Przeczytaj
Pamiętasz?
Nierównością kwadratową z niewiadomą nazywamy każdą nierówność postaci
lub lub lub
gdzie:
, , – są ustalonymi liczbami rzeczywistymi i .
Nierówności, w których wszystkie współczynniki są różne od , nazywamy nierównościami kwadratowymi zupełnymi.
Nierówności, w których współczynniki lub są równe , nazywamy nierównościami kwadratowymi niezupełnyminierównościami kwadratowymi niezupełnymi.
Jeżeli i to nierówność kwadratowa jest postaci lub lub lub .
Obliczymy dla jakich wartości parametru zbiorem rozwiązań nierówności jest zbiór liczb rzeczywistych.
Rozwiązanie
Aby zbiorem rozwiązań nierówności był - zbiór liczb rzeczywistych - wykres funkcji musi w układzie współrzędnych znajdować się powyżej osi .
Czyli
.
Znajdziemy wszystkie rzeczywiste wartości parametru dla których zbiorem rozwiązań poniższej nierówności kwadratowej niezupełnej z niewiadomą jest zbiór .
Rozwiązanie
Obliczymy miejsca zerowe funkcji .
lub
Szkicujemy parabolę przechodzącą przez wyznaczone punkty. Ramiona paraboli skierowane są do dołu, bo współczynnik przy jest ujemny. Pierwiastek .
Zatem
Aby zbiorem rozwiązań nierówności był zbiór , parametr .
Dla jakich wartości parametru funkcja jest określona dla każdej liczby ?
Rozwiązanie
Wyrażenie znajdujące się pod pierwiastkiem musi być nieujemne, zatem musi być spełniony warunek .
Czyli
Aby funkcja była określona dla , .
Wyznaczymy takie wartości parametru , dla których liczba zawiera się w zbiorze rozwiązań nierówności .
Rozwiązanie
Obliczymy miejsca zerowe funkcji .
lub
Ponieważ liczba należy do zbioru rozwiązań nierówności, więc jest większym pierwiastkiem.
Czyli .
Aby liczba zawierała się w zbiorze rozwiązań nierówności dla .
Obliczymy, dla jakich wartości parametru nierówność nie ma rozwiązań.
Rozwiązanie
Aby nierówność kwadratowa nie posiadała rozwiązań muszą być spełnione warunki:
Uwzględniając koniunkcję warunków i otrzymujemy, że .
Jeżeli współczynnik przy będzie równy zero:
Otrzymaliśmy nierówność prawdziwą dla dowolnego . Czyli liczba nie spełnia warunków zadania.
Nierówność nie posiada rozwiązań dla .
Słownik
nierówność, w której współczynnik lub jest równy zero