Parabola $y=a{x}^2+bx+c$ ( gdzie    liczba a jest różna od zera) ma wierzchołek w punkcie o współrzędnych:

gdzie:
$∆=b^2-4ac$.

Jeżeli parabola ma wierzchołek w punkcie $\left(p, q\right)$ to jej osią symetrii jest prosta $x=p$.

Wykażemy, że równanie $k{x}^2+\left(k+3\right)x+3=0$ ma rozwiązanie dla dowolnej wartości parametru $k\ne 0$.

$k{x}^2+\left(k+3\right)x+3=0$

Aby równanie kwadratowe miało rozwiązanie $∆\ge 0$.

$∆={\left(k+3\right)}^2-4·k·3=k^2+6k+9-12k=k^2-6k+9={\left(k-3\right)}^2$

${\left(k-3\right)}^2\ge 0$ dla $k\in \mathrm{ℝ}$, bo kwadrat  liczby rzeczywistej  jest zawsze nieujemny.

Czyli dla $k\in \mathrm{ℝ}\setminus \left\{0\right\}$ równanie ma rozwiązanie.

Dane są funkcje $f\left(x\right)=x^2+4$ i $g\left(x\right)=-3x^2+2px$. Obliczymy, dla jakich wartości parametru $p$ parabole, będące wykresami funkcji $f\left(x\right)$ i $g\left(x\right)$ przecinają się w jednym punkcie, który znajduje się w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych.

Rozważymy równanie $x^2+4=-3x^2+2px$.

$4x^2-2px+4=0$

Aby równanie miało jedno rozwiązanie $∆=0$.

$∆={\left(2p\right)}^2-4·4·4=4p^2-64$

$4p^2-64=0$

$p^2-16=0$

$p=-4$ lub $p=4$

Dla $p=-4$ otrzymujemy:

$4x^2-2·\left(-4\right)x+4=0$

$4x^2+8x+4=0$

$x^2+2x+1=0$

${\left(x+1\right)}^2=0$

$x=-1$

Ponieważ pierwsza współrzędna punktu jest liczbą ujemną, więc punkt nie leży w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych.

Dla $p=4$ otrzymujemy:

$4x^2-8x+4=0$

$4x^2-8x+4=0$

$x^2-2x+1=0$

${\left(x-1\right)}^2=0$

$x=1$

$f\left(1\right)=1^2+4=5$

Ponieważ obie współrzędne punktu przecięcia wykresów są dodatnie, oznacza to, że dla $p=4$ punkt leży w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych.

Obliczymy,  dla jakich wartości parametru $z$ funkcja $f\left(x\right)=2x^2+\left(z-1\right)x+z$ przyjmuje najmniejszą wartość, która jest liczbą ujemną.

$f\left(x\right)=2x^2+\left(z-1\right)x+z$

Funkcja kwadratowa przyjmuje najmniejszą wartość, gdy współczynnik $a>0$.

Dla funkcji $f$ mamy $a=2>0$ dla $z\in ℝ$.

Funkcja kwadratowa przyjmuje najmniejszą wartość w wierzchołku paraboli, będącej wykresem funkcji.

Czyli $q=\frac{-∆}{4a}$ jest najmniejszą wartością funkcji $f$.

$∆={\left(z-1\right)}^2-4·2·z=z^2-2z+1-8z=z^2-10z+1$

$q=\frac{-\left(z^2-10z+1\right)}{4·2}=\frac{-\left(z^2-10z+1\right)}{8}$

Najmniejsza wartość funkcji $f$ będzie liczbą ujemną dla $\frac{-\left(z^2-10z+1\right)}{8}<0 |·\left(-8\right)$.

$z^2-10z+1>0$

${∆}_z=100-4·1=96$

$\sqrt{{∆}_z}=\sqrt{96}=\sqrt{16·6}=4\sqrt{6}$

$z_1=\frac{10-4\sqrt{6}}{2}=5-2\sqrt{6}$

$z_2=\frac{10+4\sqrt{6}}{2}=5+2\sqrt{6}$

$z\in \left(-\infty , 5-2\sqrt{6}\right)\cup \left(5+2\sqrt{6}, \infty \right)$

Dla jakich wartości parametru $k$ równanie $x^2+\left(k-1\right)x+2k-1=0$ ma dwa rozwiązania takie, że jedno jest sinusem a drugie jest cosinusem tego samego kąta?

Niech $x_1=\sin \alpha$, $x_2=\cos \alpha$.

Rozwiążemy układ warunków:

$\left\{\begin{array}{l}1. ∆\ge 0\\ 2. x_1^2+x_2^2=1\end{array}\right.$

$1$. Wyróżnik trójmianu kwadratowego ma być liczbą nieujemną, ponieważ równanie może mieć podwójny pierwiastek ($\sin \alpha$ i $\cos \alpha$ będą przyjmowały taką samą wartość).
$∆={\left(k-1\right)}^2-4·\left(2k-1\right)=k^2-2k+1-8k+4=k^2-10k+5$
$∆\ge 0\iff k^2-10k+5\ge 0$
${∆}_k={\left(-10\right)}^2-4·5=100-20=80$
$\sqrt{{∆}_k}=4\sqrt{5}$
$k_1=\frac{10-4\sqrt{5}}{2}=5-2\sqrt{5}$
$k_2=\frac{10+4\sqrt{5}}{2}=5+2\sqrt{5}$
$k\in (-\mathrm{\infty },5-2\sqrt{5}>\cup <5+2\sqrt{5},\mathrm{\infty })$

$2$. Aby zachodziły warunki zadania musi być spełniona „jedynka trygonometrycznajedynka trygonometrycznajedynka trygonometryczna”.
${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$
$x_1^2+x_2^2=1$
${\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1·x_2=1$
${\left(k-1\right)}^2-2·\left(2k-1\right)=1$
$k^2-6k+2=0$
$∆=36-4·2=28$
$\sqrt{∆}=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$
$k_1=\frac{6-2\sqrt{7}}{2}=3-\sqrt{7}\notin (-\mathrm{\infty },5-2\sqrt{5}>\cup <5+2\sqrt{5},+\mathrm{\infty })$
$k_2=\frac{6+2\sqrt{7}}{2}=3+\sqrt{7}\notin (-\mathrm{\infty },5-2\sqrt{5}>\cup <5+2\sqrt{5},\mathrm{\infty })$

Zatem nie istnieje wartość parametru $k$ dla której równanie ma dwa rozwiązania takie, że jedno jest sinusem a drugie jest cosinusem tego samego kąta.

jeżeli równanie kwadratowe $a{x}^2+bx+c=0$, gdzie $a\ne 0$, ma pierwiastki $x_1$, $x_2$, to:

oraz