Galeria zdjęć interaktywnych

Polecenie 1

Zapoznaj się z zadaniem i jego rozwiązaniem przedstawionym w galerii zdjęć interaktywnych.

R4XYIhpm6JnVy

Ilustracja pierwsza. Przedstawiono zadanie o następującej treści. Wyznaczymy wszystkie wartości parametru m, dla których dziedziną funkcji wymiernej

f (x) = \frac{3}{(m^{2} - 4) x + (m - 2) x + 2}

jest zbiór liczb rzeczywistych. Rozwiązanie zadania zaczynamy od założenia. Dziedziną funkcji

f

jest zbiór liczb rzeczywistych wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian znajdujący się w mianowniku we wzorze funkcji

f

nie przyjmuje wartości równej zeru.
Rozpatrzmy dwa przypadki.

R1Yx30HdMNVja

R8oJq8D4uLmw7

R1LVQvWgFPQXI

R18tQsQ9cDyE4

Ilustracja piąta. Odpowiedź. Sumujemy rozwiązania z obu przypadków. W przypadku pierwszym otrzymaliśmy rozwiązanie

m = 2

. W przypadku drugim

m \in (- \infty, - \frac{18}{7}) \cup (2, \infty)

. Po zsumowaniu obu rozwiązań otrzymano przedział

m \in (- \infty, - \frac{18}{7}) \cup ⟨ 2, \infty)

. Otrzymaną sumę rozwiązań zaznaczamy na osi liczbowej. Zaznaczamy przedział od

- \infty

- \frac{18}{7}

prawostronnie otwarty, oraz przedział od 2 do

\infty

lewostronnie domknięty.

Polecenie 2

RJeleZ38i1FTd

Wskaż wszystkie wartości parametru $m$ , $m \in ℝ$ , dla których dziedziną funkcji $f (x) = \frac{x^{2} + 1}{m x^{2} + m x + 2}$ jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych.

$m \in "⟨"0, 8)$
$m \in (0; 8)$
$m \in (- 8; 0)$
$m \in (- 8, 0"⟩"$

Dziedziną funkcji $f$ jest zbiór liczb rzeczywistych wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian $f (x) = m x^{2} + m x + 2$ nie ma miejsc zerowych.

Zauważmy, że wielomian $f (x)$ nie zawsze jest trójmianem kwadratowym.
Dla $m = 0$ mamy $f (x) = 2$ , czyli warunki zadania są spełnione.

Aby funkcja $f (x) = m x^{2} + m x + 2$ była trójmianem kwadratowym, to $m \neq 0$ . Wtedy jej wyróżnik musi być ujemny, by nie przyjmowała ona wartości równej zero.
$∆ = m^{2} - 8 m < 0$
$m \in (0; 8)$

Sumujemy odpowiedzi z punktu 1 i 2.

Odpowiedź: $m \in ⟨0, 8)$ .

Polecenie 3

Udowodnij, że dla każdego $m \in ℝ$ dziedziną funkcji wymiernej $f (x) = \frac{x^{4} + 2 x^{2}}{x^{2} + x + m^{2} + 1}$ jest zbiór liczb rzeczywistych.

Dziedziną funkcji wymiernej jest zbiór liczb rzeczywistych, jeśli funkcja znajdująca się w mianowniku nie posiada miejsc zerowych.

Funkcja $f (x) = x^{2} + x + m^{2} + 1$ nie będzie miała miejsc zerowych, jeśli $∆ < 0$ .

$∆ = 1 - 4 (m^{2} + 1) = - 4 m^{2} - 3$

Zauważmy, że $∆$ jest zawsze ujemna, gdyż $m^{2} \geq 0$ ,

czyli dla każdego $m \in ℝ : - 4 m^{2} - 3 < 0$ .

Zatem dziedziną funkcji $f (x)$ jest zbiór liczb rzeczywistych dla $m \in ℝ$ - co należało udowodnić.

Przeczytaj

Sprawdź się