworzony ze wszystkich elementów zbioru –elementowego
każdy –elementowy podzbiór zbioru –elementowego, gdzie , nazywamy –elementową kombinacją tego zbioru –elementowego
liczba wszystkich możliwych wyników doświadczenia polegającego na wykonaniu po kolei czynności, z których pierwsza może zakończyć się na jeden z sposobów, druga – na jeden z sposobów, trzecia – na jeden z sposobów i tak dalej do –tej czynności, która może zakończyć się na jeden z sposobów, jest równa