Ilustracja interaktywna. Obliczymy, dla jakich wartości parametru $m$ równanie
$-x^4-2m{x}^2+\left(m+\frac{1}{4}\right)=0$
ma cztery różne pierwiastki. 1. Zastosujemy podstawienie $x^2=t$, $t\ge 0$. Aby równanie $-x^4-2m{x}^2+\left(m+\frac{1}{4}\right)=0$ miało cztery róźne pierwiastki, równanie $-t^2-2mt+m+\frac{1}{4}=0$, gdzie $t\ge 0$ musi mieć dwa pierwiastki dodatnie., 2. Aby równanie dwukwadratowe miało cztery rozwiązania, równanie $-t^2+2mt+m+1=0$ musi mieć dwa rozwiązania dodatnie. Muszą być spełnione warunki: $\left\{\begin{array}{l}1. \Delta >0\\ 2. t_1·t_2>0\\ 3. t_1+t_2>0\end{array}\right.$.

Ilustracja interaktywna. Warunek pierwszy: $\Delta >0$. 1. Najpierw sprawdzimy, dla jakich wartości parametru $m$ „delta” jest dodatnia. $\Delta ={\left(-2m\right)}^2+4\left(m+\frac{1}{4}\right)=4m^2+4m+1$, Dalej mamy: $\Delta >0\iff 4m^2+4m+1>0$, więc ${\left(2m+1\right)}^2>0$, zatem $m\ne \frac{1}{2}$., 2. Równanie kwadratowe ma dwa różne pierwiastki dla $m\in \mathrm{ℝ} \setminus \left\{-\frac{1}{2}\right\}$.

Ilustracja interaktywna. Warunek drugi: $t_1·t_2>0$. 1. Teraz sprawdzimy warunki, dla których oba pierwiastki równania są dodatnie. Najpierw obliczymy, dla jakich wartości parametru $m$ iloczyn pierwiastków jest dodatni. $\frac{m+{\displaystyle \frac{1}{4}}}{-1}>0$ Po uproszczeniu otrzymujemy: $m+\frac{1}{4}<0$, zatem $m<-\frac{1}{4}$., 2. Iloczyn pierwiastków równania jest dodatni dla $m\in \left(-\infty ,-\frac{1}{4}\right)$.

Ilustracja interaktywna. Warunek trzeci: $t_1+t_2>0$. 1. Obliczymy teraz, kiedy suma pierwiastków równania jest dodatnia., $\frac{2m}{-1}>0$, więc $m<0$., 2. Suma pierwiastków równania jest dodatnia dla $m\in \left(-\infty ,0\right)$.

Ilustracja interaktywna 1. Wyznaczymy część wspólną warunków. Rysunek przedstawia poziomą oś $m$ z zaznaczonymi na niej liczbami: $-\frac{1}{2}; -\frac{1}{4}; 0$. Liczby zaznaczono niezamalowanymi kółkami. Na osi zaznaczono dwa przedziały otwarte: od minus nieskończoności do minus jednej drugiej oraz od minus nieskończoności do minus jednej czwartej. Część wspólna tych przedziałów jest rozwiązaniem zadania. Odpowiedź. Aby równanie miało cztery rozwiązania $m\in \left(-\infty ;-\frac{1}{2}\right)\cup \left(-\frac{1}{2};-\frac{1}{4}\right)$.