Wyznaczymy, dla jakich wartości parametru a nierówność $a^2{x}^2+1-a^2>0$ jest spełniona przez każdą liczbę rzeczywistą. Przypadek pierwszy. Najpierw zakładamy, że nierówność jest kwadratowa. Aby nierówność kwadratowa była spełniona przez każdą liczbę rzeczywistą wykres funkcji $a^2{x}^2+1-a^2$ musi być nad osią X.

Ilustracja druga. Zatem muszą być spełnione następujące warunki: układ dwóch równań, klamra otwierająca. Równanie pierwsze: $a^2>0$, rówananie drugie: $1-a^2>0$. Aby wykres funkcji kwadratowej znajdował się powyżej osi $X$ ramiona paraboli muszą być skierowane do góry. Wyraz wolny musi być liczbą dodatnią.

Ilustracja trzecia. Równanie pierwsze z układu równań postaci $a^2>0$ zilustrowane jest na rysunku przedstawiającym poziomą oś X z zaznaczonym punktem 0. Punkt ten zaznaczono niezamalowanym kółkiem i poprowadzono przez niego wykres paraboli z ramionami skierowanymi do góry. Punkt zero jest wierzchołkiem paraboli. Plusami zaznaczono obszary, dla których a jest dodanie, czyli obszar na lewo i na prawo od punktu zero. Pod rysunkiem zapisano zbiór rozwiązań dla a, czyli: $a\in \mathrm{ℝ}\setminus \left\{0\right\}$. Komentarz do tej części: Aby współczynnik przy $x^2$ był większy od zera, parabola będąca wykresem lewej strony nierówności musi mieć ramiona skierowane do góry i nie dotykać osi $X$. Wyraz wolny musi przyjmować wartości większe od zera. Równanie drugie z układu równań, które jest postaci $1-a^2>0$ rozpisano następująco: $\left(1-a\right)\left(1+a\right)>0$, więc zbiór rozwiązań dla a to: $\left(-1;1\right)$. Komentarz do tej części: Wyraz wolny musi przyjmować wartości większe od zera.

Ilustracja czwarta. Wyznaczymy teraz część wspólną dwóch rozpatrywanych warunków. Uwzględniając koniunkcję dwóch warunków, czyli $a\in \mathrm{ℝ}\setminus \left\{0\right\}$ oraz $a\in \left(-1;1\right)$, mamy $a\in \left(-1;0\right)\cup \left(0;1\right)$. Interpretacja graficzna zbioru rozwiązań przedstawia poziomą oś X, na której niezamalowanymi kółkami zaznaczono punktu: minus 1, 0, 1. Na osi naniesiono przedział od minus jeden do jeden, przy czym zero pozostaje poza przedziałem, ponieważ jest oznaczone niezamalowanym punktem. Komentarz do tej części: Aby nierówność kwadratowa była spełniona przez każdą liczbę rzeczywistą $a\in \left(-1,0\right)\cup \left(0,1\right)$.

Ilustracja piąta. Rozpatrzymy teraz przypadek drugi dla naszej nierówności postaci $a^2{x}^2+1-a^2>0$. Rozpatrzymy teraz warunek, że nierówność jest liniowa. Należy uwzględnić warunek, gdy współczynnik przy $x^2$ będzie równy zero, czyli $a^2=0\iff a=0$. Wtedy nierówność przyjmuje postać $0·x^2+1-0>0$, czyli po uproszeniu otrzymujemy postać $1>0$. Jest to nierówność prawdziwa dla dowolnego $x\in \mathrm{ℝ}$. Zatem a równa się zero również spełnia warunki zadania. Czyli ostatecznie zbiorem rozwiązań dla a jest przedział $\left(-1;1\right)$. Odpowiedź: Aby nierówność była spełniona przez każdą liczbę rzeczywistą, musi być spełniony warunek, że $a\in \left(-1;1\right)$.