Funkcję $f\left(x\right)=\frac{W_1\left(x\right)}{W_2\left(x\right)}$, gdzie $W_1\left(x\right)$, $W_2\left(x\right)$ są wielomianamiwielomianwielomianami i $W_2\left(x\right)\not\equiv 0$, nazywamy funkcją wymierną.

Dziedziną funkcji wymiernej jest zbiór liczb rzeczywistych z wyjątkiem tych liczb $x$, które są pierwiastkami wielomianupierwiastek wielomianupierwiastkami wielomianu $W_2\left(x\right)$.

Wyznaczymy dziedzinę funkcji wymiernej $f\left(x\right)=\frac{2x-5}{x^2-9}$.

Rozwiązanie

Aby wyznaczyć dziedzinę funkcji $f$ należy wyznaczyć pierwiastki wielomianu znajdującego się w mianowniku ułamka opisującego funkcję $f$.

$x^2-9=0$

$x=3\vee x=-3$,

czyli $D_f=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{-3;3\right\}$.

Wyznaczymy dziedzinę funkcji wymiernej $f\left(x\right)=\frac{x^2-3x-4}{x^2+x+2}$.

Rozwiązanie

Aby wyznaczyć dziedzinę funkcji $f$ należy wyznaczyć pierwiastki wielomianu znajdującego się w mianowniku ułamka opisującego funkcję $f$.

$x^2+x+2=0$

Obliczamy $∆=1^2-4·1·2=1-8=-7$, $∆<0$, czyli mianownik nigdy nie przyjmuje wartości równej zero, a zatem $D_f=\mathrm{ℝ}$.

Wyznaczymy wartość parametru $m$, dla którego dziedziną funkcji wymiernej $f\left(x\right)=\frac{2x^2-3x-6}{x^2+mx+m}$ jest zbiór liczb rzeczywistych.

Rozwiązanie

Aby dziedziną funkcji wymiernej był zbiór $\mathrm{ℝ}$, to mianownik nie może mieć miejsc zerowych. W naszym przypadku mianownik jest trójmianem kwadratowym, czyli nie będzie miał pierwiastków, jeśli $∆<0$. Obliczamy $∆$:

$∆=m^2-4m$.

Następnie rozwiązujemy nierówność:

$m^2-4m<0$

$m\left(m-4\right)<0$

Wyznaczmy miejsca zerowe funkcji $f\left(m\right)=m(m-4)$ i naszkicujemy jej wykres:

$m=0\vee m=4$.

RyXCTlR3Ab98l

Na ilustracji przedstawiono wykres funkcji $y=f\left(m\right)$. Wykresem funkcji jest parabola o ramionach skierowanych w górę i miejscach zerowych w punktach zero i cztery.

Odpowiedź: $m\in \left(0;4\right)$.

Funkcje $f$ i $g$ są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają identyczne dziedziny oraz dla każdego argumentu należącego do ich wspólnej dziedziny wartości obu funkcji są jednakowe.

Sprawdzimy, czy funkcje $f\left(x\right)=\frac{x^4+x^2}{x^2}$ oraz $g\left(x\right)=x^2+1$ są równe.

Rozwiązanie

Wyznaczamy dziedziny podanych funkcji: $D_f=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{0\right\}$, $D_g=\mathrm{ℝ}$, czyli funkcje nie są równe ponieważ $D_f\ne D_g$.

Wyznaczymy $a$ i $b$ tak, aby funkcje $f\left(x\right)=\frac{a}{x-2}+\frac{b}{x-4}$ oraz $g\left(x\right)=\frac{4x-10}{x^2-6x+8}$ były równe.

Rozwiązanie

Wyznaczamy dziedziny podanych funkcji: $D_f=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{2;4\right\}$ oraz $D_g=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{2;4\right\}$, czyli warunek dotyczący dziedzin funkcji jest spełniony.

Przekształcamy wzór funkcji $f$:

$f\left(x\right)=\frac{a}{x-2}+\frac{b}{x-4}=\frac{ax-4a+bx-2b}{(x-2)(x-4)}=\frac{x(a+b)-4a-2b}{x^2-6x+8}$.

Zauważamy, że mianowniki obu ułamków są równe, a liczniki będą równe, gdy:

$a+b=4$ oraz $-4a-2b=-10$.

Rozwiązujemy układ równań:

$\left\{\begin{array}{l}a+b=4\\ -4a-2b=-10\end{array}\right.$.

Odpowiedź: $a=1$, $b=3$.

Wyznaczymy pozostałe miejsca zerowe funkcji $f\left(x\right)=\frac{x^3+a{x}^2-16x+32}{2-x}$ wiedząc, że jednym z nich jest liczba $\left(-4\right)$.

Rozwiązanie

Wyznaczymy $a$ korzystając z informacji, że jednym z miejsc zerowych funkcji $f$ jest liczba $\left(-4\right)$.

$f\left(-4\right)=0$

$\frac{{\left(-4\right)}^3+a{\left(-4\right)}^2-16\left(-4\right)+32}{2-\left(-4\right)}=0$

$\frac{-64+16a+64+32}{6}=0$

$a=-2$

Zatem wzór funkcji ma postać $f\left(x\right)=\frac{x^3-2x^2-16x+32}{2-x}$.

Aby wyznaczyć pozostałe miejsca zerowe, należy rozwiązać równanie $f\left(x\right)=0$.

$\frac{x^3-2x^2-16x+32}{2-x}=0$

Wyznaczamy dziedzinę: $D_f=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{2\right\}$.

$x^3-2x^2-16x+32=0$

$x^2\left(x-2\right)-16\left(x-2\right)=0$

$\left(x^2-16\right)\left(x-2\right)=0$

$x=4\vee x=-4\vee x=2$

Liczba $x=2$ nie należy do dziedziny funkcji, zatem pozostałym miejscem zerowym jest liczba $4$.

wyrażenie algebraiczne będące sumą jednomianówjednomianjednomianów

wyrażenie algebraiczne będące literą lub liczbą lub iloczynem liter i liczb

argument, dla którego wartość wielomianu wynosi zero