Przeanalizuj wyprowadzenie wzorów redukcyjnych dla kątów .
1
RVsw6Xhu0ZyEB
Ilustracja pierwsza. Naszym celem jest wyrazić funkcje trygonometryczne kąta przy pomocy funkcji trygonometrycznych kąta ostrego .
równa się pytajnik.
równa się pytajnik.
równa się pytajnik
Ilustracja pierwsza. Naszym celem jest wyrazić funkcje trygonometryczne kąta przy pomocy funkcji trygonometrycznych kąta ostrego .
równa się pytajnik.
równa się pytajnik.
równa się pytajnik
R1WtgTLZvUI8x
Ilustracja druga. Przedstawiony jest wykres z osiami X i Y. Zaznaczono na nim dwie proste. Jedną na pierwszej ćwiartce, a druga na czwartej ćwiartce. Kąt między osią X, a prosta ma miarę alfa. Kąt przebiegający od osi X i kończący się na czwartej ćwiartce przy prostej ma miarę .
Aby go zrealizować skorzystamy z definicji funkcji trygonometrycznych kąta dowolnego. Umieścimy kąty o miarach oraz w prostokątnym układzie współrzędnych w położeniu standardowym.
Ilustracja druga. Przedstawiony jest wykres z osiami X i Y. Zaznaczono na nim dwie proste. Jedną na pierwszej ćwiartce, a druga na czwartej ćwiartce. Kąt między osią X, a prosta ma miarę alfa. Kąt przebiegający od osi X i kończący się na czwartej ćwiartce przy prostej ma miarę .
Aby go zrealizować skorzystamy z definicji funkcji trygonometrycznych kąta dowolnego. Umieścimy kąty o miarach oraz w prostokątnym układzie współrzędnych w położeniu standardowym.
RpKSUFXIdDs2E
Ilustracja trzecia. Przedstawiony jest wykres z osiami X i Y. Zaznaczono na nim dwie proste. Jedną na pierwszej ćwiartce, a druga na czwartej ćwiartce. Kąt między osią X, a prosta ma miarę alfa. Kąt przebiegający od osi X i kończący się na czwartej ćwiartce przy prostej ma miarę . Na prostej znajdującej się w pierwszej ćwiartce przy długości r zaznaczono punkt A o współrzędnych . Na przeciwległej prostej o tej samej długości zaznaczono punkt A prim. Na ramieniu kąta o mierze wybieramy punkt . Oznaczmy jego współrzędne przez , zaś jego promień wodzący przez .Na drugim ramieniu kąta o mierze wybieramy punkt , którego promień wodzący jest również równy .
Ilustracja trzecia. Przedstawiony jest wykres z osiami X i Y. Zaznaczono na nim dwie proste. Jedną na pierwszej ćwiartce, a druga na czwartej ćwiartce. Kąt między osią X, a prosta ma miarę alfa. Kąt przebiegający od osi X i kończący się na czwartej ćwiartce przy prostej ma miarę . Na prostej znajdującej się w pierwszej ćwiartce przy długości r zaznaczono punkt A o współrzędnych . Na przeciwległej prostej o tej samej długości zaznaczono punkt A prim. Na ramieniu kąta o mierze wybieramy punkt . Oznaczmy jego współrzędne przez , zaś jego promień wodzący przez .Na drugim ramieniu kąta o mierze wybieramy punkt , którego promień wodzący jest również równy .
RJDRRqPeh9h58
Ilustracja czwarta. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z osiami X i Y. Zaznaczono na nim dwie proste. Pierwsza przebiegająca przez pierwszą ćwiartkę układu do początku układu współrzędnych. Przez prostą przebiega punkt A o współrzędnych . Druga przebiegająca przez czwartą ćwiartkę układu do początku układu współrzędnych stanowi on r długość prostej. Przez prostą przebiega punkt A prim o współrzędnych stanowi on r długość prostej . Punkty A i A prim się łączą tworząc przerywana prostą. Prosta przecina się z osią X w punkcie P indeks dolny jeden i P indeks dolny dwa.
Kąt między prostymi a osią X ma wielkość alfa. Kąt wypukły między osią X, a drugą prostą ma wielkość
. Niech i oznaczają rzuty prostokątne odpowiednio punktów i na oś . Łatwo zauważyć, że kąt również ma miarę .
Ilustracja czwarta. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z osiami X i Y. Zaznaczono na nim dwie proste. Pierwsza przebiegająca przez pierwszą ćwiartkę układu do początku układu współrzędnych. Przez prostą przebiega punkt A o współrzędnych . Druga przebiegająca przez czwartą ćwiartkę układu do początku układu współrzędnych stanowi on r długość prostej. Przez prostą przebiega punkt A prim o współrzędnych stanowi on r długość prostej . Punkty A i A prim się łączą tworząc przerywana prostą. Prosta przecina się z osią X w punkcie P indeks dolny jeden i P indeks dolny dwa.
Kąt między prostymi a osią X ma wielkość alfa. Kąt wypukły między osią X, a drugą prostą ma wielkość
. Niech i oznaczają rzuty prostokątne odpowiednio punktów i na oś . Łatwo zauważyć, że kąt również ma miarę .
R1DeJfrX6rvX2
Ilustracja piąta. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z osiami X i Y. Zaznaczono na nim dwie proste. Pierwsza przebiegająca przez pierwszą ćwiartkę układu do początku układu współrzędnych. Przez prostą przebiega punkt A o współrzędnych . Druga przebiegająca przez czwartą ćwiartkę układu do początku układu współrzędnych stanowi on r długość prostej. Przez prostą przebiega punkt A prim o współrzędnych stanowi on r długość prostej . Punkty A i A prim się łączą tworząc przerywana prostą. Prosta przecina się z osią X w punkcie P równym P indeks dolny jeden koniec indeksu oraz równym P indeks dolny dwa koniec indeksu.
Kąt między prostymi a osią X ma wielkość alfa. Kąt wypukły między osią X, a drugą prostą ma wielkość
. Na mocy cechy kąt-bok-kąt możemy stwierdzić, że trójkąty prostokątne oraz są przystające, co oznacza, że punkty i pokrywają się. Oznaczmy ten punkt przez .
Ilustracja piąta. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z osiami X i Y. Zaznaczono na nim dwie proste. Pierwsza przebiegająca przez pierwszą ćwiartkę układu do początku układu współrzędnych. Przez prostą przebiega punkt A o współrzędnych . Druga przebiegająca przez czwartą ćwiartkę układu do początku układu współrzędnych stanowi on r długość prostej. Przez prostą przebiega punkt A prim o współrzędnych stanowi on r długość prostej . Punkty A i A prim się łączą tworząc przerywana prostą. Prosta przecina się z osią X w punkcie P równym P indeks dolny jeden koniec indeksu oraz równym P indeks dolny dwa koniec indeksu.
Kąt między prostymi a osią X ma wielkość alfa. Kąt wypukły między osią X, a drugą prostą ma wielkość
. Na mocy cechy kąt-bok-kąt możemy stwierdzić, że trójkąty prostokątne oraz są przystające, co oznacza, że punkty i pokrywają się. Oznaczmy ten punkt przez .
Rw9aRMNjCbuNT
Ilustracja piąta. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z osiami X i Y. Zaznaczono na nim dwie proste. Pierwsza przebiegająca przez pierwszą ćwiartkę układu do początku układu współrzędnych. Przez prostą przebiega punkt A o współrzędnych . Druga przebiegająca przez czwartą ćwiartkę układu do początku układu współrzędnych stanowi on r długość prostej. Przez prostą przebiega punkt A prim o współrzędnych stanowi on r długość prostej . Punkty A i A prim się łączą tworząc przerywana prostą. Prosta przecina się z osią X w punkcie P.
Kąt między prostymi a osią X ma wielkość alfa. Kąt wypukły między osią X, a drugą prostą ma wielkość / Z przystawania trójkątów oraz łatwo wywnioskować, że współrzędne punktu są bezpośrednio związane ze współrzędnymi punktu i są równe .
Ilustracja piąta. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z osiami X i Y. Zaznaczono na nim dwie proste. Pierwsza przebiegająca przez pierwszą ćwiartkę układu do początku układu współrzędnych. Przez prostą przebiega punkt A o współrzędnych . Druga przebiegająca przez czwartą ćwiartkę układu do początku układu współrzędnych stanowi on r długość prostej. Przez prostą przebiega punkt A prim o współrzędnych stanowi on r długość prostej . Punkty A i A prim się łączą tworząc przerywana prostą. Prosta przecina się z osią X w punkcie P.
Kąt między prostymi a osią X ma wielkość alfa. Kąt wypukły między osią X, a drugą prostą ma wielkość / Z przystawania trójkątów oraz łatwo wywnioskować, że współrzędne punktu są bezpośrednio związane ze współrzędnymi punktu i są równe .
R10lcvpT4Y2GC
Ilustracja siódma. Przy opisanym wykresie pojawiają się równania. . . Z definicji sinus kąta to stosunek drugiej współrzędnej punktu wybranego na drugim ramieniu tego kąta do promienia wodzącego tego punktu. Zatem zaś .
Ilustracja siódma. Przy opisanym wykresie pojawiają się równania. . . Z definicji sinus kąta to stosunek drugiej współrzędnej punktu wybranego na drugim ramieniu tego kąta do promienia wodzącego tego punktu. Zatem zaś .
R15sEkamiNDxT
Ilustracja siódma. Przy opisanym wykresie pojawiają się równania. . . .
Możemy zauważyć, że jest równy .
Ilustracja siódma. Przy opisanym wykresie pojawiają się równania. . . .
Możemy zauważyć, że jest równy .
R1OzHQFMbLedf
Ilustracja ósma. Przy opisanym wykresie pojawiają się równania.
.
Z definicji kosinus kąta to stosunek pierwszej współrzędnej punktu wybranego na drugim ramieniu tego kąta do promienia wodzącego tego punktu. Zatem zaś .
Ilustracja ósma. Przy opisanym wykresie pojawiają się równania.
.
Z definicji kosinus kąta to stosunek pierwszej współrzędnej punktu wybranego na drugim ramieniu tego kąta do promienia wodzącego tego punktu. Zatem zaś .
R1ZifJbNdGTAN
Ilustracja dziewiąta. Przy opisanym wykresie pojawiają się równania.
. .
. Możemy zauważyć, że jest równy .
Ilustracja dziewiąta. Przy opisanym wykresie pojawiają się równania.
. .
. Możemy zauważyć, że jest równy .
RVxOe1L4YzvE3
Ilustracja dziesiąta. Przy opisanym wykresie pojawiają się równania.
.
.Z definicji tangens kąta to stosunek drugiej współrzędnej punktu wybranego na drugim ramieniu tego kąta do pierwszej współrzędnej tego punktu. Zatem zaś .
Ilustracja dziesiąta. Przy opisanym wykresie pojawiają się równania.
.
.Z definicji tangens kąta to stosunek drugiej współrzędnej punktu wybranego na drugim ramieniu tego kąta do pierwszej współrzędnej tego punktu. Zatem zaś .
RQ48tSKD2AITK
Ilustracja jedenasta. Przy opisanym wykresie pojawiają się równania.
. .
. Możemy zauważyć, że jest równy .
Ilustracja jedenasta. Przy opisanym wykresie pojawiają się równania.
. .
. Możemy zauważyć, że jest równy .
RegDGAIij5B4x
Ilustracja dwunasta. . .
. Zauważmy jeszcze tylko, że choć wzory wyprowadziliśmy dla kąta ostrego , to pozostają one prawdziwe dla kątów o dowolnej rozwartości.
Ilustracja dwunasta. . .
. Zauważmy jeszcze tylko, że choć wzory wyprowadziliśmy dla kąta ostrego , to pozostają one prawdziwe dla kątów o dowolnej rozwartości.