Ilustracja interaktywna numer jeden. Wykażemy, że dla dowolnych liczb a, b gdzie a różne od b, nierówność $\frac{6a^2-18ab+18a{b}^2}{a^2-ab+b^2}\ge 2$ jest prawdziwa. Założenie {audio}Liczby $a$, $b$ są dowolnymi liczbami rzeczywistymi takimi, że $a$ jest różne od $b$. Założenie, $a\in \mathrm{ℝ}; b\in \mathrm{ℝ}, a\ne b$.. Teza, $\frac{6a^2-18ab+18a{b}^2}{a^2-ab+b^2}\ge 2$. Dana nierówność wymierna jest prawdziwa.

Ilustracja interaktywna numer dwa. Dowód. Wykażmy, że wyrażenie występujące w mianowniku jest dodatnie. $a^2-ab+b^2>0$. Pomnóżmy nierówność obustronnie przez $2$. $a^2-ab+b^2>0/·2$. Rozłóżmy podwojony kwadrat wyrażenia $a$ jako sumę kwadratów wyrażenia $a$.

Analogicznie rozłóżmy podwójny kwadrat wyrażenia $b$ jako sumę kwadratów wyrażenia $b$. $a^2+a^2-ab+b^2+b^2>0$. Skorzystajmy ze wzoru skróconego mnożenia. $a^2+{\left(a-b\right)}^2+b^2>0$.

Ilustracja interaktywna numer trzy. Zauważmy, że dla:
$a\in \mathrm{ℝ}$: $a^2\ge 0$,
$a,b\in \mathrm{ℝ}$, gdzie $a\ne b$: $\left(a-b\right){}^2>0$,
$b\in \mathrm{ℝ}$: $b^2\ge 0$.

Zatem suma dwóch wyrażeń nieujemnych i jednego wyrażenia dodatniego jest dodatnia. Zauważy, że $a^2+{\left(a-b\right)}^2+b^2>0$. Wówczas dla dowolnych liczb a, b gdzie a różne od b, prawdziwa jest nierówność $a^2-ab+b^2>0$. Wówczas wyrażenie występujące w mianowniku jest dodatnie.

Ilustracja interaktywna numer cztery. Mnożymy obustronnie nierówność przez wyrażenie dodatnie $\frac{6a^2-18ab+18a{b}^2}{a^2-ab+b^2}\ge 2/·\left(a^2-ab+b^2\right)$, gdzie $a^2-ab+b^2>0$. Zatem zwrot nierówności się nie zmieni. $6a^2-18ab+18a{b}^2\ge 2a^2-2ab+2b^2$.

Ilustracja interaktywna numer pięć. Przenieśmy wszystkie wyrażenia na jedną stronę nierówności. $4a^2-16ab+16b\ge 0$. Przedstawmy nierówność w postaci iloczynowej. ${\left(2a+4b\right)}^2\ge 0$ Zauważmy, że kwadrat sumy wyrażenia $2a$ i $4b$ jest nieujemny dla dowolnych liczb $a$, $b$, gdzie $a\ne b$.

Co kończy dowód.