Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

RDxrmFT5S2bQy

Wskaż funkcje wymierne.

$f (x) = - x^{5} + 3 x^{3} - x$
$f (x) = \frac{\sin x}{x}$
$f (x) = \frac{"|"x"|"}{x + 7}$
$f (x) = \frac{x^{7} + 7}{x + \sqrt{7}}$
$f (x) = \frac{- 2 x^{8} + \sqrt{x}}{x^{2} - 4}$

Ćwiczenie 2

R1Eiyfa88IEth

Połącz w pary funkcję wymierną z jej dziedziną.

f (x) = \frac{- 2 x^{8} + 3}{x^{2} - 4}

Możliwe odpowiedzi: 1.

D_{f} = ℝ \ \{0; 2\}

, 2.

D_{f} = ℝ \ \{0; - 2\}

, 3.

D_{f} = ℝ

, 4.

D_{f} = ℝ \ \{- 2; 2\}

f (x) = \frac{- 2 x^{3} + 7 x - 3}{2 x^{2} + 8}

Możliwe odpowiedzi: 1.

D_{f} = ℝ \ \{0; 2\}

, 2.

D_{f} = ℝ \ \{0; - 2\}

, 3.

D_{f} = ℝ

, 4.

D_{f} = ℝ \ \{- 2; 2\}

f (x) = \frac{x^{4} + 13 x^{3} + 7 x - 3}{x^{2} - 2 x}

Możliwe odpowiedzi: 1.

D_{f} = ℝ \ \{0; 2\}

, 2.

D_{f} = ℝ \ \{0; - 2\}

, 3.

D_{f} = ℝ

, 4.

D_{f} = ℝ \ \{- 2; 2\}

f (x) = \frac{- 7 x^{5} - x^{4} - 2 x^{3} + 7 x + 5}{x^{4} + 2 x^{3}}

Możliwe odpowiedzi: 1.

D_{f} = ℝ \ \{0; 2\}

, 2.

D_{f} = ℝ \ \{0; - 2\}

, 3.

D_{f} = ℝ

, 4.

D_{f} = ℝ \ \{- 2; 2\}

Połącz w pary funkcję wymierną i jej dziedzinę.

$f (x) = \frac{- 2 x^{8} + 3}{x^{2} - 4}$
$f (x) = \frac{- 2 x^{3} + 7 x - 3}{2 x^{2} + 8}$
$f (x) = \frac{x^{4} + 13 x^{3} + 7 x - 3}{x^{2} - 2 x}$
$f (x) = \frac{- 7 x^{5} - x^{4} - 2 x^{3} + 7 x + 5}{x^{4} + 2 x^{3}}$

Ćwiczenie 3

R1AjKtzzUndam

Dziedziną funkcji $f (x) = \frac{- 3 x^{5} + x^{2} - 7 x + 5}{- x^{5} + 8 x^{3} + 9 x}$ jest zbiór:

$D_{f} = ℝ \ "{"- 3; 0; 3"}"$
$D_{f} = ℝ \ "{"- 3; - 1; 0; 1; 3"}"$
$D_{f} = ℝ \ "{"0; 1; 3"}"$
$D_{f} = ℝ \ "{"1; 3"}"$

Ćwiczenie 4

Sprawdź, czy funkcje $f$ i $g$ są równe, jeśli $f (x) = \frac{x^{4} - 1}{x^{2} - 1}$ oraz $g (x) = x^{2} + 1$ .

Wyznaczamy dziedziny podanych funkcji: $D_{f} = ℝ ∖ \{- 1; 1\}$ , $D_{g} = ℝ$ , czyli funkcje nie są równe, ponieważ $D_{f} \neq D_{g}$ .

Ćwiczenie 5

Sprawdź, czy funkcje $f (x) = \frac{x^{4} + 6 x^{2} + 9}{x^{2} + 3}$ oraz $g (x) = x^{2} + 3$ są równe.

Wyznaczamy dziedziny podanych funkcji: $D_{f} = ℝ$ , $D_{g} = ℝ$ , czyli dziedziny funkcji są równe. Należy jeszcze sprawdzić, czy $f (x) = g (x)$ . W tym celu przekształcimy wzór funkcji $f$ .

$f (x) = \frac{x^{4} + 6 x^{2} + 9}{x^{2} + 3} = \frac{{(x^{2} + 3)}^{2}}{x^{2} + 3} = x^{2} + 3 = g (x)$ , czyli funkcje są równe.

Ćwiczenie 6

RZKYdq5mJ7oo3

Jednym z miejsc zerowych funkcji $f (x) = \frac{x^{3} + a x^{2} - x + 4}{2 x + 2}$ jest liczba $4$ . Pozostałe miejsca zerowe to:

$x = 1$
$x = - 1$
$x = - 1 \lor x = 1$

Ćwiczenie 7

RgpErVhNNcRjl

Wyznacz największą całkowitą wartość parametru $m$ , dla którego dziedziną funkcji $f (x) = \frac{3 x - 13}{x^{2} + 2 m x + 3 m}$ jest zbiór $ℝ$ .

$m =$ ............

Aby dziedziną funkcji wymiernej był zbiór $ℝ$ , to mianownik nie może mieć miejsc zerowych. W naszym przypadku mianownik jest trójmianem kwadratowym, czyli nie będzie miał pierwiastków, jeśli $∆ < 0$ . Obliczamy $∆$ :

$∆ = 4 m^{2} - 12 m$ .

Następnie trzeba rozwiązać nieróność:

$4 m^{2} - 12 m < 0$

$4 m (m - 3) < 0$

Obliczamy miejsce zerowe odpowiedniej funkcji i określamy przedział, dla którego funkcja przyjmuje wartości ujemne

$m = 0 \lor m = 3$

$m \in (0; 3)$ .

Odpowiedź: Tą liczbą jest $2$ , gdyż jest ona największą liczbą całkowitą w zbiorze $m \in (0; 3)$ .

Ćwiczenie 8

Wyznacz $a$ i $b$ tak, aby funkcje $f (x) = \frac{a + 1}{x + 2} + \frac{b - 2}{x - 5}$ oraz $g (x) = \frac{4 x - 20}{x^{2} - 3 x - 10}$ były równe.

Wyznaczamy dziedziny podanych funkcji: $D_{f} = ℝ ∖ \{- 2; 5\}$ oraz $D_{g} = ℝ ∖ \{- 2; 5\}$ , czyli warunek dotyczący dziedzin funkcji jest spełniony.

Przekształcamy wzór funkcji $f$ :

$f (x) = \frac{a + 1}{x + 2} + \frac{b - 2}{x - 5} = \frac{(a + 1) (x - 5) + (x + 2) (b - 2)}{x^{2} - 3 x - 10} =$

$= \frac{a x - 5 a + x - 5 + b x - 2 x + 2 b - 4}{x^{2} - 3 x - 10} = \frac{x (a + b - 1) + 2 b - 5 a - 9}{x^{2} - 3 x - 10}$ .

Zauważamy, że mianowniki obu ułamków są równe a liczniki będą równe, gdy:

$\{\begin{cases} a + b - 1 = 4 \\ 2 b - 5 a - 9 = - 20 \end{cases}$ .

Rozwiązujemy powyższy układ równań.

Odpowiedź: $a = 3$ , $b = 2$ .

Galeria zdjęć interaktywnych

Dla nauczyciela