Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

RAHsKWqJg8ETO1

Ćwiczenie 1

Ile liczb całkowitych spełnia nierówność $\frac{- 2 x^{2} + 18}{x^{2} - 11 x + 28} \geq 0$

$9$
$11$
$7$
$10$

R7w5Fks1EX0Ue1

Ćwiczenie 2

Dopasuj nierówność wymierną do zbioru rozwiązań nierówności.

$x \in ℝ$
$x \in \emptyset$

R1IlmJkQhtz8y1

Ćwiczenie 3

Połącz w pary nierówność wymierną ze zbiorem rozwiązań nierówności.

\frac{6 x^{2} - 6}{3 x^{2} + 12} > \frac{1}{3}

Możliwe odpowiedzi: 1. element 5 prawy, 2. element 4 prawy, 3. element 3 prawy, 4. element 2 prawy, 5.

x \in (- \infty; - \sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}; + \infty)

element 2 lewy Możliwe odpowiedzi: 1. element 5 prawy, 2. element 4 prawy, 3. element 3 prawy, 4. element 2 prawy, 5.

x \in (- \infty; - \sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}; + \infty)

element 3 lewy Możliwe odpowiedzi: 1. element 5 prawy, 2. element 4 prawy, 3. element 3 prawy, 4. element 2 prawy, 5.

x \in (- \infty; - \sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}; + \infty)

element 4 lewy Możliwe odpowiedzi: 1. element 5 prawy, 2. element 4 prawy, 3. element 3 prawy, 4. element 2 prawy, 5.

x \in (- \infty; - \sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}; + \infty)

element 5 lewy Możliwe odpowiedzi: 1. element 5 prawy, 2. element 4 prawy, 3. element 3 prawy, 4. element 2 prawy, 5.

x \in (- \infty; - \sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}; + \infty)

Połącz w pary nierówność wymierną ze zbiorem rozwiązań nierówności.

$\frac{6 x^{2} - 6}{3 x^{2} + 12} > \frac{1}{3}$
$\frac{6 x^{2} - 12}{x^{2} - 1} \leq 0$
$\frac{- x^{2}}{x^{2} + x + 3} < - x^{2} + x + \frac{2 x^{2} - 3 x}{x^{2} + x + 3}$

R1MtxGJGdUn2E2

Ćwiczenie 4

Zbiorem rozwiązań nierówności $\frac{3 x^{2} + 14 x - 5}{x^{2} - 10 x + 25} \geq 0$ jest:

$x \in (- \infty, - 5 ⟩ \cup ⟨ \frac{1}{3}, 5) \cup (5; + \infty)$
$x \in (- \infty; - \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{3}; 5) \cup (5; + \infty)$
$x \in (- \infty; - \frac{1}{3}"⟩" \cup "⟨"\frac{1}{3}; + \infty)$
$x \in (- \infty, 5 ⟩ \cup (\frac{1}{3}, + \infty)$

RPWITFPHfNaSN2

Ćwiczenie 5

Liczba $k$ jest największą liczbą całkowitą, która spełnia nierówność $\frac{7 x^{2} + 2 x}{7 x^{3} + 2 x^{2} - 21 x - 6} < \frac{1}{x^{2} - 3}$ . Zakoduj trzy pierwsze cyfry po przecinku liczby $\frac{"|"k"|"}{2 \sqrt{15}}$ .

............

RCOSE3vSByBdR3

Ćwiczenie 6

Zbiorem rozwiązań nierówności $\frac{x^{2} - 4 x + 4}{x^{2} + 8 x + 16} + 2 \cdot \frac{x - 2}{x + 4} > 3$ jest:

$x \in (- \infty, - 4) \cup (- 4, - \frac{5}{2})$
$x \in (- 1; + \infty)$
$x \in (- \infty, - 4 ⟩ \cup ⟨ - 4, - \frac{5}{2})$
$x \in (- 4; 2)$

Ćwiczenie 7

Wykaż, że jeśli $x > 0$ , to $\frac{4 x^{2} - 10 x + 25}{x} \geq 10$ .

Dowód nie wprost:

Załóżmy, że $\frac{4 x^{2} - 10 x + 25}{x} < 10$ dla $x > 0$ .

Pomnóżmy obie strony nierówności przez $x$ .

Znak nierówności nie ulegnie zmianie, ponieważ $x > 0$ .

Zatem $4 x^{2} - 10 x + 25 < 10 x$ ,

$4 x^{2} - 20 x + 25 < 0$ ,

${(2 x - 5)}^{2} < 0$ .

Nierówność ${(2 x - 5)}^{2} < 0$ jest sprzeczna, bo kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny.

Skoro nierówność $\frac{4 x^{2} - 10 x + 25}{x} < 10$ dla $x > 0$ okazała się fałszywa, to nierówność $\frac{4 x^{2} - 10 x + 25}{x} \geq 10$ jest prawdziwa dla $x > 0$ .

c.k.d.

Ćwiczenie 8

Wykaż, że dla dowolnych liczb $a$ , $b$ , gdzie $a \neq b$ , nierówność $\frac{a^{2} - a b + 1 \frac{1}{3} b^{2}}{a^{2} - a b + b^{2}} > \frac{1}{3}$ jest prawdziwa.

Wykaż, że dla dowolnych liczb $a$ , $b$ , gdzie $a \neq b$ spełniona jest nierówność

$a^{2} - a b + b^{2} > 0$ .

Następnie pomnóż obie strony nierówności przez wyrażenie $3 \cdot (a^{2} - a b + b^{2})$ .

Wykażmy, że wyrażenie $a^{2} - a b + b^{2}$ jest dodatnie.

Wówczas

$a^{2} - a b + b^{2} > 0 | \cdot 2$ ,

$2 a^{2} - 2 a b + 2 b^{2} > 0$ ,

$a^{2} + a^{2} - 2 a b + b^{2} + b^{2} > 0$ ,

$a^{2} + {(a - b)}^{2} + b^{2} > 0$ .

Zauważmy, że ${(a - b)}^{2} > 0$ jest spełnione dla dowolnych liczb $a$ , $b$ , gdzie $a \neq b$ .

Gdy jedna ze zmiennych jest równa $0$ , to druga z nich jest różna od $0$ .

Natomiast $a^{2} \geq 0$ , $b^{2} \geq 0$

Suma dwóch liczb nieujemnych i jednej liczby dodatniej jest dodatnia.

Zatem $a^{2} + {(a - b)}^{2} + b^{2} > 0$ jest prawdziwa, czyli $a^{2} - a b + b^{2} > 0$ .

Następnie $\frac{a^{2} - a b + 1 \frac{1}{3} b^{2}}{a^{2} - a b + b^{2}} > \frac{1}{3} | \cdot 3 (a^{2} - a b + b^{2})$ , gdzie $3 (a^{2} - a b + b^{2}) > 0$

$3 (a^{2} - a b + 1 \frac{1}{3} b^{2}) > a^{2} - a b + b^{2}$ ,

$3 a^{2} - 3 a b + 4 b^{2} > a^{2} - a b + b^{2}$ ,

$2 a^{2} - 2 a b + 3 b^{2} > 0$ ,

$a^{2} + a^{2} - 2 a b + b^{2} + 2 b^{2} > 0$ ,

$a^{2} + {(a - b)}^{2} + 2 b^{2} > 0$ .

Dla dowolnych liczb $a$ , $b$ , gdzie $a \neq b$ zachodzi $a^{2} \geq 0$ , ${(a - b)}^{2} > 0$ , $2 b^{2} \geq 0$ , zatem nierówność $a^{2} + {(a - b)}^{2} + 2 b^{2} > 0$ jest prawdziwa.

c.k.d.

Galeria zdjęć interaktywnych

Dla nauczyciela